数列知识点复习总结

1、数列知识点复习总结20 / 24数列高考知识点大扫描数列基本概念值域、增减性和最值等方面的数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、 性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。解析法（通项公式法及递推关系法）数列的表示方法：列表法、图象法、 数列通项：an f（n）”2、等差数列1、定义当n N ,且n2时，总有an 1 an d,（d常），d 叫公差。2、通项公式ana1（n1)d1）、从函数角度看andn (印d）是n的一次函数，其图象是以点（1,印）为端点,斜率为d斜线上一

2、些孤立点。2）、从变形角度看anan (n1）（ d）,即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。又 ana1 (n 1)d,amai(m 1)d相减得 an am (n m)d ,即 an am (n m)d .n>m，则以am为第一项,an是第n-m+1项，公差为d；*m，贝V am以为第一项时，an是第m-n+1项，公差为-d.3 ）、从发展的角度看 若an是等差数列，则 ap aq 2a1 (p q 2)d,aman2a1 (m n 2)d ,因此有如下命题：在等差数列中，若m n p q 2r ，则amanap aq 2a.3、前n项和公式由 Sna a? Lan , Sn

3、an an 1 Lai，相加得还可表示为Sn nai如 ®d,（d 0），是n的二次函数。2特别的，由a1 a2n 12an可得 S?n 1(2 n 1)an。3、等比数列2时，总有q(q 0) , q叫公比。2、 通项公式：an aiqn 1 amqn m,在等比数列中，若 m n p q 2r ,则am an ap aq ar2.3、前n项和公式：由 Snaia?Lan, qSna?a3 Lanan i ，两式相减，al(1 q ) al anq 当 q 1 时，S,(q1)；当 q 1 时，Sn nai 。1 q 1 q关于此公式可以从以下几方面认识：不能忽视S 可(1 q)a

4、1 邛 成立的条件：q 1。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。1 q 1 q公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。如，公差为d的等差数列an，Sna-ixa2x2LanXn，则 xSn2ax31nn 1a2x Lan 1x anx ，相减得Sn(1x)a-i x dx2L dxnn 1anX ，当x1时，Sn(1x) a1xdx(1 xn1 x1)n 1San X， Snn 1ax a“x1 xdx2(1(1xn1)x)2当x1时，Snaa： Lan na1n(n 1)d2 ；3)从函数角度看Sn是n的函数，此时q和a1是常数。4、等差与等比数列概念及

5、性质对照表名称等差数列等比数列定义d,(d 常)an 1anan1 q,(q常)，也也(n N*)anan 1anan 2an 1an 1 an(n N*)通项ana1 (n 1)dann 1aq公式am (nm)dan mmq变式：a1an (n 1)dm n pq 2rmn p q 2r性质2amanapaq2ar -am anap aq(ar)(d 0可逆)(q1可逆)中项m n 2raman2 ar.m n 2ram an(ar ).单调性d 0时增ai 0,q1 或 a0,0q i增；d 0时常数列d 0时减ai0,q i 或 ai0,0q i时减；q i时常数列，q 0时摆动数列刖

6、nai& n n2S 4(i qn)Si q11项 和n(nnar d,(d20)_a2,(qi qi)（推导方法：倒加法）（推导方法：错位相消法）sn nai (d 0)Sn n ai(q i)结论1、a*等差,公差d ，则kanb等差an等比，公比q，则kan等比，公比公差kd；子数列2q ； an 等比公比q2 ； JO等比，公比ak,ak m , ak 2m ,L , aknm,(m N )等差，jq。子数列 a2,a4,a4,L2a2n等比，公比q ;公差md;若kn等差，公差di，则akn右kn等差，公差d,则akn等比，公比为等差，公差d1 d。dq 。2、an等差,公差

7、d则an an i等差，公an等比，公比q，则ii 等比，公比一;anq差2d;an i an ai等差，公差3d.an i an an i等比3, 公比 q ;2,5 kSk , S3kS2kL等差, 公差an ianan i等比，公比 q;2k d ,且 Qk3(S2kSk）.即连续相同个数的和成等差数列。Sk , S2kSk , S3kS2k Lk等比，公比q ,（当k为偶数时，qk0 )。3、an等差公差d an nam mamSmSnSm nan等比，公比q n m& m, Sm nS(m n)4、等差an共2n项，则Q偶Q奇(aia3 La2n i)(q i)Q偶Q奇 等差

8、an Q奇Q禺.Q偶annd,Q 奇an 1，共2n+1项，则an 1(中),=;Q奇n 1a" q2n)=1 qQ 偶a2a4 L a2nq.Q 奇Ca3L a】2n 15、an等差anan 1dan等比，公比qann 1agSna1ann2c 印(1 qn) Snd1 qa11anqqSnAn2 Bnan kn baniS2n 1 2n 1.Snan 1,(a0,a1).联系1、各项不为0常数列，即是等差，又是等比。2、0,5 1)通项公式% Sn 比 1 ,(n 2) *3、an等差，公差 d， c 0,c1 ,则 ca1, Cl2L can ,即can等比公比d c .4、a

9、n等比，公比 q, an0 (a 0,a 1),logaa,logaa2,L logaan ,即log aan等差,公差logaq.5、an等差，bn等比，则an bn前n项和求法，利用错位相消法6、求和方法:公式法，倒加法，错位相消法，裂项法，累加法，累积法，等价转化法等。5、递推数列 表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用递推 式表示。求递推数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如an 1anf (n)递推数列的基本方法，其中数列 f (n)可求前n项和，即an a1 (a2 a1) L(an an 1)；累乘法是求

10、形如an 1 g(n) an递推数列通项公式的基本方法,其中数列g(n)可求前n项积，即an aL ,(a 0).ai a2 an 1等差数列等差数列的概念定义式:anan 1d(d为常数，n 2, n N*)，或 a an d(n N*)递推式:an 1and(n N*).等差中项：任何两个数a, b都有且仅有个等差中项A A a b .2通项公式：ana1(n1)d ， anam(nm)d (广义).特征:anknb ,其中k d,ba1 d.前n项和：Snan)n“n(n1)月一n(n 1)d n 2 .21u1 Id2特征:SnAn2plBn，其中A护da1夕注：1.等差数列的定义式和

11、递推式、等差中项、等差数列通项公式的特征、前n项和的特征,都可以作为一个数列是等差数列的判定依据，但等差数列的证明必须根据定义式2.对任何数列，都有 anS1,SnSn 1 ,n 1,n 2,nN*.等差数列的性质1.an为等差数列，则anam(nm)d (m, n N*).2.an为等差数列，且mp q(m, n, p,q N*)，则am ana p aq .3.an为等差数列，则S2n 1 an(2n 1)中间项项数.4.右等差数列an共有2n 1项，则S奇 S偶 *中：5.S偶若等差数列an共有2n项，则S偶 S奇nd :S奇anan6.a若an为各项均不为零的等差数列，前n项和为Sn,

12、，则amS2n 1 2m 1S2m 12n7.若an、 bn均为各项非零的等差数列，前n项和分别为anSn,Tn，则 FbnS2n 1T2n 18.在等差数列an中,若a mn ,anm(mn),则a m9.在等差数列an中,若Smn,Snm(mn),则Sm10.在等差数列an中,若SmSn(mn),则Smn0.nn0.(m n).11. 若an为等差数列，则 kan b仍为等差数列，其中 k和b是常数12. 若an、 bn为等差数列，则 an bn仍为等差数列.13. 若an为等差数列，则序号成等差的项也成等差数列，即：若an为等差数列，bn为正整数等差数列，则a»为等差数列.S1

13、4. Sn为数列an的前n项和，则an为等差数列-为等差数列.n15. 若an为等差数列，则 an依次k项和仍为等差数列，即Sk,S2k Sk, S3k S2k.仍为等差数列.等比数列等比数列的概念定义式：anq(常数q 0,n2,nN*)，或q(n N*).an 1an递推式:an 1anq( nN*).等比中项：两个同号的实数a,b才有但有两个等比中项G G、ab .n 1n m通项公式：anae,anamq(广义).前n项和：当q1 时，Snna1,当q1 时，Sn印(1 qn)na1aqa1an 1 an(1 q n), 11 q1 q1 q1 q特征：Sn A(qn 1)(A0).注

14、：非零常数列既是等差数列也是等比数列，反之亦然等比数列的性质1. 若an为等比数列，则an amqnm(m,n N*).2. 若 an 为等比数列，且 m n p q(m, n, p,q N*)，则 amanapaq.3. 若an为等比数列，则 kan仍为等比数列，其中 k是非零常数.kk4. 若an为等比数列，则当 an恒有意义时 an仍为等比数列，其中 k是任意常数.5. 若an、 bn为等比数列，则anbn、 色仍为等比数列.bn6. 若an为等比数列，则序号成等差的项也成等比数列，即：若an为等比数列，bn为正整数等差数列，则abn为等比数列7. Tn为正项数列an的前n项积，则an为

15、等比数列n为等比数列.8. 若Sk为等比数列 an的前n项和，且Sk 0 ,贝y an依次k项和仍为等比数列, 即Sk，S2k Sk，S3k S2k仍为等比数列注：等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质，应用范围较小，故未写入等差数列与等比数列的联系1. 非零常数列，也只有非零常数列，即是等差数列也是等比数列。2. 等差数列与等比数列可以相互转化事实上，若an是等比数列，则logcan是等差数列;若an是等差数列，则 can是等比数列，其中 c是常数，且c 0,c 1.3. 等差数列和的运算与等比数列积的运算有类似的性质，等差数列差的运算与等比数列商的 运算有类似的性质.、基本概念1、

16、数列：按照一定顺序排列着的一列数.数列的项、数列的项数表示数列的第n项与序号n之间的关系的公式通项公式：不是所有的数列都有通项公式符号控制器：如（1）n、（ 1）n+1递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式.有穷数列：项数有限的数列.无穷数列：项数无限的数列.递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.数列分类：递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.、等差数列：从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为等差数列的公差.anan 1

17、d, n2且 nZ，或 an 1an d,n1且n Zana n1 d am n m d kn b1、若等差数列an的首项是印，公差是d，则有dana1anamn 1n mana1n1d2n p q 2an ap aq性质：若an是等差数列，则p qm n p q am 4 ap 為右an是等差数列，则am、am k、am 2k、am 3k丄构成公差公差kd的等差数列若an、bn是等差数列，则 an+ 、 an+ bn是等差数列等差中项：三个数a, G, b组成的等差数列，则称G为a与b的等差中项2G=a b2、等差数列的前n项和的公式:Snn a1an2naj2pnqn等差数列的前n项和的性

18、质:S奇 nd若项数为2n n，则 S2nn anan 1(1)anan 1若项数为2n 1 n*，则 S2n 1 2n 1an，S 奇nan SffiS奇an， S 奇(3)Sm，S2m Sm ,S3m§L是等差数列nS2m成等差数列若等差数列an,bn的前n项和为Sn,Tn”则屯S2n 1 bnT2n 1等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）ak k满足ak 1a1若1d,，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值a1若1d0，则Sn有最小值，当n=k时取到的最大值0akk满足ak 1三、等比数列：从第1、通项公式及其性质2项起，每一项与它的前一项的比等于

19、同一个常数,这个常数称为等比数列的公比.若等比数列 aan的首项是a1，公比是q，贝unqnagn mamq空qa1anamb成等比数列，则称G为a与b的等比中项是等比数列，则2n P qanap aqm n p qam a.am、am k、am 2k、am 3k丄 成公比qk的等比数列a, G,G2 ab性质：若ana paq2、前n项和及其性质nai q 1 ,(q 1)a 1 qni qnaia.q 弓 aq1 q 1 qai1 qAqn A, q 1SnqSmSn、S2n&、S3nS?n成等比数列性质若项数为2n,则偶S奇Sm， S2m Sm ,S3m S2m成等比数列四、(1

20、)an与Sn的关系：S1n 1an;(检验a1是否满足an Sn Sn 1)SnSn 1 n212 3Lnn(n 1)2122232L2 n(n n1)(n 2)6132333L3n2 (nn1)24五、一些方法1、等差数列、等比数列的最大项、最小项；前n项和的最大值、最小值 2、求通向公式的常见方法(1 )观察法；待定系数法(已知是等差数列或等比数列)(2)anan 1anf(n),累加消元；-an 1f (n),累乘消兀。(3)anan1,(倒数构造等差:-1k);an kanan 1anan1 11 a.an 1,(两边同除构造等差:-1);anan1(4) ankan 1b,化为(an

21、 x) k(an 1x)构造等比anqan 1pn r,(构造等比数列:an xn yq an 1 x n 1 y )anqan 1nanq an 1P，化为nnl1，分-是否等1讨论。pp pp3、求前n项和的常见方法公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和1常见数列公式等差数列1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an - an i=d ,(n>2, n N ),这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母"d”表示)*2.等差数列的通项公式：ana1 (n 1)danam(nm)d或an =pn+q (

22、p、q 是常数)3.有几种方法可以计算公差d,-ana1an amd an an 1 d=d=n1n ma b4 .等差中项： A a, b,成等差数列25. 等差数列的性质：m+n=p+qam a* ap aq (m, n, p, q N )等差数列前n项和公式6. 等差数列的前n项和公式(1)Sn亜/ (2) Snna, 四(3) Sn dn2 (a1 -)n ,当0，是一个常数2 2 2 2项为零的二次式8对等差数列前项和的最值问题有两种方法：(1) 禾U用an :当an>0, d<0,前n项和有最大值+可由a. >0,且a. i< 0，求得n的值+当an<

23、0, d>0，前n项和有最小值.可由an < 0，且an 1 >0，求得n的值.(2) 利用Sn :由Sn dn2 (a1 d)n二次函数配方法求得最值时n的值+2 2等比数列1 等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做a等比数列这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q表示(0)，即：亠 =q (qM 0)an 12等比数列的通项公式：ana1 qn 1(a1 q 0)，an am qn m(a1 q 0)3. an成等比数列anN ,qM 0)an m0”是数列 an成等比数列的必要非充分条件4 .既是等差又是等比数列

24、的数列：非零常数列.5 .等比中项：G为a与b的等比中项即G = ± . ab (a,b同号)6.性质：若 m+n=p+q， am anap aq7 .判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8.等比数列的增减性：当q>1, a1>0或0<q<1, a1 <0时,an是递增数列；当q>1, ai<0,或0<q<i,印>0时, an是递减数列当q=1时,an是常数列;当q<0时, an是摆动数列；等比数列前n项和等比数列的前n项和公式：ca1(1当q 1时，Snn、q )或Sna1anq-1q1 q当 q=1 时，

25、Snna1当已知a1, q, n时用公式；当已知a1 , q, an 时，用公式类型1递推公式为an 1 an f(n)1已知数列an满足a1， an 12an12n n求an。解：由条件知:1 1 1 1an 1 a n2n n n(n 1) n n 1分另U令 n 1,2,3,(n 1)代入上式得(n 1)个等式累加之(a2 a1) (a3a2) (a4 a3)(a* an 1)11111(1 )(-3)(3)224所以an ah1 1n11113a1an22n2类型2递推公式为an 1 f(n)an已知数列an满足a1- , an 13求an 。解：由条件知an 1an，分别令1,2,3

26、,(n1)，代入上式得(n 1)个等式累乘之，即a?a3a4a1 a2 a3anan12 3an 12 3 4_2_3nana1类型3递推公式为an 1pan q (其中p, q均为常数，(pq(p 1)0)1.已知数列 an 中，a11, an 1 2an 3，求 an.解：设递推公式 an 1 2an3可以转化为 an 1t 2(an t)即 am2an tt3 .故递推公式为an 1 3 2(an 3)，令 bna.3，则 b|a134 且 bn 1an 132.所以bn是以b 4为首项，2bnan3为公比的等比数列，则 bn42n1 2n1,所以 an2n 13.12. 数列a n满足

27、a1 =1, an=-an1+1 (n>2)，求数列an 的通项公式。211解：由 an=an 1 +1 (n2 )得 a n 2= (a n 1 2),而 a 1 2=1 2= 1,221数列 an 2是以1为公比，一1为首项的等比数列21、n 11、n 1a n 一 2( _ )- - a n =2 ( _ )2 23. 已知数列an满足印 1，且an 1 3an 2，求a.解：设 an 1 t 3( an t)，则 an 1 3an 2t t 1 ,an 1 1 3(an 1)an 1 是以1 1)为首项，以n 1n 1n 1 丄an 1 (a1 1) 32 3an 2 31类型4

28、递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf n)解法：利用&n数列知识点回顾第一部分：数列的基本概念1理解数列定义的四个要点数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列.在数列中同一个数可以重复出现.项an与项数n是两个根本不同的概念.数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列.2数列的通项公式3 为公(n(n等比数列"规律” 因此,1) 进行求解。2)如果组成两一个数列 a n的第n项an与项数n之间的函数关系，如果用一个公式an =

29、f (n)来表示，就把这个公式叫做数列 a.的通项公式。若给出数列 an的通项公式，则这个数列是已知的。若数列 an的前n项和记Si ,n 1为Sn，则Sn与an的关系是：an =。Sn Sn 1 . n 2第二部分：等差数列1. 等差数列定义的几个特点：公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = an an 1 (n2)或d = an 1 an(n N ).要证明一个数列是等差数列，必须对任意n N , an an 1= d (n詢或d = an 1 a.都成立一般采用的形式为： 当n支时，有an an 1 = d (d为常数). 当n N时，有an 1 an = d (

30、d为常数). 当n丝时，有an 1 an = a n an 1成立.若判断数列 a n不是等差数列，只需有a3 a 2力2 a 1即可.2. 等差中项若a、A、b成等差数列，即 A= b，贝U A是a与b的等差中项；若 A=旦-，贝U a、A、b成等差数2 2a a a列，故a=久丄是a、A、b成等差数列，的充要条件。由于an= 口口，所以，等差数列的每一项都2 2是它前一项与后一项的等差中项。3等差数列的基本性质公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d.公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd.若 an、 bn为等差数列，则 a n &

31、#177;M与ka n + b(k、b为非零常数)也是等差数列.对任何m、nN ，在等差数列 a n中有：an = a m+ (n m)d，特别地，当 m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性.、一般地，如果I, k，p，m, n, r,皆为自然数，且 I + k + p +=m + n + r +（两边的 自然数个数相等），那么当a n为等差数列时，有：al + ak + ap +=am+ an + ap +.公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd（ k为取出项数之差）.如果 a n是等差数列，公差为 d，那

32、么，an ， an 1，a?、ai也是等差数列，其公差为 d;在 等差数列 a n中，am i ai = am k ak = md .（其中 m、k、I N ）在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项.当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当dv0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d= 0时，等差数列中的数等于一个常数.设al，am，an为等差数列中的三项，且 al与am，am与an的项距差之比- =（工一1），则m nai ana m = 14.等差数列前n项和公式Sn=（a1 色与Sn = na1 + 凹 d的比较2 2前n项和公式

33、公式适用范围相同点cn(a1 an)Sn =2用于已知等差数列的首项和末项都是等差数列的前 n项和公式n(n 1)S n = na1 +d2用于已知等差数列的首项和公差5.等差数列前n项和公式Sn的基本性质数列 a n为等差数列的充要条件是：数列 a n的前n项和Sn可以写成Sn = an2 + bn的形式（其中a、 b为常数）.在等差数列 a n中，当项数为2n （nS奇a）时，S偶一S奇=nd，=;当项数为（2n 1） （nS偶an 1时，S 偶一S 奇=a n ,=n2dS偶n 1Sn、Tn （n为奇数），则SnTnn mSm n =(a b).n mn, 鱼)均在直线 y = x +

34、(a 1 n2若数列 an为等差数列，则Sn , S2n S. , S?. S?n，仍然成等差数列，公差为若两个等差数列 an、 bn的前n项和分别是在等差数列 a n中，Sn = a, Sm= b (n > m),则等差数列a n中，是n的一次函数，且点（n记等差数列a n的前n项和为Sn .若a1 >0，公差dv 0，则当an初且an 1切时，Sn最大；若 a1 v 0，公差d >0,则当an O且an 1为时，Sn最小.第三部分：等比数列1. 正确理解等比数列的含义an 1anq是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q = （n N ）或q = （n丝）.an

35、an 1由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q也不为0.要证明一个数列是等比数列，必须对任意n N , 巴丄=q ;或= q （n支）都成立.anan 12. 等比中项与等差中项的主要区别G b2>如果G是a与b的等比中项，那么 =，即G = ab, G = ±- ab .所以，只要两个同号 的数才有等 a G.比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A是a与b的等差中项，那么等差中项 A唯一地表示a b为A=，其中，a与b没有同号的限制.在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条2 .件的不同.3. 等比数列的基本性质公比为q的等比数列，从中取

36、出等距离的项， 构成一个新数列，此数列仍是等比数列， 其公比为qm（ m为等距离的项数之差）.对任何m、nN ，在等比数列 a n中有：an = a m -q n m，特别地，当 m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性.t + k , p，m + =m + n + r + （两一般地，如果t , k, p，m, n，皆为自然数，且边的自然数个数相等），那么当a n为等比数列时，有:若 an是公比为q的等比数列，贝y | an1、an、ka n 、1也是等比数列，其公比分别为| q |、an2q如果 an是等比数列，公比为 q，那么,a 3， a5，a2n 1

37、，是以q2为公比的等比数列.如果 an是等比数列，那么对任意在 nN，都有anan22 = anq2 >0.1、q、 q两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积.当q> 1且a1 >0或0v qv 1且a1 v 0时，等比数列为递增数列； 当a1 >0且0v q v 1或a1 v 0且q> 1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当 qv 0时，等比数列为摆动数列.4等比数列前n项和公式Sn的基本性质如果数列an是公比为q的等比数列，那么，它的前n项和公式是na1 ,当 q 1 时,Sn=印（1 qn）也就

38、是说，公比为q的等比数列的前 n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在 q = 1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q力进行讨论.当已知a 1 , q, n时，用公式 Sn =-）;当已知a 1 , q, an时，用公式 Sn = .1 q1 q若Sn是以q为公比的等比数列，则有 Sn m = Sm + qSn.若数列 an为等比数列，则Sn，S2n - S. , $3“ S?.，仍然成等比数列.若项数为3n的等比数列（q工1）前n项和与前n项积分别为S1与T1，次n项和与次n项积分别为S2与T2

39、，最后n项和与n项积分别为S3与T3，则S1, S2 , S3成等比数列，T1 , T2 , T3亦 数列知识点复习总结成等比数列.二、难点突破1并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一已知一个数列的前 几项，这个数列的通项公式更不是唯一的.2. 等差（比）数列的定义中有两个要点：一是“从第 2项起”，二是“每一项与它前一项的差（比）等于同一个 常数” 这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有 3 项所以，一个数列是等差（比）数列的必要非充分条件是这个数列至少含有 3项.3. 数列的表示方法应注意的两个问题： a.与

40、an是不同的，前者表示数列 a!, a?，a.， 而后者仅表示这个数列的第 n项；数列a!, a?，a.，与集合 a !, a?，a*,，不同，差 别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性.4注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S,则通常设，aq 2 , aq 1 , a, aq, aq2，;对连续偶数个项同号.的等比数列，若已知其积为 S,则通常设 ，aq 3 , aq 1 , aq, aq3，.5个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比

41、数列时，要注意an丰0,因为当an = 0时，虽有a： = an 1 -an 1成立，但an不是等比数列，即“ b2 = a ”是a、b、c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列a n, “2b = a + c”是a、b、 c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清.6 由等比数列定义知，等比数列各项均不为0,因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况0”等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分 q = 1和qP进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错.等差数列等差数列的概念定义式：anan 1d(d为常数，n 2, n N*)，或 an 1 and(n N*)递

42、推式：an 1and(n N*).等差中项：任何两个数a, b都有且仅有一个等差中项A A .通项公式：ana1(n1)d，anam(n m)d (广义)特征:anknb，其中kd,b a1 d .前n项和：Snan)nna1n(n 1)d na n(n 1)d d nand222特征:SnAn2Bn，其中Add,B a1 .n项和的特征,注：1.等差数列的定义式和递推式、等差中项、等差数列通项公式的特征、前都可以作为一个数列是等差数列的判定依据，但等差数列的证明必须根据定义式2.对任何数列，都有anS1,SnSn 1 ,n 1,n 2,nN*.等差数列的性质1.an为等差数列，则anam(n

43、m)d (m, n N*).2.an为等差数列，且mp q(m, n, p,q N*)，则am an ap aq .3.an为等差数列，则S2n 1 an(2n 1)中间项项数.4.若等差数列an共有2n 1项，则S奇 S偶 a中，5.S偶若等差数列an共有2n项，则S偶 S奇nd ;二S奇anan6.a若an为各项均不为零的等差数列，前n项和为Sn,，则am n 1 2m 1S2m 1 2n7.若an、 bn均为各项非零的等差数列，前n项和分别为anSn,Tn，则严bnS2n 1T2n 18.在等差数列an中，若n,an m(mn)，则am n0.9.在等差数列an中，若Smn, Sn m(

44、mn)，则(m n).10.在等差数列 an中，若SmSn(m n)，则 Sm n0.11.若an为等差数列，则kanb仍为等差数列，其中k和b是常数.12.若an、 bn为等差数列，则an bn仍为等差数列.13. 若an为等差数列，则序号成等差的项也成等差数列，即：若an为等差数列，bn为正整数等差数列，则abn为等差数列.S14. Sn为数列an的前n项和，则an为等差数列n为等差数列.n15. 若an为等差数列，则 an依次k项和仍为等差数列，即 Sk,S2k Sk,S3k S?.仍为等差数列等比数列等比数列的概念定义式：anan 1q(常数q 0,n2,nN*)，或an 1anq(n

45、 N*).递推式:an 1anq( nN*).等比中项：两个同号的实数a,b才有但有两个等比中项G G、ab .通项公式：ann 1ae ,anamqn m(广义).前n项和：当q1 时，Snna1,当q1 时，Sn印(1 qn)na1aqa1an 1 an(1 q n)1 q1 q1q1 q 1特征：Sn A(qn 1)(A0).注：非零常数列既是等差数列也是等比数列，反之亦然等比数列的性质1. 若an为等比数列，则an amqnm(m,n N*).2. 若 an 为等比数列，且 m n p q(m, n, p, q N*),则 amanapaq.3. 若an为等比数列，则 kan仍为等比数

46、列，其中 k是非零常数.kk4. 若an为等比数列，则当 an恒有意义时 an 仍为等比数列，其中 k是任意常数5若an、 bn为等比数列，则 anbn、旦仍为等比数列.bn6. 若an为等比数列，则序号成等差的项也成等比数列，即：若an为等比数列，bn为正整数等差数列，则ab为等比数列.n7. Tn为正项数列an的前n项积，则an为等比数列nTn为等比数列.8. 若Sk为等比数列 an的前n项和，且Sk 0，则an依次k项和仍为等比数列，即Sk,S2k Sk,S3k S2k.仍为等比数列.注：等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质，应用范围较小，故未写入等差数列与等比数列的联系1. 非零常数列，也只有非零常数列，即是等差数列也是等比数列。2. 等差数列与等比数列可以相互转化事实上，若an是等比数列，则logcan|是等差数列;若an是等差数列，则 can是等比数列，其中 c是常数，且c 0,c 1.3. 等差数列和的运算与等比数列积的运算有类似的性质，等差数列差的运算与等比数列商的 运算有类似的性质.数列知识点考纲要求内容4要求层次ABC数列数列的概念数列的概念和表示法V等差数列、等比数列等差数列的概念V等比数列的概念V等差数列的通项公式与前 n项和公式