勾股定律的逆定律

1、第02课勾股定理逆定理【例1】若厶ABC三边长满足下列条件，判断ABC是不是直角三角形？若是，请说明哪个教角是直角.(1) BC=J, AB=2, AC=1;14(2) ABC中，/ A,Z B,Z C所对的边分别为 a, b, c, a=n2- 1, b=2n, c=n2+1 (n> 1)【例2如果 ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断 ABC的形状。【例3如图， ACBD ECD都是等腰直角三角形，/ ACB2 ECD=90 , D为AB边上一点。求证： ACEA BCD若 AD=5, BD=12,求DE的长。【例4】观察下列等式：32

2、+42=52; 52+122=132; 72+242=252; 92+402=412按照这样的规律，第七个等式是:【例5】如图，已知在正方形 ABCD中 ,F为DC的中点,E为CB的四等分点且 CB=4CE求证：AF丄FE.A第16页共10页【例6】如图，已知 ABC中，/ C=90° ,D为AB的中点,E、F分别在 AC BC上 ,且DE丄DF.求证：A+ bF= EF2.课堂同步练习一、选择题：1、若线段a, b, c组成Rt，则它们的比可能为（）A . 2: 3: 4 B . 3: 4: 6C.5: 12: 13D.4 : 6: 72、 ABC中/A、/ B、/ C的对边分别是

3、 a、b、c,下列命题中的假命题是 （）A .如果/ C-/ B=/人，则厶ABC是直角三角形B. 如果c2=b2- a2,则厶ABC是直角三角形，且/ C=90°C. 如果（c+a）（ c - a） =b2，则 ABC是直角三角形D. 如果/ A: / B:/ C=5: 2: 3,则厶ABC是直角三角形3、 ABC的三边为 a、b、6且（a+b）（ a - b） =c2,则（）A. ABC是锐角三角形B.c边的对角是直角C. ABC是钝角三角形D.a边的对角是直角Rt ABC中，已知两边长分别为 直角三角形；三角形的三边分别为 则厶ABC是直角三角形.Z二4、下列命题中，其中正确的

4、命题的个数为（）3和4,则第三边长为5;有一个内角与其他两个内角的和相等的三角形是a, b, c,若 a2+ c2=b2，则/ C=90°在 ABC中，/ A: / B: / C=1:5:6 ,B . 2个C . 3个5、如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是 （ ）A. CD 、EF、GHB. AB、CD GHC.AB、EF、GHD.AB、CD EFC E B6、如图，四边形 ABCD中,/ B=/ D=90°,/ A=45°, AB=3 CD=1 贝U BC的长为（）C "A . 3B

5、. 2C.+ ：D.-心7、如图，有一块地 ABCD已知 AD=4米，CD=3米，/ ADC=90 ,AB=13米,BC=12米，则这块地面积为（）A . 60 米B . 48 米 2C . 30 米 2D . 24 米28、在厶ABC中，/ C=90°, c2=2b2,则两直角边 a, b的关系是（A . a<bB. a>b C . A=b D）.以上三种情况都有可能9、已知a, b, c为厶ABC的三边长，且满足 a2c2-b2c2=a4 - b4,判断 ABC的形状()D .等腰三角形或直角三角形a、b、c,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试

6、判断 ABCA .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形10、已知：在厶 ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是 的形状(C.锐角三角形D.钝角三角形ABC使点C在格点上，满足这样条件的点 C的个数()A. 直角三角形B.等腰三角形11、如图，在5X 5的正方形网格中，以AB为边画直角B . 7C .ABC内的一点，连结PA,PB,PC,以PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ试判断 PQC的形状(A.直角三角形B.等腰三角形C.D. 9BP为边作/ PBQ=60 ,且BQ=BP连结CQ.若)锐角三角形D.钝角三角形二、填空题：13、有四个三角形，分别满足下列条件：(1) 一个内

7、角等于另外两个内角之和；(2) 三个内角之比为 3: 4: 5;(3) 三边之比为5: 12: 13;(4) 三边长分别为 7、24、25.其中直角三角形有 个.14、在厶ABC中，a、b、c分别是/ A / B/ C的对边， 若 a2 + b2> c2，则/c 为; 若 a2 + b2= c2，则/c 为; 若 a2 + b2v c2，则/c 为.15、 已知一个三角形的三边长分别是12, 16, 20,则这个三角形的面积为 .16、 如图，DABC的边 BC上一点，已知 AB=13, AD=12 AC=15 BD=5,贝U BC的长为17、已知a、b、c是厶ABC的三边长，且满足关系

8、式c2 a2 b2 +|a-b|=0,则厶ABC的形状为 18、如图，AB=5, AC=3, BC边上的中线 AD=2,则厶ABC的面积为 A19、如图，由四个边长为 1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到厶ABC则厶ABC中BC边上的高是。/20、如图， ABC是边长6cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A B两点出发，分别在 AB BC边上均速移动， 它们的速度分别为 W=2cm/s，V=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点 P的运动时间为ts，则 当t= s时, PBQ为直角三角形.三、简答题：21、如图，有一块地，已知AD=4m,CD=3m/AD

9、C=90 ,AB=13m,BC=12m求这块地的面积。22、如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米,BC长15米,CD长为20米,DA长7米，/ C=90° .求绿地ABCD勺面积.23、已知 ABC三边长a,b,c满足a2+b2+c2-12a-16b-20c+200=0,请判断 ABC的形状并说明理由2 2 2 224、已知： ABC的三边分别为 m n ,2mn,m +n （m,n为正整数,且m> n）,判断 ABC是否为直角三角形25、如图，已知一块四边形草地 ABCD其中/ A=45° , / B=Z D=90° ,AB=20m,CD=1

10、0m求这块草地的面积.26、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破已知点 C与公路上的停靠站 A的距离为300米，与公路上的另一停靠站 B的距离为400米，且CAL CB如图所示为了安全起见，爆破点 C周围半径 250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路 AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明.勾股定理逆定理同步测试题1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A.6,8, 10 B.5,12, 13C.1,2,3 D.9,12, 15)2、五根小木棒，其长度分别为7, 15, 20, 24, 25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（3、 三角形的

11、三边长为 a, b, c,且满足（a+b） 2=c2+2ab，则这个三角形是（A .等边三角形B.钝角三角形 C.直角三角形D .锐角三角形4、若 ABC 的三边 a、b、c,满足（a- b）（ a2+ b2 c2） =0 ,则厶 ABC 是（D.等腰直角三角形A.等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形5、下列说法中，不正确的是（）A.三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形C.三边长度之比为 3:4:5的三角形是直角三角形D.三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形6、 有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、

12、39cm的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个7、 有下列判断： ABC中，川_卜：厂，则厶ABC不直角三角形：厶 ABC是直角三角形，_“：，则 .厂：厶ABC中，； 门，则厶ABC是直角三角形；若 ABC是直角三角形，则（/ ，正确的有（）A、4个B、3个C、2个D、1个8、如图，矩形 ABCD中，AB=3 , AD=1 , AB在数轴上，若以点 A为圆心，对角线 AC的长为半径作弧交数轴 于点M，则点M表示的数为（）A. 2C.A7BC9、 如图，有一块地，已知AD=4米,CD=3米，/ ADC=90 ° ,AB=13米,BC=12

13、米，则这块地的面积为（）A. 24平方米B. 26平方米C. 28平方米D. 30平方米10、 在下列条件中： 在 ABC中，/A: / B:Z C=1:2:3;三角形三边长分别为 32, 42, 52;在 ABC中，三边a, b, c满足（a+b ）（a-b）=c2:三角形三边长分别为m-1,2m,m+1（m为大于1的整数），能确定厶ABC是直角三角形的条件有（）A . 1个B. 2个C. 3个D . 4个11、在厶 ABC 中，如果（a+b）（ a- b） =c2,那么/ =90°.12、 若三角形三边分别为6, 8, 10,那么它最长边上的中线长是 .13、 某住宅小区有一块草

14、坪如图4所示，已知 AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB丄BC,这块草坪的面积是 。14、 若一个三角形的三边长分别为1、a、8（其中a为正整数）则以a-2、a、a+2为边的三角形面积为.15、 在厶ABC中，若其三条边的长度分别为 9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 .16、如图，RtA ABC中，/ ACB=90。，/ABC=60 ° ,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从 A点出发,沿着AtB A的方向运动，设E点的运动时间为t秒连接DE,当厶BDE是直角三角形时,t的值.17、如图，一块地，已知 AD=4m,

15、CD=3m, / ADC=90 ° ,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。18、如图，已知/ ADC=90 ° , AD=8 , CD=6 , AB=26 , BC=24 .(1)证明： ABC是直角三角形.(2)请求图中阴影部分的面积.19、如图，在 ABC中，/ ABC=45 ° ,CD丄AB,BE丄AC,垂足分别为 D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点 G,H, / ABE = Z CBE . (1)求证：BH=AC ; (2)求证：BG2 GE2 = EA2.20、已知a、b、c ABC的三边且满足a2c2- b2c2=a4 - b4,

16、试判断 ABC的形状. 解：T W b2c2=a4 - b4， c2 (a2 - b2) = (a2+b2)( a2 - b2). c2=a2+b2. ABC是直角三角形.问：(1) 在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：(2) 错误的原因为;(3) 本题正确的解题过程：【例1】解：(1)T(例题答案详解(2)【例2】罢也2,-16-2【例 【例 【例 【例3】4】5】6】4222422(n 1) + (2n) =n+2n +1= (n +1) 解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 (a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0。2 2 2/ (a-

17、3)> 0, (b-4)> 0, (c-5)>/ 3 2+42=52, a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理,通过SAS证明全等13152+1122+1132.提示：提示：连结延长bC+aC=aB.a ABC是直角三角形; a2+b2=c2,.A ABC是直角三角形. a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0,0。- - a=3,b=4, c=5。得厶 ABC是直角三角形。AF, EF, AE 的长,1、C 2、B 313、14、AE,设正方形的边长为 4a,计算得出FD至U M使 DM= DF,连结 AM, EM课堂同步参考答案4、B 5、C 6、D 7

18、、D 8、C 9 、D 10、A 11、由aF + EF2= AE2得结论.C 12、A15、答案为3.锐角；直角；钝角.9616、17、18、14等腰直角三角形6 .提示：延长 AD到E,使DE= AD,连结BE,可得 ABE为Rt .19、20、21、22、24【解答】解：连接 BD如图所示:C=90°, BC=15米，CD=20米，二 BD= 一-= ；丨.，：'=25 (米)在厶 ABD中，T BD=25米，AB=24米，DA=7米，242+72=252,即卩 aB"+bD=aD, ABD是直角三角形.二 S四边形 ABCI=SABD+Sa BCDAB?BD

19、;BC?CD- X 24 XX 15X 20=84+150=234 (平方米)；即绿地ABCD勺面积为234平方米.24、证明:直角三角形(新一用亠(2w3«)2 = m4 - 2期细2+4附如所以 ABC是直角三角形25、150m?.提示：延长 BC, AD交于E.26、解：公路 AB需要暂时封锁.理由如下：如图，过C作CDL AB于D.因为BC=400米，AC=300米，/ ACB=90，所以根据勾股定理有AB=500米.因为由于Sa ab(=_AB?CD=.BC?AC 所以2 2240米v 250米，故有危险,CD=240米.因此1、C 2、C 3、C90°.4、C5、BAB段公路需要暂时封锁.同步测试题参考答案6、B 7、C 8、C 9、A10、 B11、12、13、14、15、5.368 提示：7v av 9,108a= &16、2,6,3.5,4.517、24在 RtA ADC中，/ ADC=90 ° , AD=8 , CD=618、解答】(1)证明： AC =AD +CD =8+6=100, AC=10 (取正值). 在厶 ABC 中，T AC2+BC2=102+242=676 , AB2=262=676 , AC2+BC2=AB2,