高等数学及其应用电子教案第二版同济大学数学系ch34

1、第四节第四节 定积分定积分本节要点本节要点 本节通过对具体问题的分析本节通过对具体问题的分析, 引出了定积分的定义引出了定积分的定义,一、定积分问题举例一、定积分问题举例二、定积分的定义二、定积分的定义三、定积分的性质三、定积分的性质并导出了定积分中的若干重要性质并导出了定积分中的若干重要性质.一、定积分问题举例一、定积分问题举例 1.曲边梯形面积曲边梯形面积,0,( )xa yb yyf x所围成的区域所围成的区域. （见右图）（见右图） 设设 在区间上非负、在区间上非负、( )yf x连续连续, 是由下列曲线是由下列曲线d( )yf xxba1 iixxiyo011,nnaxxxxb 01

2、121,nnx xx xxx相应的长度依次为相应的长度依次为11,2,.iiixxxin 由由 及及1,0iixxxx y( )yf xxba1 iixxiyo为计算该图形的面积为计算该图形的面积, 在区间在区间 中插入中插入 个分点个分点1n, a b从而把区间从而把区间 分成分成 个小区间个小区间n, a b yf x围成的小曲边梯形围成的小曲边梯形的面积的近似值为的面积的近似值为,iiiafx1,niiiafx记记 则得面积为则得面积为12max,nxxx01lim.niiiafx1,iixxi其中其中 为区间为区间中的任意点中的任意点. 由此由此, 以以 个小矩个小矩n形的面积的和作为

3、曲边梯形面积的近似值形的面积的和作为曲边梯形面积的近似值, 则有则有 2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程 我们知道我们知道, 在匀速直线运动中在匀速直线运动中, 路程有计算公式路程有计算公式路程路程=速度速度时间时间. 设某物体作直线运动设某物体作直线运动, 已知速度已知速度 是时间间隔是时间间隔 vv t上上 的连续函数的连续函数, 且且 计算在这段时间内计算在这段时间内t 0,v t 12,t t而对于非匀速直线运动中而对于非匀速直线运动中, 我们将时间区间分割成若干我们将时间区间分割成若干物体所走过的路程物体所走过的路程.12,t t个小区间个小区间, 即在区间即在区间 中插入分点

4、中插入分点10112,nntttttt 01121,nnt tt ttt各小段的长度依次为各小段的长度依次为11,2,iiitttin 在各小段上物体走完的路程分别为在各小段上物体走完的路程分别为12,nsss在每一个小区间在每一个小区间 上上, 物体走过的路程近似为物体走过的路程近似为1,iitt从而把从而把 分成分成 个小区间个小区间n12,t t ,1,2,iiisvtin1,niiisvt记记 则则12max,nttt01lim.niiisvt其中其中 故物体在时间区间故物体在时间区间 走过的走过的12,t t1,iiitt路程近似值为路程近似值为 在上面的两个问题中在上面的两个问题中

5、, 我们发现我们所讨论的问题我们发现我们所讨论的问题,01lim.niiifx抽去问题的实际背景抽去问题的实际背景, 则得到定积分的定义则得到定积分的定义:二、定积分的定义二、定积分的定义最终都归结为一个极限形式最终都归结为一个极限形式011,nnaxxxxb 01121,nnx xx xxx各小区间的长度依次为各小区间的长度依次为11,2,iiixxxin定义定义3.3 设函数设函数 在在 上有界上有界, 在在 中任意插中任意插 f x, a b, a b从而把区间从而把区间 分成分成 个小区间个小区间n, a b1,iiiixx作函数值作函数值 与小区间长度与小区间长度 的乘积的乘积, 并

6、作和并作和 ifix在每个小区间在每个小区间 上任取一点上任取一点1,iixx入入 个分点个分点1n1,niiisfx 01( )dlim.nbiiaif xxfx其中其中 称为称为被积函数被积函数, 称为称为被积表达式被积表达式, f x df xxx当当 时时, 和和 总趋向于确定的极限总趋向于确定的极限 , 此时即称此此时即称此0si( )d ,baf xx记记 如果无论对如果无论对 怎样怎样12max,nxxx, a b分法分法, 也不论在小区间也不论在小区间 上点上点 怎样取法怎样取法, 只要只要i1,iixx极限为函数极限为函数 在在 上的上的定积分定积分, 记作记作( )f x,

7、 a b即即 （3.7）（3.8）可积可积. 叫做叫做积分变量积分变量, 叫做叫做积分下限积分下限, 叫做叫做积分上限积分上限.ab注注1 若积分存在时若积分存在时, 该该积分与积分变量的名称无关积分与积分变量的名称无关.( )d( )d( )d .bbbaaaf xxf ttf uu1niiifx注注2 和和 称为称为 的积分和的积分和. 如果如果 ( )f x 在在 上的定积分存在上的定积分存在, 则称则称 在在 上上( )f x( )f x, a b, a b即即 围成的曲边梯形面积为围成的曲边梯形面积为( )d .baaf xx注注3 曲线曲线,xa xb 0 ,yf xx轴与直线轴与

8、直线 物体以变速度物体以变速度所所 0vv t做直线运动做直线运动, 从时刻从时刻1t到到 时刻时刻 所经过的路程所经过的路程 等于速度等于速度 在区间在区间 上的上的2ts v t12,t t定积分定积分, 即即21( )d .ttsv tt 定积分存在条件定积分存在条件 若函数若函数 在区间在区间 上连续上连续, 或函数或函数 有界有界 f x, a b f x且至多只有有限个间断点且至多只有有限个间断点, 则函数则函数 f x在区间在区间 上上, a b可积可积.,0 xa xb y yf x如果当如果当 时时,xa b围成的位于围成的位于 轴上方的曲边轴上方的曲边x那么定积分那么定积分

9、与直线与直线 定积分定积分 的几何意义是的几何意义是:( )dbaf xx 0,f x ( )dbaf xx表示由曲线弧表示由曲线弧梯形的面积梯形的面积; 如果当如果当,xa b时时 那么定积分那么定积分 0,f x 表示由曲线弧表示由曲线弧 yf x与直线与直线,0 xa xb y围成围成 的位于的位于 轴下方的曲边梯形面积的相反数轴下方的曲边梯形面积的相反数.x位于位于 轴的上方部分的面积与在轴的上方部分的面积与在 下方部分的面积之差下方部分的面积之差. xx 更一般的是更一般的是: yf x 123d.baaf xxsss1s2s3sxyabo即即 定积分定积分( )dbaf xx表示曲

10、线弧表示曲线弧例例3.47 利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分120d .xx1,ixn相应的积分和为相应的积分和为解解 因因 20,1 ,f xxc1,2,1 ,iixinn在在. 又由于积分与区间的分法、点的取法无关又由于积分与区间的分法、点的取法无关, 为了便为了便0,1 n于计算于计算, 将区间将区间 等分等分, 分点为分点为1,2,iiinn点点 小区间长度为小区间长度为120dxx由条件知积分由条件知积分 存存 221111nnniiiiiiiifxxnn当当 即即0,n 12201dlimniinix xx233111 11 216niin nnnn定义定义, 即得

11、到所要的定积分为即得到所要的定积分为11112,6nn1111lim12.63nnn取上式右端的极限取上式右端的极限, 由定积分的由定积分的 为以后讨论的方便为以后讨论的方便, 约定约定: d0.baf xx 当当 时时,ab三、定积分的性质三、定积分的性质 dd .baabf xxf xx 当当 时时,ab 在以下的讨论中在以下的讨论中, 所有的函数均为可积函数所有的函数均为可积函数.性质性质1 ddd .bbbaaaf xg xxf xxg xx 01dlimnbiiiaif xg xxfgx证证 函数函数 的积分和为的积分和为 f xg x 1niiiifgx再由极限的运算法则再由极限的

12、运算法则, 得得 0011limlimnniiiiiifxgx dd .bbaaf xxg xx 该性质对有限多个函数也成立该性质对有限多个函数也成立.性质性质2 d( )d .bbaakf xxkf xx 01dlimnbiiaikf xxkfx证证 同样地同样地, 函数函数 积分和为积分和为 再由再由 kf x 1,niiikfx极限的运算法则得极限的运算法则得 01lim( )d .nbiaikfxkf xx 性质性质3 设设 则则,acb ddd .bcbaacf xxf xxf xx该性质在几何上是很容易理解的该性质在几何上是很容易理解的.（见下图）（见下图）1s2s yf xxbc

13、aoy值得注意的是值得注意的是, 此性质对任意的此性质对任意的 都是成立的都是成立的. 即即, ,a b c ( )ddd .bcbaacf xxf xxf xx上式中只要在最大的一个区间上积分存在即可上式中只要在最大的一个区间上积分存在即可. 该性质该性质称为定积分的称为定积分的区间可加性区间可加性.1d.baxba注注 此性质的几何意义也是相当明显的此性质的几何意义也是相当明显的.性质性质4 如果在区间如果在区间 , 则则 1,f x , a b d0.baf xx 证证 因因 001,2,.if xfin0ix1,2,in 10,niiifx令令 由极限的保号性由极限的保号性,12max

14、,0,nxxx 01lim0.nbiiaif x dxfx性质性质5 如果在如果在 上上 且函数且函数 可积可积, 则则 0,f x f x, a b因此因此又因又因即得即得 dd .bbaaf xxg xx推论推论2 dd .bbaafxxfxx推论推论1 如果在区间如果在区间 上上, 恒有恒有 则则 ,f xg x, a b d.bam bafxxm ba推论推论3 设设 及及 分别是分别是 在在 上的最大值和最上的最大值和最 mm f x, a b yf xxbaoymm小值小值, 则则例例3.48 比较积分值比较积分值10e dxx210e dxx解解 因在区间因在区间 中中, 有有

15、所以所以0,12ee ,xx21100e de d .xxxx与与的大小的大小.由推论由推论3可以估计积分的大致范围可以估计积分的大致范围. 例如例如, 积分积分1412d ,xx 4f xx被积函数被积函数 在积分区间上单调增加在积分区间上单调增加, 最小值及最小值及411, 1,216mm故由推论故由推论3, 得得14121111d1 1,1622xx 最大值分别为最大值分别为即即 141211d.322xx例例3.49 估计积分值估计积分值410d .1xxx解解 令令 则则4( ),1xf xx4( )1xfxx从而有从而有 20( )1.2f xf343870,21xxx即有即有41020d.21xxx d.baf xxfba证证 在推论在推论3中的不等式各除以中的不等式各除以 得得,ba 1d.bamf xxmba此式说明数值此式说明数值 介于函数介于函数 的最大的最大 1dbaf xxba f x续续, 则在区间则在区间 上至少存在点上至少存在点 使得下式成立使得下式成立:, a b性质性质6（定积分中值定理定积分中值定理） 如果函数如果函数 在在 上连上连