矩阵分析第3章课件

1、矩阵分析矩阵分析 72学时学时 考试考试姓名姓名：杨尚俊：杨尚俊电话电话：E-mail地址地址：前前 言言开设开设矩阵分析矩阵分析的必要性的必要性 数学的重要性数学的重要性 理工科研究生数学能力培养的重要性理工科研究生数学能力培养的重要性 矩阵分析在信息矩阵分析在信息, ,计算等领域的特殊重要性计算等领域的特殊重要性2. 2. 关于教材与教学内容关于教材与教学内容 讲授讲授3,4,5,6,83,4,5,6,8章章; ;重点是重点是3,83,8章章3. 3. 关于教学方面关于教学方面 以提高数学思维与分析能力为主以提高数学思维与分析能力为主, ,而不以考试过而不以考试过关为目的关为目的 在理解和

2、掌握数学思维在理解和掌握数学思维, ,表述表述, ,分析和解决问题分析和解决问题的系统方法与技巧方面严格要求的系统方法与技巧方面严格要求, ,狠下功夫狠下功夫 提倡刻苦钻研提倡刻苦钻研, ,要求认真做作业要求认真做作业, ,建议建议预习预习数学的重要性数学的重要性 新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要地位。地位。 当今

3、社会正日益数学化，数学是高科技的基当今社会正日益数学化，数学是高科技的基础础。数学在素质教育中的数学在素质教育中的重要地位重要地位 数学授人以能力数学授人以能力, ,数学训练能使人变聪明数学训练能使人变聪明. . 数学除了锻炼敏锐的理解力数学除了锻炼敏锐的理解力, ,发现真理以外发现真理以外, ,它它还有一个训练全面周密科学系统的头脑开发功还有一个训练全面周密科学系统的头脑开发功能能. . 数学的思维方式有着根本的重要性数学的思维方式有着根本的重要性, ,简言之简言之, ,数数学为组织知识提供方法学为组织知识提供方法. .一旦数学用于技术一旦数学用于技术, ,它它就能产生系统的就能产生系统的,

4、 ,可再现的并能传授的知识可再现的并能传授的知识. .分分析析, ,设计设计, ,建模建模, ,模拟和应用便会变成可能的高效模拟和应用便会变成可能的高效的富有结构的活动的富有结构的活动. .数学是高科技的基础数学是高科技的基础 社会进步依赖于科学的创新而数学对于科学的社会进步依赖于科学的创新而数学对于科学的发展则具有根本的意义。在今天，数学已成为发展则具有根本的意义。在今天，数学已成为高科技的基础，并且在一定意义上，可以说是高科技的基础，并且在一定意义上，可以说是现代文明的标志。现代文明的标志。(2002(2002年北京国际数学家大会年北京国际数学家大会欢迎词摘录欢迎词摘录) ) 各行各业日益

5、依赖于数学，可以说，当今社会各行各业日益依赖于数学，可以说，当今社会正日益数学化。数学正在向一切领域渗透，数正日益数学化。数学正在向一切领域渗透，数学正在不断与别的学科结合产生活跃的新兴学学正在不断与别的学科结合产生活跃的新兴学科。高科技本质上是一种数学技术。科。高科技本质上是一种数学技术。 数学在工程技术以及国民生产中发挥愈来愈重数学在工程技术以及国民生产中发挥愈来愈重要的作用甚至是决定性的作用。要的作用甚至是决定性的作用。线性空间的线性空间的公理化定义公理化定义 非空集合非空集合V V称为数域称为数域F F上的上的线性空间线性空间, ,如果如果V V上上定义了定义了加法加法和和数乘数乘运算

6、运算:(:(page 3page 3) ), ,V,V, + +V; V; k k F,F,V,kV,k = = k k V V并满足下列公理并满足下列公理: :对于对于, , , ,V,V, k,hk,h F F成立成立( (交换交换) ) + + = = + + ( (结合结合) ) +(+( + + )=()=( + + )+)+ 存在存在0 0元元0 0 V V满足满足: : +0=+0= V V存在存在负元负元- -V V满足满足: : +(-+(- )=0)=0 F F乘法单位元乘法单位元1 1 F F满足满足: :V,V,1 1 = = k k( (h h )=()=(khkh)

7、 ) ( (k+hk+h) ) = =k k + +h h k( k( + + )=k)=k +k+k 线性空间例线性空间例1 1 * * 2 2维实向量集维实向量集 R R2 2=x=(x=x=(x1 1,x,x2 2) )T T|x|x1 1,x,x2 2 R.R. x,yx,y R R2 2,k,k R,xR,x+ +y=(xy=(x1 1+y+y1 1,x,x2 2+y+y2 2) )T T, ,k kx=(kxx=(kx1 1,kx,kx2 2) )T T( (在解析几何中已知在解析几何中已知R R2 2满足满足8 8条公理条公理, ,故它是故它是2 2维实维实线性空间线性空间. .

8、它的一组基是它的一组基是:(1,0):(1,0)T T,(0,1),(0,1)T T. .) )* * 将将R R2 2推广如下推广如下: :n n维实线性空间维实线性空间 R Rn n=x=(x=x=(x1 1,x,xn n) )T T|x|x1 1,x,xn n R;R;n n维复线性空间维复线性空间 C Cn n=x=(x=x=(x1 1,x,xn n) )T T|x|x1 1,x,xn n C.C.( (其中其中,R,C,R,C分别为实数分别为实数, ,复数的集合复数的集合.).)运算是运算是x x+ +y=(xy=(x1 1+y+y1 1,x,xn n+y+yn n) )T T, ,

9、k kx=(kxx=(kx1 1,kx,kxn n) )T T线性空间例线性空间例2 2 * * 2 2阶实方阵集阶实方阵集 R R2 2 2 2=A=(a=A=(aijij)|a)|aijij R,1R,1 i,ji,j 2.2. A,BA,B R R2 2 2 2,k,k R,AR,A+ +B=(aB=(aijij+ +b bijij),),k kA=(A=(k ka aijij).).( (不难证明不难证明R R2 2 2 2满足线性空间的满足线性空间的8 8条公理条公理, ,故它是故它是2 2 2=42=4维实线性空间维实线性空间, ,一组基是一组基是E E1111,E,E1212,E

10、,E2121,E,E2222) )* * 将将 R R2 2 2 2 推广如下推广如下: :n n2 2维实线性空间维实线性空间 R Rn n n n=A=(a=A=(aijij)|a)|aijij R,1R,1 i,ji,j n;n;n n2 2维复线性空间维复线性空间 C Cn n n n=A=(a=A=(aijij)|a)|aijij C,1C,1 i,ji,j n;n;( (其中其中,R,C,R,C分别为实数分别为实数, ,复数的集合复数的集合.).)m m n n 维实线性空间维实线性空间 R Rm m n n=A=(a=A=(aijij)|a)|aijij R,i=1,n,j=1,

11、m.R,i=1,n,j=1,m.线性空间线性空间R R2 2 2 2的一组基是的一组基是:E:E1111,E,E1212,E,E2121,E,E2222E Eijij R R2 2 2 2的定义是的定义是: :除除(i,j)(i,j)元之外元之外, ,所有元素都是所有元素都是0.0.线性空间线性空间R Rm m n n的一组基是的一组基是:E:Eijij R Rm m n n|i=1,m;j=1,n|i=1,m;j=1,nE Eijij R Rm m n n的定义是的定义是: :除除(i,j)(i,j)元之外元之外, ,所有元素都是所有元素都是0.0.111221221 00 10 00 0;

12、0 00 01 00 1EEEE11121112212211 1112 1221 21222221221 00 10 00 00 00 01 00 1aaAaaaaa Ea Ea Ea Eaa线性空间例线性空间例3 3 * * 闭区间闭区间a,ba,b上所有实连续函数集上所有实连续函数集 Ca,bCa,b=f(x)|f(x)=f(x)|f(x)是是a,ba,b上实连续函数上实连续函数. f,gf,g Ca,b,kCa,b,k R,(f+g)(x)=f(x)+g(x), R,(f+g)(x)=f(x)+g(x), (kf)(x)=kf(x).(kf)(x)=kf(x).不难证明不难证明Ca,bC

13、a,b满足线性空间的满足线性空间的8 8条公理条公理, ,故它是故它是无限维实无限维实线性空间线性空间, ,因为它包含下列线性无关因为它包含下列线性无关的无穷序列的无穷序列:1,x,x:1,x,x2 2,x,x3 3,第第3 3章章 内积空间内积空间, ,正规矩阵正规矩阵,Hermite,Hermite矩阵矩阵 从解析几何知二平面向量从解析几何知二平面向量 =(a=(a1 1,a,a2 2) )T T, , =(b=(b1 1,b,b2 2) )T T R R2 2 的的内积内积定义为定义为: : ( ( , , )=)= coscos = = a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2

14、2并满足下列公式并满足下列公式: : , , , , R R2 2,k,k R R ( ( , , )=()=( , , ) ) (k (k , , )=k()=k( , , ) ) ( ( + + , , )=()=( , , )+()+( , , ) ) ( ( , , ) ) 0 0 & & ( ( , , )=0 )=0 =0 =0 =(a=(a1 1,a,a2 2) )T T, , =(b=(b1 1,b,b2 2) )T T, , =(c=(c1 1,c,c2 2) )T T R R2 2 ( ( , , )=)=a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2并

15、满足下列公式并满足下列公式: : , , , , R R2 2,k,k R R ( ( , , )=()=( , , ) ) a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2=b=b1 1a a1 1+b+b2 2a a2 2 (k (k , , )=k()=k( , , ) ) =k(a=k(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2) ) ( ( + + , , )=()=( , , )+()+( , , ) ) (a (a1 1+b+b1 1)c)c1 1+(a+(a2 2+b+b2 2)c)c2 2=(a=(a1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2)+(b)+(b1 1c

16、c1 1+b+b2 2c c2 2) ) ( ( , , ) ) 0 0 & & ( ( , , )=0 )=0 =0 =0 =a=a1 12 2+a+a2 22 2 0 0 欧氏空间欧氏空间( (定义定义3.1.1)3.1.1)page93page93 n n维维实实线性空间线性空间V V称为称为n n维欧氏空间维欧氏空间, ,如果存在映如果存在映射射( (称为称为内积内积):):( ( ,),):V:V V VR R满足下列满足下列4 4条条公理公理: : , , , , V,kV,k R R ( ( , , )=()=( , , ) ) ( ( , , ) ) R R (

17、k (k , , )=k()=k( , , ) ) ( ( + + , , )=()=( , , )+()+( , , ) ) ( ( , , ) ) 0 0 & & ( ( , , )=0 )=0 =0 =0 注注 此处采取现代数学常用的此处采取现代数学常用的公理化方法公理化方法对内积对内积与欧氏空间进行定义与欧氏空间进行定义. .欧氏空间例欧氏空间例1 1( (例例3.1.1 page93)3.1.1 page93) , , R Rn n, , =(a=(a1 1,a,an n) )T T, , =(b=(b1 1,b,bn n) )T T, ,定义定义标标 准内积准内积:

18、(:( , , )=a)=a1 1b b1 1+a+an nb bn n则可证则可证 R Rn n为为n n维欧氏空间维欧氏空间. .事实上事实上4 4条内积公理全部条内积公理全部满足满足. . 把内积表示为把内积表示为( ( , , )=)= T T . .则由向量的运算性质得则由向量的运算性质得( ( , , )=)= T T =(=( T T ) )T T= = T T =(=( , , ).().( T T 为为1 1阶方阵阶方阵) )( (k k , , )=)= T T( (k k )=)=k k T T =k(=k( , , ).).( ( + + , , )=)= T T( (

19、 + + )=)= T T + + T T =(=( , , )+()+( , , ).).( ( , , )=a)=a1 12 2+a+an n2 2 0 0 & & ( ( , , )=0 )=0 =0=0. .矩阵（向量矩阵（向量) )乘积的运算性质乘积的运算性质设设 ABCVWABCVW是矩阵是矩阵( (向量向量) )乘积乘积, ,则则(ABCVW)(ABCVW)T T=W=WT TV VT TCCT TB BT TA AT T. .设设 ABAB是矩阵是矩阵( (向量向量) )乘积乘积, ,k k是数是数, ,则则( (k kA)B=A)B=k k(AB)=A(AB)

20、=A(k kB). B). 设设 ABCABC是矩阵是矩阵( (向量向量),),则则A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA(B+C)A=BA+CA欧氏空间例欧氏空间例2 2( (例例3.1.2 p.94)3.1.2 p.94) , , R R2 2, ,定义内积定义内积( (R R2 2 R R2 2到到R R的映射的映射): ): ( ( , , )=2a)=2a1 1b b1 1+a+a1 1b b2 2+a+a2 2b b1 1+a+a2 2b b2 2 则可证则可证 R R2 2为为2 2维欧氏空间维欧氏空间. .事实上事实上4 4条内积公理全条内积公

21、理全部满足部满足. . 把内积表示为把内积表示为 ( ( , , )=)= T TG G ,G= (,G= (=G=GT T) ) 则则 ( ( , , )=)= T TG G =(=( T TG G ) )T T= = T TG GT T( ( T T) )T T= = T TG G =(=( , , ), ), 1 1阶方阵阶方阵(k(k , , )=)= T TG(kG(k )=k)=k T TG G =k(=k( , , ),),( ( + + , , )=)= T TG(G( + + )=)= T TG G + + T TG G =(=( , , )+()+( , , ),),( (

22、 , , )=a)=a1 12 2+(a+(a1 1+a+a2 2) )2 2 0 & 0 & ( ( , , )=0 )=0 =0=0. .2111112221()11TaGbba 1212122()aabbaa221221112babababa例例2 2引出的一些结论引出的一些结论 在在R R2 2中中至少可定义两个至少可定义两个不同的内积不同的内积. . 欧氏空间是由实线性空间连同内积一起定义的欧氏空间是由实线性空间连同内积一起定义的, ,同一实线性空间连同同一实线性空间连同不同内积不同内积会定义不同的欧会定义不同的欧氏空间氏空间. .因此因此, ,用标准内积和例用标准内

23、积和例2 2的内积对的内积对R R2 2能能定义出定义出两个不同的两个不同的欧氏空间欧氏空间. .这两个不同内积这两个不同内积的确的确定义定义了了两个不同欧氏空间两个不同欧氏空间. .例如例如, ,同一向量同一向量a=(1,0)a=(1,0)T T在标准内积下的长度在标准内积下的长度是是(a,a)(a,a)1/21/2=1;=1;而在例而在例2 2的内积下的长度是的内积下的长度是: :(a,a)(a,a)1/21/2=(2+0+0+0)=(2+0+0+0)1/21/2=2=21/21/2, , 二者不相同二者不相同. . 方阵方阵A=(aA=(aijij) ) C Cn n n n,A,A的的

24、迹迹定义为其所有对角元定义为其所有对角元之和之和: : tr(A)=atr(A)=a1111+a+annnn. .易证易证, ,迹运算有下列迹运算有下列线性运算线性运算性质性质: : A,BA,B C Cn n n n, , k k1 1,k,k2 2 C,tr(kC,tr(k1 1A+kA+k2 2B)=kB)=k1 1trA+ktrA+k2 2trB;trB;tr(Atr(AT T)=trA.)=trA.tr(ktr(k1 1A+kA+k2 2B)=B)= i (k(k1 1a aii+k+k2 2b bii) )= k= k1 1 i a aii + + k k2 2 i b bii =

25、k=k1 1trA+ktrA+k2 2trBtrB欧氏空间例欧氏空间例3 3 ( (例例3.1.3 p.94)3.1.3 p.94) A,BA,B R Rm m n n=A=(a=A=(aijij)|a)|aijij R,i=1,m,j=1,n.R,i=1,m,j=1,n.定义定义内积内积: :(A,B)=tr(A,B)=tr(A AT TB)B)= = i i j ja aijijb bijij. .则则R Rm m n n是是mnmn维欧氏空间维欧氏空间.(n=1.(n=1时为向量标准内积时为向量标准内积) )证证: :易见易见: :求方阵的迹的运算是线性运算求方阵的迹的运算是线性运算:

26、: A,BA,B R Rm m m m, , k k1 1,k,k2 2 R,tr(kR,tr(k1 1A+kA+k2 2B)=kB)=k1 1trA+ktrA+k2 2trB.trB.此外，此外，tr(Atr(AT T)=trA.)=trA.于是于是(B,A)=tr(B(B,A)=tr(BT TA)=tr(BA)=tr(BT TA)A)T T)=)=tr(tr(A AT TB)=(A,B);B)=(A,B);(kA,B)=(kA,B)=tr(ktr(kA)A)T TB)=kB)=ktr(tr(A AT TB)=k(A,B);B)=k(A,B);(A+B,C)=(A+B,C)=tr(tr(A+

27、B)A+B)T TC)=C)=tr(tr(A AT TC+BC+BT TC)=(A,C)+(B,C);C)=(A,C)+(B,C);(A,A)=(A,A)= i i j ja aijij2 2 0 & (A,A)=0 0 & (A,A)=0 A=0. A=0.nkkjikbaAB1nkkjkiTbaBA1的的(i,i)元是元是nkkikiba1ninjijijninkkikiTbabaBAtr1111)(酉空间酉空间( (定义定义3.1.2,p.95)3.1.2,p.95) n n维复线性空间维复线性空间V V称为称为n n维酉空间维酉空间, ,如果存在映射如果存在映射( (称

28、为内积称为内积):):( ( ,):V,):V V VC C满足下列满足下列4 4条公理条公理: : , , , , V,kV,k C C ( ( , , )= )= 共轭共轭 (k (k , , )=k()=k( , , ) ) ( ( + + , , )=()=( , , )+()+( , , ) ) ( ( , , ) ) 0 & 0 & ( ( , , )=0 )=0 =0 =0 注注 当当V V为欧氏空间时为欧氏空间时, ,任任2 2向量的内积为实数向量的内积为实数, ,其其 共轭数等于它自己共轭数等于它自己, ,故在此情况下酉空间的故在此情况下酉空间的4 4条条 公

29、理也成立公理也成立. .因此因此, ,欧氏空间是酉空间的欧氏空间是酉空间的特例特例. .为为简单起见简单起见, ,今后今后基本限于酉空间基本限于酉空间的研究的研究. .),(复矩阵复矩阵( (向量向量) )的的4 4个个一元运算一元运算 A A C Cm m n n, ,A=(A=(a aijij). ). A AT T=(=(a ajiji) ) C Cn n m m; ; ; ; A A* *= ;= ;A A-1-1=adj(A)/det=adj(A)/det A(A(当当A A可逆时可逆时) ) ijAajiTTaAA)()(nnnnnnAAAAAAAAAAadj21222121211

30、1)( Aijij为为A划去划去i行行j列列的代数余子式的代数余子式 A A C Cm m n n, ,A=(A=(a aijij). ). A AT T=(=(a ajiji) ) C Cn n m m; ; ; ; A A* *= ;= ;A A-1-1=adj(A)/det=adj(A)/det A(A(当当A A可逆时可逆时) ) jiTTaAA)()(复矩阵复矩阵( (向量向量) )一元运算的一元运算的性质性质 ; ; ; ; ; ; ; ;(AB)(AB)T T=B=BT TA AT T; (AB); (AB)* *=B=B* *A A* *; ; (AB)(AB)-1-1=B=B

31、-1-1A A-1-1. .(A(AT T) )T T=A; ; (A=A; ; (A* *) )* *=A; (A=A; (A-1-1) )-1-1=A. =A. 对合性对合性 ( (双否定律双否定律) )注注: :矩阵乘积矩阵乘积作上述作上述3 3种一元运算都等于每个分量种一元运算都等于每个分量作运算之后作运算之后再颠倒次序相乘再颠倒次序相乘. .颠倒次序其实是普颠倒次序其实是普遍的客观规律遍的客观规律. .例如例如, ,早上早上先穿袜后穿鞋先穿袜后穿鞋, ,晚上必晚上必须颠倒次序须颠倒次序: :先脱鞋后脱袜先脱鞋后脱袜. .22112211AkAkAkAkTTTAkAkAkAk22112

32、211)(*22*11*2211)(AkAkAkAkBAAB AA )( ;(AB);(AB)T T=B=BT TA AT T; (AB); (AB)* *=B=B* *A A* *; (AB); (AB)-1-1=B=B-1-1A A-1-1. .证证: :公式公式(AB)(AB)T T=B=BT TA AT T在线性代数里已有证明在线性代数里已有证明; ;基于复数乘积取共轭运算的性质基于复数乘积取共轭运算的性质: :及矩阵乘积的公式易见及矩阵乘积的公式易见(AB)(AB)* *= =B= =B* *A A* *(AB)(AB)-1-1=B=B-1-1A A-1-1可直接验证如下可直接验证如

33、下: :ABABB B-1-1A A-1-1=E=E=B B-1-1A A-1-1ABAB注注: : A A C Cn n n n,B=,B=A A-1-1 当且仅当当且仅当 B B C Cn n n n,AB=BA=E,AB=BA=E. .对合性反映通常所谓对合性反映通常所谓否定之否定否定之否定的规律的规律. .wzzw BAAB BAAB *)(ABABABABTTTTT复矩阵的复矩阵的4 4个一元运算的个一元运算的互换性互换性 ; ; ; ; ; ; ; ; . ; ; .证证: :由由逆矩阵定义逆矩阵定义 AAAA-1-1=A=A-1-1A=E,A=E,各项取转置得各项取转置得(AA(

34、AA-1-1) )T T=(A=(A-1-1A)A)T T=E=ET T , ,即即(A(A-1-1) )T TA AT T=A=AT T(A(A-1-1) )T T=E,=E,由此由此推出推出(A(AT T) )-1-1=(A=(A-1-1) )T T. .仿此法可证明涉及逆矩阵的其仿此法可证明涉及逆矩阵的其余公式余公式. .第一个公式是不言而喻的第一个公式是不言而喻的; ;至于第二至于第二, ,第第三公式则由第一公式及对合性直接推出三公式则由第一公式及对合性直接推出. .例如例如)()(TTAA)()(11 AATTAA)()(11*11*)()( AA)()(*AA TTAA)()(*)

35、()(AAAAATTT酉空间酉空间( (例例3.1.6 P.95)3.1.6 P.95), , C Cn n, , =(x=(x1 1,x,xn n) )T T, , =(y=(y1 1,y,yn n) )T T, ,定义定义标标 准内积准内积:(:( , , )= =)= = * * . .则可证则可证C Cn n为为n n维酉空间维酉空间. .事实上事实上4 4条内积公理全部满条内积公理全部满足足. .因为因为由向量的运算性质得由向量的运算性质得 =(=( * * ) )* *= = * * =(=( , , ).). * * 是是1 1阶矩阵阶矩阵 (k(k , , )=)= * *(k

36、(k )=k)=k * * =k(=k( , , ).).( ( + + , , )=)= * *( ( + + )=)= * * + + * * =(=( , , )+()+( , , ).).( ( , , )=|x)=|x1 1| |2 2+|x+|xn n| |2 2 0 & 0 & ( ( , , )=0 )=0 =0=0. .nnyxyx.11T)(),(*酉空间酉空间( (例例3.1.7 P.95)3.1.7 P.95) A,BA,B C Cm m n n=A=(a=A=(aijij)|a)|aijij C,i=1,n,j=1,m.C,i=1,n,j=1,m.定义

37、定义内积内积: :(A,B)=tr(B(A,B)=tr(B* *A)= A)= 则则C Cm m n n是是mnmn维酉空间维酉空间.(n=1.(n=1或或m=1m=1为复向量标准内积为复向量标准内积) )证证:(A,B)=:(A,B)=tr(Btr(B* *A)A)T T) )= = (kA,B)=(kA,B)=tr(tr(B B* *( (kA)=kkA)=ktr(tr(B B* *A)=k(A,B);A)=k(A,B);(A+B,C)=(A+B,C)=tr(Ctr(C* *( (A+B)=A+B)=tr(Ctr(C* *A+CA+C* *B)=(A,C)+(B,C);B)=(A,C)+(

38、B,C);(A,A)=(A,A)= i i j j|a|aijij| |2 2 0 & (A,A)=0 0 & (A,A)=0 A=0. A=0.做做#3.1,#3.1,提示提示: :ijminjijab 11; ),()( (*ABBAtrABtr),()(),(*AAAAijijijijijijijijb ab ab aa b),(,ABbaabBAijijijijijij复习复习酉空间酉空间( (定义定义3.1.2 P.95)3.1.2 P.95) n n维复线性空间维复线性空间V V称为称为n n维酉空间维酉空间, ,如果存在映射如果存在映射( (称为内积称为内积):)

39、:( ( ,):V,):V V VC C满足下列满足下列4 4条公理条公理: : , , , , V,kV,k C C ( ( , , )= )= 共轭共轭 ( (k k , , )=)=k k( ( , , ) ) ( ( + + , , )=()=( , , )+()+( , , ) ) ( ( , , ) ) 0 & 0 & ( ( , , )=0 )=0 =0 =0 ),(酉空间内积的性质酉空间内积的性质(P.95)(P.95) ( ( , ,k k )= ;)= ;特别特别, ,当当 1 1, n n为为 V=CV=Cn n 的任一基的任一基, ,且且x=x= i=1

40、i=1n nx xi i i i, y=, y= j=1j=1n ny yj j j j, ,则则(x,y)= (x,y)= (* *),),其中其中,G=(g,G=(gijij),g),gijij=(=( j j, , i i) )满足满足G G* *=G.G=G.G称为称为度量矩度量矩阵阵( (满足满足g gijij与与g gjiji互为共轭互为共轭).).易见易见, ,酉空间的内积由度量矩阵决定酉空间的内积由度量矩阵决定; ;显然显然, ,度量矩度量矩阵由内积唯一确定阵由内积唯一确定. .),(),(),(kkk),(),(),(),(),(),(),(),( sitjjijitjjjs

41、iiimkmk1111),(),(GxyGxyyxTninjjiji*11),( HermiteHermite矩阵矩阵与与反反HermiteHermite矩阵矩阵定义定义(3.1.4)(P.97):(3.1.4)(P.97):A A R Rn n n n称为称为对称矩阵对称矩阵, ,如果如果A AT T=A; A=A; A R Rn n n n称为称为反对称矩阵反对称矩阵, ,如果如果A AT T=-A=-A. .A A C Cn n n n称为称为HermiteHermite矩阵矩阵, ,如果如果A A* *=A; A=A; A C Cn n n n称为称为反反HermiteHermite矩

42、阵矩阵, ,如果如果A A* *=-A=-A. .A A* *=A =A i,j,Re(ai,j,Re(aijij)=Re(a)=Re(ajiji),Im(a),Im(aijij)=-Im(a)=-Im(ajiji) )A A* *=-A =-A i,j,Re(ai,j,Re(aijij)=-Re(a)=-Re(ajiji),Im(a),Im(aijij)=Im(a)=Im(ajiji) )HermiteHermite矩阵矩阵与与反反HermiteHermite矩阵矩阵举例举例 是是HermiteHermite矩阵矩阵, , 是反是反HermiteHermite矩阵矩阵. .任何酉空间的度量矩

43、阵任何酉空间的度量矩阵G G都是都是HermiteHermite矩阵矩阵. .HermiteHermite矩阵的性质矩阵的性质A A是是HermiteHermite矩阵矩阵,i=,i= -1,-1,当且仅当当且仅当iAiA是是反反HermiteHermite矩矩阵阵(iA)(iA)* *=-iA=-iA* *=-(iA); A=-(iA); A* *=i(iA)=i(iA)* *=i(-iA)=A)=i(-iA)=A) A A C Cn n n n,A+,A+A A* *,A,AA A* *, ,A A* *A A是是HermiteHermite矩阵矩阵;A-A;A-A* *是是反反Hermi

44、teHermite矩阵矩阵1102022iiHermiteHermite阵与反阵与反HermiteHermite阵的阵的性质性质（续）（续）A A是是Hermite(Hermite(反反Hermite)Hermite)矩阵矩阵 , ,A A* *, ,A AT T, ,A A-1-1是是Hermite(Hermite(反反Hermite)Hermite)矩阵矩阵. .(p129)(p129)证证: A: A* *=A =A ( (A AT T) )* *=(=(A A* *) )T T=A=AT T, , ,( (A A* *) )* *=(A)=(A)* *= =A A* * & (

45、& (A A-1-1) )* *=(A=(A* *) )-1-1= =A A-1-1; ; A A* *=-A =-A ( (A AT T) )* *=(A=(A* *) )T T=(-A)=(-A)T T=-=-A AT T,(,(A A* *) )* *=(-A)=(-A)* *=-=-A A* * & (& (A A-1-1) )* *=(A=(A* *) )-1-1=(-=(-A)A)-1-1=-=-A A-1-1. .( (利用利用* *与其它一元运算的交换性质与其它一元运算的交换性质) )A A是是HermiteHermite矩阵矩阵正整数正整数k,Ak,A

46、k k是是HermiteHermite矩阵矩阵. .A A* *=A =A ( (A Ak k) )* *=(A=(A* *) )k k=(A)=(A)k k= =A Ak kAAAA*)(A A是反是反HermiteHermite矩阵矩阵非负非负偶数偶数k,Ak,Ak k是是Her-Her- mite mite矩阵矩阵, , 正奇数正奇数k,Ak,Ak k是反是反HermiteHermite矩阵矩阵. .A A* *=-A =-A ( (A Ak k) )* *=(A=(A* *) )k k=(-A)=(-A)k k=(-1)=(-1)k kA Ak k已知已知A,BA,B是是Hermite

47、Hermite矩阵矩阵, ,则则ABAB是是HermiteHermite矩阵的矩阵的充要条件是充要条件是ABABBABA充分性充分性：( (ABAB) )*= =( (BABA) )*=A=A*B B*=AB=AB必要性必要性：BA=BBA=B*A A*=(AB)=(AB)*=AB=ABA,BA,B是同阶是同阶HermiteHermite矩阵矩阵r,sr,s R R,rA+sB,rA+sB是是HermiteHermite矩阵矩阵. .A,BA,B C Cn n n n, ,称称B B与与A A是复相合的是复相合的, ,如果存在可逆矩如果存在可逆矩阵阵P P使使,B=P,B=P*AP.AP.易见

48、易见( (定理定理3.8.1(2),3.8.1(2),与与HermiteHermite矩阵矩阵A A复相合的复相合的任任何何B B也也是是HermiteHermite矩阵矩阵.(.(B B* *=(=(P P* *APAP) )* *= =P P* *AP=BAP=B) )( (定理定理3.8.1(1) A3.8.1(1) A C Cn n n n, ,则则 A A是是HermiteHermite矩阵矩阵 x x C Cn n,x,x*AxAx R R 酉空间的度量酉空间的度量( (定义定义3.1.5,p.98)3.1.5,p.98) 大家熟知大家熟知, ,平面向量平面向量 =(x=(x1 1

49、,x,x2 2) )T T R R2 2的的长度长度公式公式: : =(=(x x1 12 2+x+x2 22 2) )1/21/2=(=( , , ) )1/21/2. . 这个概念可以推广到一般酉这个概念可以推广到一般酉( (欧氏欧氏) )空间空间V V上去上去: :定义定义: :向量向量 =(x=(x1 1,x,xn n) )T T V V的长度定义为的长度定义为: : = =( ( , , ) )1/21/2. . 算术根算术根二向量二向量 , , 间的间的距离距离定义为：定义为： d(d( , , )=)= - - 例如例如, ,V=CV=Cn n 时时, ,在标准内积之下有在标准内

50、积之下有 = =( ( , , ) )1/2 1/2 =(|=(|x x1 1| |2 2+|x+|xn n| |2 2) )1/21/2. .酉空间酉空间V V中向量长度的性质中向量长度的性质( (定理定理3.1.2)3.1.2), ,V,kV,k C C成立成立: : 0; 0; = 0 0 =0 =0 ( (非负非负) ) k k =|k|=|k| ( (齐次齐次) ) + + + ( (三角不等式三角不等式) ) |( |( , , )|)| ( (C-SC-S不等式不等式) ) 证明准备工作证明准备工作: : V,(V,( ,0)=0.,0)=0. ( ( ,0)=(,0)=( ,

51、, - - )=()=( , , )-()-( , , )=0.)=0. |( |( , , )|)|2 2 ( ( , , )()( , , ) () (* *) ) + 三角不等式几何解释三角不等式几何解释C-SC-S不等式的等价式不等式的等价式( (* *) )的的证明证明|(|( , , )|)|2 2 ( ( , , )()( , , ) () (* *) )若若 =0,=0,则则( (* *) )变为变为:0:0 0,0,显然成立显然成立. .否则否则, ,0,0,从而从而( ( , , )0. )0. k k C C有有令令 k=(k=( , , )/()/( , , ) ) 得

52、得 k(k( , , )=()=( , , ) ) 得证得证( (* *) )式成立式成立. . 三角不等式证明见教本三角不等式证明见教本p.97p.97z=a+ibz=a+ib C,Re(z)=aC,Re(z)=a |a|a| (a(a2 2+b+b2 2) )1/21/2=|z|=|z|),(),(),(),(),(0kkkkkk20( , )( , )( , ) ( , )( , )/( , )( , ) |( , )| /( , )k ),(0kk),(),(),(),(kkkk),(),(),(),(kkkk),(),(),(),(kkk当当 k=(k=( , , )/()/( ,

53、, ),),0),(),(k欧氏空间中欧氏空间中C-SC-S不等式的推论不等式的推论欧氏空间中的欧氏空间中的C-SC-S不等式推出不等式推出: :-1 -1 ( ( , , )/)/ 1 1故可令故可令coscos =(=( , , )/)/ 表示向量表示向量 , , 间间夹角夹角 的余弦的余弦. .特别特别, ,当当( ( , , )=0)=0时推出时推出coscos =0,=0, = = /2,/2,或说或说 与与 正交正交, ,记为记为: : . .推广到酉空间推广到酉空间V V得得定义定义3.2.13.2.1 若若 , ,V V满足满足( ( , , )=0,)=0,则说则说 与与 正

54、正交交, ,记为记为: : . .易见易见 ( ( , , )=0 )=0 ( ( , , )=0 )=0 . .酉空间中的正交向量组酉空间中的正交向量组 酉空间中长度为酉空间中长度为1 1的向量称为的向量称为单位向量单位向量. .酉空间酉空间中的向量组若中的向量组若不含零向量并且两两正交不含零向量并且两两正交, ,则称则称为为正交向量组正交向量组. .若若正交向量组的每个向量都是正交向量组的每个向量都是单位向量单位向量称为称为标准正交向量组标准正交向量组. . 取标准内积的酉空间取标准内积的酉空间C C4 4的下列的下列3 3向量组成一个向量组成一个( (非非标准的标准的) )正交向量组正交

55、向量组:(:(i=i= (-1)(-1) )(1,1,0,0)(1,1,0,0)T T,(1,-1,1,1),(1,-1,1,1)T T,(0,0,i,-i),(0,0,i,-i)T T. . 取标准内积的欧氏空间取标准内积的欧氏空间R R3 3的下列的下列3 3向量组成向量组成标准标准正交向量组正交向量组: :(1,0,0)(1,0,0)T T,(0,sin,(0,sin ,cos,cos ) )T T,(0,-cos,(0,-cos ,sin,sin ) )T T. .酉空间中的正交向量组的性质酉空间中的正交向量组的性质 酉空间中的向量组酉空间中的向量组 i i 是标准正交向量组的充是标准

56、正交向量组的充要条件是要条件是 i,j,(i,j,( i i, , j j)=)= ijij, ,其中其中, , ijij是是Kronecker Kronecker 记号记号, ,定义是定义是 i,i, iiii=1; =1; i i j,j, ijij=0. =0. 正交向量组正交向量组 1 1, s s 是线性无关是线性无关( (定理定理3.2.13.2.1) )证证: :要证要证 k k1 1 1 1+k+ks s s s=0 =0 k k1 1=k=ks s=0.=0.事实上事实上 i=1i=1s sk ki i i i=0 =0 j,0=(0,j,0=(0, j j) ) =( =(

57、 i=1i=1s sk ki i i i, , j j)=)= i=1i=1s sk ki i( ( i i, , j j)=k)=kj j( ( j j, , j j) ) j,kj,kj j=0 (=0 ( j j 0 0 ( ( j j, , j j) ) 0 0) ) 酉空间中酉空间中0 0是与每个向量都正交的唯一向量是与每个向量都正交的唯一向量. .线性相关与线性无关线性相关与线性无关 定义定义1.1.3(p.5)F1.1.3(p.5)F上线性空间上线性空间V V中的向量组中的向量组 1 1, s s 是线性相关的充要条件是是线性相关的充要条件是: :在数域在数域F F 中有个不全为

58、中有个不全为0 0的数的数k k1 1,k,ks s使得使得k k1 1 1 1+k+ks s s s=0=0 F F上线性空间上线性空间V V中的向量组中的向量组 1 1, s s 是线性无是线性无关的充要条件是（关的充要条件是（p.6p.6）: :如果在数域如果在数域F F中有的中有的数数k k1 1,k,ks s使得使得k k1 1 1 1+k+ks s s s=0=0则则 k k1 1=k=ks s=0=0酉空间中的标准正交基酉空间中的标准正交基 由定理由定理3.2.13.2.1推出推出:n:n维酉空间维酉空间V V中由任何中由任何n n个正交个正交向量组成的基向量组成的基, ,称为称

59、为V V的的正交基正交基. V. V的由任何的由任何n n个个标准正交向量组成的基，称为标准正交向量组成的基，称为V V的的标准正交基标准正交基. .为证在酉空间为证在酉空间V V的任何子空间都存在标准正交的任何子空间都存在标准正交基基, ,我们需要下面的定理我们需要下面的定理: :定理定理3.2.23.2.2: :设设W W是酉空间是酉空间V V中由中由线性无关线性无关向量组向量组 1 1, s s 生成的子空间生成的子空间, ,记为记为W=W=SpanSpan 1 1, s s=x=x1 1 1 1+x+xs s s s|x|x1 1,x,xs s CC 则必存在则必存在W W的标准正交基

60、的标准正交基 1 1, s s,并可用并可用SchmidtSchmidt正交化方法求出正交化方法求出. .求标准正交基的求标准正交基的SchmidtSchmidt方法（方法（P99P99）正交化正交化由由 1 1, s s 确定正交组确定正交组 1 1, s s 1 1= = 1 1 , , 2 2= = 2 2-(-( ( 2 2, , 1 1)/()/( 1 1, , 1 1) ) ) 1 1 , , 3 3= = 3 3-(-( ( 3 3, , 1 1)/()/( 1 1, , 1 1) ) ) 1 1-(-( ( 3 3, , 2 2)/()/( 2 2, , 2 2) ) ) 2 2 , ,. . . . . s s= = s s-(-( ( s s, , 1 1)/()/( 1 1, , 1 1) ) ) 1 1- -(-( ( s s, , s-1