2022年解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法

1、学习必备欢迎下载解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角 函数、解析几何为载体具有肯定的综合性， 解决这类问题， 主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，如函数f x 在定义域为 d，就当 x d 时，有 f xm 恒成立f x minm ；f xm恒成立f x maxm .因而 ,含参数不等式的恒成立问题常依据不等式的结构特点,恰当地构造函数 ,等价转化为含参数的函数的最值争论 .例一已知函数 f x2x1x1 .x1求 fx 的反函数f 1 x ;如不等式 1x f1 xa ax 对于 x1 , 1164恒成立

2、,求实数 a 的取值范畴 .分 析： 本 题的 其次 问将 不等 式 1x f 1 xa ax转化 成为 关于 t的一 次函 数g t1a t1a 2 在 t1 , 1恒成立的问题 . 那么，怎样完成这个转化呢？转化之后又应当如何处理呢？【解析】 略解 f 1 x421x 0x11x由题设有 1x 11xa a xx , 1xa 2ax ,即 1ax1a 20对于 x1 , 1164恒成立. 明显,a-1令tx ,由 x1111,可知 t,就 g t1a t164421a 20 对于t1 , 1恒成立 .4 2由于 g t1a t1a 2 是关于 t 的一次函数 .（在 t1 , 1的条件下

3、g t1a t1a2 表42示一条线段，只要线段的两个端点在x 轴上方就可以保证 g t1a t1a20 恒成立）g 104g 1021 1a41 1a21a 201a 201a54例二定义在 r 上的函数f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,时，有2f cos22msinf2m20 恒成立，求实数 m 的取值范畴 .分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间 0，1上恒为正的问题 .而对于 f x0 在给定区间 a，b上恒成立问题可以转化成为 fx 在a，b上的最小值问题，如f x 中含有参数，就要求对参数进行争论；【解析】 由 fc

4、os22msinf2m20 得到：f cos22msinf2m2由于 fx 为奇函数，t=mgt故有 fcos22msinf 2m2 恒成立，又由于f x 为 r 减函数，t·从而有cos 22msin2 m2 对0,恒成立2o1图 1设sint ，就t 22mt2m10 对于t0,1 恒成立，gtt=m在设函数 g tt 22mt2m1 ,对称轴为 tm.当 tm0 时， g 02m10 ，t·o11图 2即m，又 m0 2 1m20 如图 1gtt=m当 tm0,1 ，即 0m1 时,4m24m 2m10 ,即 m 22m10 , 12m12 ,又 m0,1 ,

5、3;t 0m1 如图 2o1图 3当 tm1时， g 112m2m120 恒成立 . m1 如图 3故由可知： m1 .2例三定义在 r 上的单调函数 fx满意 f3=log 2 3 且对任意 x， yr 都有 fx+y=fx+fy (1) 求证 fx为奇函数；(2) 如 f k3xf 3 x9 x20 对任意 xr 恒成立，求实数 k 的取值范畴分析: 问题1欲证 fx为奇函数即要证对任意 x 都有 f-x=-fx 成立 在式子 fx+y=fx+fy 中，令 y=-x 可得 f0=fx+f-x 于是又提出新的问题， 求 f0的值令 x=y=0 可得 f0=f0+f0 即 f0=0，fx是奇函

6、数得到证明问题 2的上述解法是依据函数的性质 fx是奇函数且在x r 上是增函数，把问题转化成二次函数 ft=t 2 -1+kt+2 0 对于任意 t0 恒成立对二次函数 ft 进行争论求解【解析】 1证明： fx+y=fx+fyx ， yr， 令 x=y=0 ，代入式，得 f0+0=f0+f0 ，即 f0=0 令 y=-x ，代入式，得 fx-x=fx+f-x ，又 f0=0 ，就有0=fx+f-x 即 f-x=-fx 对任意 xr 成立，所以 fx 是奇函数2解： f3=log 2 30，即 f3 f0，又 fx 在 r 上是单调函数， 所以 fx 在 r 上是增函数，又由 1fx 是奇函

7、数f k 3xf 3x9x2f3x9x2 ，k 3 x3x9 x2即 32 x1 k3x2 0对于任意 xr 恒成立.令 t=3 x 0，问题等价于 t 21 k t2 0对于任意 t0 恒成立.令 f tt 21k t2 ,其对称轴为直线 x1k2当 1k20 ,即 k1时,f 020 恒成立,符合题意 ,故 k1;当 1k20 时,1 k0对于任意 t0 , f t0 恒成立21k 242，解得 1k0122综上所述 ,当 k1 22 时, f k3xf 3x9 x20 对于任意 xr 恒成立.此题仍可以应用分别系数法 ,这种解法更简捷 .分别系数 ,由 k 3 x3 x9 x2 得 k3

8、 x21 .3x由于 xr ,所以 3x0 ,故u3 x21223x1 ,即 u 的最小值为 2 21.要使对于 xr 不等式 k3 x2 1 恒成立 ,只要 k3 x221说明: 上述解法是将 k 分别出来，然后用平均值定理求解，简捷、新奇例四 已知向量 a = x2 ，x+1， b = 1- x，t；如函数函数，求 t 的取值范畴；（ 2005 年湖北卷第 17 题）f xa b在区间（ -1，1）上是增分析：利用导数将“函数f x 在区间（ -1，1）上是增函数”的问题转化为“f x0 在（ -1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数f x3x22xt0 在区间（ -1，1）上恒成立” ，利用分别系数法将 t 分别出来，通过争论最值来解出t 的取值范畴；【解析】 依定义f xx2 1xt x1x3x 2txt ；就 f x3x 22xt ，如 f x 在（ -1，1）上是增函数，就在（ -1，1）上可设f x0 恒成立；y f x0t3x 222 x 在（ -1，1）上恒成立；x1gx3考虑函数 g x3x2x ，（如图 4）由于 gx 的图象是对称轴为 x1 ，3开口向上的抛物线，x故要使 t3x22 x 在（ -1， 1）上恒成立tg1 ，·-1· · ·o1即t而当 t5 ；5