高考专题：参数法在解题中的应用-教师

1、参数法在解题中的应用方法精要在解数学题的过程中，往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较烦琐的变数问题，这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助变量(参数)，并以此作为媒介，使问题转化从而解决问题，这种应用参数解决问题的方法称为参数法应用参数法的关键在于恰当的选取参数，只有参数引入恰当，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果使用参数法的原则是引进参数后，能使问题获解其次还要考虑引进参数的合理性，除了要考虑条件和结论的特点外，还要注意某些量的取值范围，任何变量都有取值范围，另外还要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只是起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原

2、问题的解，这就可能要消去参数而用问题中原有的变数表示结果参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支运用参数法解题已经比较普遍参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题题型一参数法在函数问题中的应用例1定义在R上的增函数yf(x)对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)求f(0)；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(k·3x)f(3x9x2)<0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围破题切入点(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决(2)将恒成

3、立问题转化成函数最值问题(1)解令xy0，得f(00)f(0)f(0)，即f(0)0.(2)证明令yx，得f(xx)f(x)f(x)，又f(0)0，则有0f(x)f(x)，即f(x)f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(3)解方法一因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数f(k·3x)<f(3x9x2)f(3x9x2)，所以k·3x<3x9x2，32x(1k)·3x2>0对任意xR成立令t3x>0，问题等价于t2(1k)t2>0对任意t>0恒成立令f(t)t2(1k)t2，其对称轴为x，当<0即k&

4、lt;1时，f(0)2>0，符合题意；当0即k1时，对任意t>0，f(t)>0恒成立解得1k<12.综上所述，当k<12时，f(k·3x)f(3x9x2)<0对任意xR恒成立方法二由k·3x<3x9x2，得k<3x1.u3x121,3x时，取“”，即u的最小值为21，要使对xR，不等式k<3x1恒成立，只要使k<21.题型二参数法在数列问题中的应用例2设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足aaaa，S77.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得为数列an中的项破题切入

5、点求特定量的取值，往往需要引入参数，根据题中的条件找出参数与所求量之间的数量关系，利用条件求参数的取值或取值范围，进而求出特定量解(1)设公差为d，则aaaa，由性质得3d(a4a3)d(a4a3)，因为d0，所以a4a30，即2a15d0，又由S77得7a1d7，解得a15，d2.所以an的通项公式为an2n7，前n项和Snn26n.(2) 因为an2n7，所以， 设2m3t，则t6，所以t为8的约数又因为t是奇数，所以t可取的值为±1，当t1时，m2，t63,2×573a5是数列an中的项；当t1时，m1，t615，数列an中的最小项是5，故不是数列中的项所以满足条件的

6、正整数m的值是m2.题型三参数法在不等式中的应用例3已知2x3y5z，试比较2x、3y、5z的大小破题切入点本题的解决需要引入中间变量t(参数)，必须使得x，y，z都能用这个参数t表示，而后通过作差即可进行大小的比较解设2x3y5zt(t>1)，则xlog2t，ylog3t，zlog5t，所以2x3y2log2t3log3tlgt()lgt()，因为lgt>0，>0，所以lgt()>0，所以2x>3y；同理5z2xlgt()>0，所以5z>2x>3y.题型四参数法在解析几何中的应用例4(浙江)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)(

7、1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点若直线AO、BO分别交直线l：yx2于M、N两点，求|MN|的最小值破题切入点(1)已知抛物线焦点坐标为F(0,1)，可直接写出抛物线方程；(2)利用根与系数的关系和函数的单调性求最值解(1)由题意可设抛物线C的方程为x22py(p>0)，则1，所以抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx1.由消去y，整理得x24kx40，所以x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4.由解得点M的横坐标xM.同理，点N的横坐标xN.所以|MN|xMxN|8.令4k3t，t0，则k.当t&

8、gt;0时，|MN|2>2.当t<0时，|MN|2.综上所述，当t，即k时，|MN|的最小值是.总结提高数学问题中参数的选取、消去、确定、讨论很普遍，而且在解题中，参数的选取多种多样，设参数而不求参数，只是利用其作为中间变量辅助计算，是常见的形式其综合性强，知识面广，一般都需要根据问题的条件作出透彻分析，才能恰当的选取参数，然后利用参数提供的信息，顺利解答问题强化训练1已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为()A1 B2 C3 D4答案B解析x>0，y>0，x2y2(当且仅当x2y时取等号)又由x2(xy)可得，而2，当且仅当x2y时，max2.的最小值

9、为2.2在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组构成，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z·的最大值是()A4 B3 C4 D3答案C解析如图作出区域D，目标函数zxy过点(，2)时取最大值，故z的最大值为×24，故选C.3将函数ycosxsinx(xR) 的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A. B. C. D.答案B解析ycosxsinx2sin(x)向左平移m个单位长度后得到y2sin(xm)，它关于y轴对称可得sin(m)±1，mk，kZ，mk，kZ，m>0，m的最小值为.4已知f(t

10、)log2t，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2mx4>2m4x恒成立，则x的取值范围为()A(，1) B(2，)C(1,2) D(，1)(2，)答案D解析t，8，f(t).原题转化为当m时，不等式x2mx4>2m4x恒成立，即m(x2)(x2)2>0恒成立令g(m)m(x2)(x2)2，m，问题转化为g(m)在m上恒大于0，解得x>2或x<1.5设函数f(x)(aR，e为自然对数的底数)若曲线ysinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0)y0，则a的取值范围是()A1，eBe11,1C1，e1De11，e1答案A解析曲线ysinx上存在点(x0

11、，y0)使得f(f(y0)y0，则y01,1，考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e1时是否符合题意，即可得出正确选项，当a0时，f(x)，此时是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y00,1时f(f(y0)y0是否成立，由于f(x)是一个增函数，可得出f(y0)f(0)1，而f(1)>1，故a0不合题意，由此知B，D两个选项不正确当ae1时，f(x)此函数是一个增函数，f(1)0，而f(0)没有意义，故ae1不合题意，故C，D两个选项不正确综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确6已知

12、函数f(x)5|x|，g(x)ax2x(xR)，若fg(1)1，则a_.答案1解析因为fg(1)150，所以g(1)0，即a10，所以a1.7已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A、B两点，且ABC为等边三角形，则实数a_.答案4±解析根据题意，圆心到直线axy20的距离为，所以，解得a4±.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解(1)由得圆心C为(3,2)，

13、圆C的半径为1，圆C的方程为(x3)2(y2)21，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为ykx3，即kxy30，1，|3k1|，2k(4k3)0，k0或k，所求圆C的切线方程为y3或yx3，即y3或者3x4y120.(2)圆C的圆心在直线l：y2x4上，所以，设圆心C为(a,2a4)，则圆C的方程为(xa)2y(2a4)21，又MA2MO，设M为(x，y)，则2，整理得：x2(y1)24.此圆设为圆D，点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，|21|21|，由5a212a80得aR；由5a212a0得0a.综上所述，a的取值范围为0，9已知等比数列an满足：|a2a3|10

14、，a1a2a3125.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由解(1)设等比数列an的公比为q，则由已知可得解得或故an·3n1或an(5)·(1)n1.(2)若an·3n1，则n1，故数列是首项为，公比为的等比数列从而·<<1.若an(5)·(1)n1，则(1)n1，故数列是首项为，公比为1的等比数列，从而故<1.综上，对任何正整数m，总有<1.故不存在正整数m，使得1成立10已知函数f(x)x43x26.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设点P在曲线yf(

15、x)上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程解(1)f(x)4x36x4x(x)(x)，令f(x)>0得<x<0或x>；令f(x)<0得x<或0<x<.因此，f(x)在区间(，0)和(，)为增函数；在区间(，)和(0，)为减函数(2)设点P(x0，f(x0)，由l过原点知，l的方程为yf(x0)x，因此f(x0)f(x0)x0，即x3x6x0(4x6x0)0，整理得(x1)(x2)0，解得x0或x0.所以所求的方程为yx或yx.11设函数f(x)sin()2cos21.(1)求f(x)的最小正周期(2)若函数yg(x)与yf(x)的图象关于直线x1对称，求当x0，时yg(x)的最大值解(1)f(x)sinxcoscosxsincosxsinxcosxsin(x)故f(x)的最小正周期为T8.(2)在yg(x)的图象上任取一点(x，g(x)，它关于x1的对称点(2x，g(x)由题设条件，点(2x，g(x)在yf(x)的图象上，从而g(x)f(2x)sin(2x)sinxcos(x)，当0x时，x，因此yg(x)在区间0，上的最大值为g(x)maxcos.12已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切(1)求椭圆方程；(2)设该椭圆的左，右焦点分别为F1