第3章-导热-3非稳态

1、v稳态导热是一种稳态导热是一种理想化的情况。理想化的情况。v 受环境温度变化的影响，生活和工程中真正意义上的稳态导热是不存在的。v 只是对工程中的某些问题，忽略温度随时间变化所造成的影响、误差不大，而将其简化为稳态导热。非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算v非稳态导热的例子：非稳态导热的例子：v生活中：生活中：v 冷冻食品的解冻过程；微波炉、烘箱对物体的加热过程；冷冻食品的解冻过程；微波炉、烘箱对物体的加热过程；v 突然来了寒流，物体内的导热过程等等。突然来了寒流，物体内的导热过程等等。v工程中：工程中：v 机器启动、停机、变工况时部件的导热过程；机器启动、停机、变工况时部件的导热过程

2、；v 冶金、热加工、热处理工艺中工件的加热及冷却过程等；冶金、热加工、热处理工艺中工件的加热及冷却过程等；v 石油工程中钻井、焖井、采油等过程中热量在地层内的扩散过程。石油工程中钻井、焖井、采油等过程中热量在地层内的扩散过程。v具有实际意义。具有实际意义。0tv本章主要讨论本章主要讨论:v非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念v对流边界条件下对流边界条件下大平壁的一维非稳态导热大平壁的一维非稳态导热v（重点：重点：FoFo数和数和BiBi数的物理意义及对非稳态过程的影响数的物理意义及对非稳态过程的影响）v集总参数分析法集总参数分析法 ( (重点难点，掌握重点难点，掌握) )v半无限大物体的非

3、稳态导热（半无限大物体的非稳态导热（自学简介自学简介）v非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算周期性的非稳态导热周期性的非稳态导热vv通常称为通常称为准稳态。准稳态。v如如非周期性的非稳态导热非周期性的非稳态导热 v当边界条件或内热源不变时，当边界条件或内热源不变时，过程将过程将最终逐渐趋于某个新的稳定温度场。最终逐渐趋于某个新的稳定温度场。v 前面讲的例子都属于此类。前面讲的例子都属于此类。3.3 对流边界下的一维非稳态导热对流边界下的一维非稳态导热非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算（1）确定非稳态过程中的温度场）确定非稳态过程中的温度场物体中某个部位到达某个预定温度所需的时

4、间；物体中某个部位到达某个预定温度所需的时间；在预定时间内物体可以达到的温度；在预定时间内物体可以达到的温度；物体的温度对时间的变化速率。物体的温度对时间的变化速率。（2）确定非稳态过程的热流量）确定非稳态过程的热流量物体在某一瞬间每一位置处的热流密度；物体在某一瞬间每一位置处的热流密度；物体经过一段时间后的总传热量。物体经过一段时间后的总传热量。关键：关键：确定温度场确定温度场 t =f（x,y,z, ） 更复杂更复杂 三、研究方法与过程三、研究方法与过程v（1）简化假设，给出）简化假设，给出物理模型；物理模型；v（2）给出）给出数学模型数学模型（方程定解条件）；（方程定解条件）；v（3）采

5、用适当的）采用适当的数学方法求解；数学方法求解；v（4）分析讨论）分析讨论 。 非稳态导热控制方程：非稳态导热控制方程：tttctxxyyzz 对于对于几何形状简单、边界条件不太复杂几何形状简单、边界条件不太复杂的情形，仍可的情形，仍可通过数学分析的方法通过数学分析的方法获得分析解。获得分析解。 以以对流边界条件下的大平壁非稳态导热过程对流边界条件下的大平壁非稳态导热过程为例，说为例，说明非稳态导热的基本特征、分析方法和过程。明非稳态导热的基本特征、分析方法和过程。问题描述：问题描述：v厚为厚为2 、无内热源的常物性平壁；、无内热源的常物性平壁；v初始时刻温度分布均匀为初始时刻温度分布均匀为t

6、0；v某时刻突然投入到温度为某时刻突然投入到温度为t的高温的高温流体中对称加热，表面传热系数均流体中对称加热，表面传热系数均为为h，且沿壁面均匀、恒定。，且沿壁面均匀、恒定。试分析平壁内的温度变化过程。试分析平壁内的温度变化过程。 平壁的长度和宽度平壁的长度和宽度远远大于其厚度远远大于其厚度平壁两个侧面上的换热条件分别均平壁两个侧面上的换热条件分别均匀一致，匀一致，可忽略边缘散热效应可忽略边缘散热效应平壁内的温度只沿厚度方向变化平壁内的温度只沿厚度方向变化 平壁的一维平壁的一维非稳态非稳态导热导热 常物性、无内热源常物性、无内热源 第三类边界条件第三类边界条件 非稳态导热过程：非稳态导热过程：

7、v首先，受流体加热的影响，首先，受流体加热的影响，壁面两侧温壁面两侧温度立即发生变化度立即发生变化，由初温，由初温t0跃升至跃升至tw。v进入平壁的热量，进入平壁的热量，一边被吸收使平壁自一边被吸收使平壁自身温度升高身温度升高，一边被传导使热量的影响一边被传导使热量的影响范围扩大。范围扩大。v热量没有影响到的地方温度维持初始值热量没有影响到的地方温度维持初始值不变，不变，中心区域此时尚未中心区域此时尚未“感受感受”到两到两侧壁面突然受热所带来的影响。侧壁面突然受热所带来的影响。第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 非稳态导热过程：非稳态导热过程：v随着非稳态过程的延续，随着

8、非稳态过程的延续，壁面加热的壁面加热的波及区域将继续向平壁中心推进；波及区域将继续向平壁中心推进；v当温度扰动刚刚传到平壁中心对称面当温度扰动刚刚传到平壁中心对称面的那个时刻，称为的那个时刻，称为穿透时间穿透时间 c。v此时整个平壁都此时整个平壁都“感受感受”到了平壁两到了平壁两侧突然受到流体加热所带来的影响。侧突然受到流体加热所带来的影响。v非稳态导热过程：非稳态导热过程：v c时刻后，平壁内的温度随非稳时刻后，平壁内的温度随非稳态过程的延续态过程的延续继续升高继续升高，但，但温度温度升高幅度越来越小；升高幅度越来越小；v经过经过无限长时间后无限长时间后，平壁内的，平壁内的温温度又趋于均匀一

9、致度又趋于均匀一致，并等于加热，并等于加热流体温度流体温度t。v初始阶段（初始阶段（initial regime）v 也称也称非正规状况阶段非正规状况阶段，平壁内的温度分布，平壁内的温度分布主要受初始温度分布主要受初始温度分布t0的影响。的影响。v正规状况阶段（正规状况阶段（regular regime）v 穿透时刻之后，非稳态过程进行到一定的程度，穿透时刻之后，非稳态过程进行到一定的程度，v平壁初始温度分布的影响逐渐消失平壁初始温度分布的影响逐渐消失，此时平壁内部，此时平壁内部温度分布主要受热边界条件影响温度分布主要受热边界条件影响。v 正规状况阶段温度分布的计算要简单得多。正规状况阶段温度

10、分布的计算要简单得多。v非稳态非稳态过程的特点：过程的特点：进入平壁的热量，一边被吸收，一边被传导。进入平壁的热量，一边被吸收，一边被传导。 吸收的结果吸收的结果：使进出平壁的热量不等，而且导使进出平壁的热量不等，而且导致自身温度升高；致自身温度升高； 传导的结果：传导的结果：凡热量能够影响到的区域，平壁凡热量能够影响到的区域，平壁温度都将发生变化。温度都将发生变化。同一时刻通过平壁任意两个位置处的热流同一时刻通过平壁任意两个位置处的热流密度密度是不相等的。是不相等的。 通过侧壁面进入平壁的热流量通过侧壁面进入平壁的热流量随时间变化：随时间变化：v当平壁当平壁刚投入流体中时刚投入流体中时，由于

11、，由于流体和壁面间的传热温差最大，流体和壁面间的传热温差最大，热流量热流量 立即达到最大值；立即达到最大值；v随着随着壁面温度的升高而减小，壁面温度的升高而减小，最终趋于零。最终趋于零。v从初始时刻到任意时刻，热流量曲线下的面积就是从初始时刻到任意时刻，热流量曲线下的面积就是这段时间内流体传给平壁的这段时间内流体传给平壁的总热量总热量Q。v这些热量全部被平壁吸收，增加平壁的热力学能。这些热量全部被平壁吸收，增加平壁的热力学能。（1 1）物体内各点的温度随时间而变。）物体内各点的温度随时间而变。（2 2）在热量传递的路径中，每个截面上的热）在热量传递的路径中，每个截面上的热流量是处处不等的。流量

12、是处处不等的。（3）对于瞬态导热，存在两个不同阶段：）对于瞬态导热，存在两个不同阶段： A、初始阶段（非正规状况阶段）、初始阶段（非正规状况阶段） 温度分布主要受初始温度分布的影响。温度分布主要受初始温度分布的影响。 B、正规状况阶段、正规状况阶段 初始温度分布的影响消失，温度分布主要受热边界条件的影响。初始温度分布的影响消失，温度分布主要受热边界条件的影响。v数学模型：数学模型：v两侧受流体对称加热，两侧受流体对称加热，中心面为对中心面为对称面，称面，只需只需研究半厚研究半厚 的平壁。的平壁。 v将将坐标原点置于平壁中心面坐标原点置于平壁中心面，建立，建立如图所示直角坐标系。如图所示直角坐标

13、系。221ttaxv物理模型：物理模型：v常物性、无内热源、一维平壁常物性、无内热源、一维平壁0,0 x完整的数学描述：完整的数学描述： 0|0 xxt|xxth ttx00|tt x0 22xtat0,0 x 初始条件：初始条件： 边界条件：边界条件： 控制方程：控制方程：( , , , , , )tf h tax 非齐次非齐次tt 过余温度 22xa000|tt0|0 xx|xxhx求解方法很多，典型的有：求解方法很多，典型的有： 分离变量法分离变量法 Laplace变换方法变换方法齐次化齐次化v解析解：解析解： 2210,expcosnnnnxaxC式中式中 n称为称为特征值特征值，超越

14、方程超越方程的根。的根。 4sin2sin 2nnnnCtannnh v解的形式复杂。解的形式复杂。v分析发现：平壁内的分析发现：平壁内的过余温度比值只与三个无量纲量有关。过余温度比值只与三个无量纲量有关。2aFo傅里叶数 hBi毕渥数210,expo co,snnnnxxxfFoCBFitannnBiv由于式中含有无穷级数，计算工作量很大。由于式中含有无穷级数，计算工作量很大。 v计算表明：式中的指数项衰减很快。计算表明：式中的指数项衰减很快。 所得结果的误差小于所得结果的误差小于1。2( , )( ) (0, ) mxxfBi该比值与时间无关，100(0, )()mf FoBi，12110

15、11,4sinexpo cos2sin 2xxF00( , )mmx意味着意味着初始条件的影响已经消失初始条件的影响已经消失，这就是，这就是正规状况阶段。正规状况阶段。工程上常采用两种简化计算方法：工程上常采用两种简化计算方法： 诺模图诺模图海斯勒海斯勒(Heisler)提出；提出； 近似拟合公式近似拟合公式Campo提出。提出。0.2Fo 这一这一000()QcV ttcV0011VQdVQV 00QQQQ求解00,ddVVQc t xtVcV30(,)QfFo BiQ工程上常采用两种简化计算方法：工程上常采用两种简化计算方法： 诺模图诺模图海斯勒海斯勒(Heisler)提出；提出； 近似拟

16、合公式近似拟合公式Campo提出。提出。v特征数或准则数：特征数或准则数：v特征长度特征长度l ：出现在特征数中的几何尺度出现在特征数中的几何尺度不同情况下，不同形状的物体特征长度是不同的。不同情况下，不同形状的物体特征长度是不同的。0 ( , )( )xxf FoBi解的无量纲化形式：，( , , , , , )tf h tax 1） Fo22aFoa分子分子 表示表示边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻为止的时间；为止的时间；分母分母2/a表示表示热扰动经过一定厚度的固体层传播到热扰动经过一定厚度的固体层传播到面积面积2上所需要的时间。上所需要的时间。Fo数

17、可看成是数可看成是反应非稳态进程的无量纲时间反应非稳态进程的无量纲时间。Fo数越大，数越大，边界上的热扰动就能更深入地传播到边界上的热扰动就能更深入地传播到物体内部，非稳态过程进行得越充分。物体内部，非稳态过程进行得越充分。 当当Fo 0.2时，时，进入非稳态导进入非稳态导热的正规状况阶段！热的正规状况阶段！ 当当Fo 1/h，可以忽略表面对流热阻，可以忽略表面对流热阻，即即 v从平壁放入流体中的那一刻起，从平壁放入流体中的那一刻起，壁面就具壁面就具有和流体相同的温度。有和流体相同的温度。v随时间的推移，平壁内各点的温度逐渐升随时间的推移，平壁内各点的温度逐渐升高而最终趋于高而最终趋于t。1h

18、Bih v第三类边界条件转化为第一类边界条件。第三类边界条件转化为第一类边界条件。 v（2）Bi0时时v即物体内部的导热热阻远远小于表面的即物体内部的导热热阻远远小于表面的对流热阻对流热阻 / t。v试分析物体的温度随时间的变化规律。3.4 集总参数分析法集总参数分析法物理模型物理模型 v建立控制方程可采用两种方法：建立控制方程可采用两种方法：v基于导热微分方程的方法。基于导热微分方程的方法。忽略了温度沿空间的变忽略了温度沿空间的变化后，可以舍去导热微分方程中的扩散项，化后，可以舍去导热微分方程中的扩散项，将物体与环将物体与环境间的换热量视为虚拟热源境间的换热量视为虚拟热源，由导热微分方程可得

19、到集，由导热微分方程可得到集总热容系统的控制方程。总热容系统的控制方程。v基于能量守恒的方法。基于能量守恒的方法。物理概念清楚、容易理解。物理概念清楚、容易理解。数学模型数学模型3.4 集总参数分析法集总参数分析法v取整个物体作为控制容积：取整个物体作为控制容积：v无内热源时，物体冷却过程中应满足的关系：无内热源时，物体冷却过程中应满足的关系：outhA ttVinoutsE outsEv物体表面散热量全部来自于其热力学能的减少。物体表面散热量全部来自于其热力学能的减少。sdtEcVdddthA ttcV 数学模型数学模型3.4 集总参数分析法集总参数分析法d0dthAttcV初始条件：初始条

20、件：00tt非齐次方程非齐次方程 数学描述数学描述3.4 集总参数分析法集总参数分析法ddhAcV 000tt分离变量、积分：分离变量、积分：00ddhAcV00 exphAcVtthAttceVtt 过余温度 自然指数函数自然指数函数集总热容系统的温度分布：集总热容系统的温度分布：齐次方程齐次方程00exp tthAttcV特点：特点：在过程在过程开始阶段，温度开始阶段，温度变化很快变化很快；随着时间的延续，随着时间的延续，温度变化幅度逐渐减小温度变化幅度逐渐减小。 表明：物体中过余温度随时间表明：物体中过余温度随时间按负指数函数规律变化按负指数函数规律变化。3.4 集总参数分析法集总参数分

21、析法100.36836.8%eccVhA 温度场温度场 注意：注意：热电偶的时间常热电偶的时间常数不仅与数不仅与自身的几何参自身的几何参数数(V/A)和和物性参数物性参数(c)有有关，还取决于关，还取决于热电偶与热电偶与外界间换热条件外界间换热条件h。 时间常数对测量温度的热电偶时间常数对测量温度的热电偶来说非常重要，反映来说非常重要，反映热电偶对流热电偶对流体温度变化响应快慢的指标。体温度变化响应快慢的指标。 时间常数越小，热电偶的反应时间常数越小，热电偶的反应越灵敏，越能迅速反映出流体温越灵敏，越能迅速反映出流体温度的变化。度的变化。3.4 集总参数分析法集总参数分析法c cVhA时间常数

22、思考题思考题 21过程量过程量 3.4 集总参数分析法集总参数分析法2()()VVhAh V AaBi FocVV A0expc式中式中 BiV和和FoV分别为以分别为以V/A特征长度特征长度的的毕渥数毕渥数和和傅里叶数傅里叶数。计算公式：计算公式：0expVVBi Fo3.4 集总参数分析法集总参数分析法ccVhA00exptthAttVc（1）已知温度）已知温度t，求时间，求时间 ；（2）已知时间）已知时间 ，求温度，求温度t；（3）已知温度）已知温度t和时间和时间 ，求，求 c或或h。（瞬时）热流量：（瞬时）热流量：0expW hAhA tthAhAcV 总换热量：总换热量：从初始从初始

23、0时刻到某一时刻时刻到某一时刻 000d1 exp J hAQcVcV热量的计算：热量的计算：3.4 集总参数分析法集总参数分析法 V/AM11/21/3() 0.1Vh V ABiM误差不会超过误差不会超过5%M是与物体几何形状有关的无量纲量是与物体几何形状有关的无量纲量3.4 集总参数分析法集总参数分析法 （1 1）上述分析结果既适用于物体被加热的情况，也适用）上述分析结果既适用于物体被加热的情况，也适用于物体被冷却的情况。于物体被冷却的情况。（2 2）以上计算公式针对第三类边界条件下的导热。）以上计算公式针对第三类边界条件下的导热。3.4 集总参数分析法集总参数分析法习题习题3-23 习

24、题习题3-24 （具有内热源）（具有内热源） （3） 若表面传热系数若表面传热系数h或或V/A未知，无法确定未知，无法确定BiV数大小数大小 ? 先假设先假设成立成立，采用集总参数法求出用集总参数法求出h或或V/A后；后； 最后进行校核：最后进行校核： (这一步这一步非常重要，不要忘记！非常重要，不要忘记！) 3.4 集总参数分析法集总参数分析法作业题：作业题： 3-25 球体球体 V/A=R/3， 例题例题3-9 3-26 长圆柱体长圆柱体 V/A=R/2=d/4 未知待求未知待求 先假设先假设；最后校核！最后校核！ 例题：例题：将一个初始温度为将一个初始温度为20、直径为、直径为100mm

25、的钢球投入的钢球投入1000的加热炉中加热，表面传热系数的加热炉中加热，表面传热系数h=50W/(m2K)。已。已知钢球密度为知钢球密度为7790kg/m3，比热容为，比热容为470J/(kgK)，导热系数，导热系数为为43.3W/(mK)。 试求钢球中心温度达到试求钢球中心温度达到800所需时间。所需时间。 解：解： 首先判断能否用集总参数法求解。首先判断能否用集总参数法求解。31 . 0019. 0K)W/(m3 .433m05. 0K)W/(m5032RhBiV可用集总参数法求解。可用集总参数法求解。 00VVBiFottett2283.6()3acFoV AR VFoe019. 0C1

26、000C20C1000C800196832.8mins作业：作业： 思考题思考题 8,10,13,14,21 3-25 球体球体 V/A=R/3， 例题例题3-9 3-26 长圆柱体长圆柱体 V/A=R/2 未知待求！未知待求！ 先假设先假设成立；成立；最后校核。最后校核。v自学为主：v了解半无限大物体的概念；了解半无限大物体的概念；v了解应用背景；了解应用背景；v了解求解过程；了解求解过程；v能够求解实际的半无限大物体非稳态导热问题。能够求解实际的半无限大物体非稳态导热问题。v仔细阅读例题。仔细阅读例题。非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算v半无限大系统指的是一个半无限大的空间，也就

27、是一个从其表面可以向其深度方向无限延展的物体系统。v很多实际的物体在加热或冷却过程的初期都可以视为是一个半无限大固体的非稳态导热过程。wtt0tx2200000,wttaxttxttxtt ，有一半无限大物体，初始温度均匀为t0。在=0时刻，x=0的侧面突然受到热扰动，表面温度突然变化到tw，并一直保持恒定。第一类边界条件第一类边界条件引入引入过余温度过余温度wtt240002( )2xwawttxderferfttae半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热高斯误差函数：高斯误差函数：202,( )1 ( )( )1erferfederf 有限大小时，)(0erf2xa无量纲变量：无

28、量纲变量：说明：说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标无量纲温度仅与无量纲坐标 有关。有关。(2) 一旦物体表面发生了一个热一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时扰动，无论经历多么短的时间，无论间，无论x有多么大，该处总有多么大，该处总能感受到温度的变化。能感受到温度的变化。02(2)0.9953erf时，可认为该处温度没有变化！半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热无量纲温度：无量纲温度： 1 1、几何位置、几何位置则在时刻x处的温度可以认为尚未变化。2 2、时间条件、时间条件此时此时x处温度可认为完全不变（处温度可认为完全不变（t0），）， 视为惰性时间。视为惰性时间。

29、2 4 2xaxa两个重要参数两个重要参数2126xaax162 当局部当局部Fo数数 时，物体中的非稳时，物体中的非稳态导热可以作半无限大物体来处理。态导热可以作半无限大物体来处理。 对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体非稳态导热的初始阶段，在惰性时间以内。用于物体非稳态导热的初始阶段，在惰性时间以内。2=0.0625aFox半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热一段时间一段时间0,0, 内累计的传热量：内累计的传热量：020J/2 m wqq dc 吸热系数吸热系数02 W /mwqa 边界面上的瞬时热流量：边界面上的瞬

30、时热流量：x =0=0任一点的瞬时热流量：任一点的瞬时热流量：24201 W/mxaxqxae 传热量计算传热量计算半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热 第三类边界条件第三类边界条件2020exp122ttxhxh axhaerferfttaa 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热2002( , )exp421e22aqq xxxt xerfcaaxxerfcrfaa余误差函数第二类边界条件第二类边界条件v计算目的：计算目的：确定井筒内流体温度沿井深的变化。确定井筒内流体温度沿井深的变化。v计算关键：计算关键：井筒内流体与地层之间的传热量。井筒内流体与地层之间的传热量。

31、v计算困难：计算困难：具体具体工艺工艺不同不同，井筒，井筒结构不同结构不同，井筒内，井筒内流体与地层之间的流体与地层之间的热量传递过程中涉及到的热量传递热量传递过程中涉及到的热量传递方式和环节也不尽相同。方式和环节也不尽相同。非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算v为了便于分析，通常将整个热量传递过程分为：为了便于分析，通常将整个热量传递过程分为：地层内的热量传递过程地层内的热量传递过程，简称，简称“地层内地层内” ，导热导热；井筒内的热量传递过程井筒内的热量传递过程，简称，简称“井筒内井筒内” ，热量传递热量传递方式和环节取决于具体工艺过程。方式和环节取决于具体工艺过程。v二者分界面：

32、二者分界面：钻井、固井等工艺中，钻井、固井等工艺中，分界面是裸露的井壁；分界面是裸露的井壁；采油、注汽、压裂等工艺中，采油、注汽、压裂等工艺中，分界面是水泥环外缘。分界面是水泥环外缘。非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算实际的热量传递过程v井筒举升传热过程：井筒举升传热过程：产出液油管内侧表面： 对流传热油管内侧表面外侧表面： 导热油管外侧表面套管环空： 对流传热、辐射传热套管内侧表面外侧表面： 导热水泥环、地层：导热产出液、油管、环空、套管、水泥环、地层产出液、油管、环空、套管、水泥环、地层注蒸汽井：注蒸汽井：v本节主要分析：本节主要分析：v 地层内的热量传递过程地层内的热量传递过程

33、导热过程导热过程v方法很多：方法很多：v 如理论分析法、数值分析方法等。如理论分析法、数值分析方法等。v 应用最多的是应用最多的是半解析法半解析法（主要介绍）（主要介绍）非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算v井筒周围地层内的导热过程是复杂的井筒周围地层内的导热过程是复杂的：v1 1）自井筒向外的地层无限大，）自井筒向外的地层无限大，过程永远也达不到稳定状态过程永远也达不到稳定状态v2 2）受地质成因与构造的影响，自地面到油层，）受地质成因与构造的影响，自地面到油层，地层非均质地层非均质性较强，相关物性是变化的性较强，相关物性是变化的v3 3）受地核的加热作用，）受地核的加热作用，地层温

34、度向地心方向不断增加地层温度向地心方向不断增加v4 4）井筒结构不同，地层和井筒的交界面不同，）井筒结构不同，地层和井筒的交界面不同，交界面处的交界面处的边界条件难以给出。边界条件难以给出。 物理模型物理模型非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算v在在数千米深的地层数千米深的地层内内全面考虑上述因素全面考虑上述因素直接求解其导热问直接求解其导热问题是复杂和困难的题是复杂和困难的，结果也不利于工程计算。结果也不利于工程计算。v计算时通常计算时通常将井筒和地层分成若干小段将井筒和地层分成若干小段，每段可假设：，每段可假设： 1 1）地层是均质的，各物性均为常数；）地层是均质的，各物性均为常数

35、； 2 2）该段中间位置处的原始地层温度该段中间位置处的原始地层温度均匀，均匀，为为初始温度；初始温度；物理模型物理模型3）忽略周向和忽略周向和轴向轴向的导热；的导热；4）地层内）地层内不存在内热源；不存在内热源；5）为了便于和井筒内的计算相耦合，）为了便于和井筒内的计算相耦合，假设假设地层和井筒的地层和井筒的交界面处于第二类边界条件。交界面处于第二类边界条件。常物性、无内热源的一维非稳态导热常物性、无内热源的一维非稳态导热非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算v选取柱坐标系：选取柱坐标系：v以地表为坐标原点以地表为坐标原点v井筒中心线为井筒中心线为z轴，沿井筒向下为正方向轴，沿井筒向下

36、为正方向v从井筒向外为径向正方向从井筒向外为径向正方向数学模型与求解数学模型与求解非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算ztztrrtrrrct211柱坐标系下导热微分方程的一般形式：柱坐标系下导热微分方程的一般形式： 11ttrrrra式中式中 a为地层热扩散系数，为地层热扩散系数，m2/s。 常物性、无内热源、一维径向、常物性、无内热源、一维径向、 非稳态导热非稳态导热数学模型与求解数学模型与求解初始条件：初始条件：00zttt0z该段中间位置处该段中间位置处原始地层温度原始地层温度：0szttmz式中，式中，ts为地表处不受环境影响的温度，为地表处不受环境影响的温度，； m为地温梯度，为地温梯度，/m； z为该段中间位置处的坐标。为该段中间位置处的坐标。 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算数学模型与求解数学模型与求解边界条件：边界条件： 在地层和井筒的交界面在地层和井筒的交界面r=R处：处：2r Rlztrqr径向无限远处：径向无限远处：0rztt式中，式中， 为为地层导热系数；地层导热系数； R为为交界面处半径；交界面处半径； qlz为该段内单位长度井筒通过界面传给地层的热量，为该段内单位长度井筒通过界面传给地层的热量，W/m； t0z