《分式的基本性质》典型例题

1、教师寄语春来春去， 燕离燕归， 枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。分式的基本性质典型例题例 1下列分式的变形是否正确，为什么？（1） bab（ ） bbcaa22aca例 2写出下列等式中的未知分子或未知分母。（1） a b( )（ ） a22a 1 a 1ab 2a2b32a3 1( )例 3 不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数 .0.2x 0.3y0.2 x1 y（1）（2） 1y0.5x 0.02y2xy4 3例 4 不改变分式

2、的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数 .（1） 1 a a 2（ ）x 31 a 2a323x 2x2例 5已知不论 x 取什么数时，分式 ax3 （ bx 50 ）都是一个定值，求bx5a 、 b 应满足的关系式，并求出这个定值.例 6已知一个圆台的下底面是上底面的4 倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为 P 牛顿 / 米 2 ，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？例 7不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“”号：1 x 1 y例 8 不改变分式的值，使分式 2 3 的分子、分母中的多项式的系数0.5x 0.4y都是整数例 9 判定下列分式的变形是不是约分变形，变

3、形的结果是否正确，并说明理由：（1） ab11 ；（2） a2b21 ；ababab（3） x32x2x 2x32x ；（ 4） a2b2a1x2bab例 10化简下列各式：（1）3a3b；（2）a416；2 32a2b8b45a b（3）x 23 xx 23 x2xx 2x 2x6参考答案例 1 分析 分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量， M 0 是基本性质的生果组成部分，应特别注意 .解 （1）已知分式 b/ a 中已隐含了 a0 ，用 a 分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的 .（ ）因为已知分式 a / b中，没限制c ， c 可以取任意

4、数，当然也包括了 c 0 ，2当分式的分子、分母都乘以 c0 时，分式没意义，故（2）是错误的 .例2 分析（ 1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然， a 2b3 是由 ab2 乘以 ab 得到的，由分式的基本性质，a b 也要乘以 ab ，所以括号内应填 (ab) ab（2）式中等号两边分子都已知， 所以先观察分子， a22a1(a1)2除以 a1 得到右边分子 a1 ，按照分式的基本性质， (a3 1) (a1)a2a1 ，故括号内应填 a 2a1.解：（ 1） ab(ab)abab2a 2b3（ 2） a22a1a1a31(a 2a 1)例 3 分析 要把分式的分子

5、、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数 .（2）中分子、分母中各项系数( 0.21 )是分数，这个数应该是各项系数的5分母的最小公倍数，即5， 2， 4， 3 的最小公倍数 60.解：（1）法 1：原式(0.2x 0.3y) 50(0.5x0.02 y) 5010x15y25xy法 2：原式(0.2x0.3y) 100(0.5x0.02 y) 10020x30 y10 x15 y50x2 y25xy(1 x1 y)6012x30 y（2）原式521215x4

6、0 yy)60( x34说明 在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘 .例 4 分析 （ 1）式中分子要变号， 分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号 .（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号 .解：（1） 1aa 2(1aa2 )a2a11 a 2a3(1 a2a3 )a3a 21（2）x3x3x 323x 2( x23x 2)x23x 2x例 5分析在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.解：当 x0 时， ax33b

7、x55x 1时， ax 3 a 3 bx 5 b 5不论 x 取什么实数， ax3 是一个定值 a33 ， 5abx 515 3a 15b55 5a3b a3 b5把 a 3 b 代入原式，得5ax33 bx33 (bx5)355bx5bx5bx55 a 、 b 的关系为5a3b ；定值为35例6解：设圆台的压力为G 牛顿，下底面积为S1米 2 ，上底面积为S2米2.则 PG, S1 4S2S1 G PS1 4PS2当圆台倒放时，桌面受到的压强为：G 4S2P4P (牛顿/米2 )S2S2答：桌面受到的压强为 4P 牛/ 米 2 .说明运用分式知识，有助于解决物理中问题（1） 5m ；（ 2）

8、 4b ； （3）3x；（4）a b2na6xy2a 3b例 7 分析 根据 “分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变 ”解：（1）同时改变分子和分式的符号，得5m5m ；2n2n（2）同时改变分母和分式的符号，得4b4b ；aa（3）先确定是分母的符号，再变号，得3x3x3x；6xy6 xy6xy（4）先确定是分子的符号，然后变号，得2a3b2a3b2a3b ababab说明 1分式中的分数线实际上起到了括号的作用如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成3x3x或2a3b2a3b ；6xy

9、6xyabab2对于（ 4）题，也可处理成2a3b3b2a 的形式abab例 8 分析 此分式分子中各系数的最小公倍数是 6，分母中各系数的最小公倍数是 10，而 10 和 6 的小公倍数是 30于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以 30111130xyxy10 y 解： 232315x0.5x0.4 y1 x2 y3015x12 y25说明 1利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件2操作过程中， 用数 30 的确定是问题的关键所在 因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位例 9 分析 约分

10、变形的前提是分子、分母有公因式解：（1）、（ 2）、（ 3）题的变形都不是约分，结果都是错误的（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质， “除以一个整式 a ”是对分子、分母的整体进行的而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解因此分子、分母没有公因式，它是最简分式故此题的变形是毫无根据的（3）当分子、分母都是乘积的形式， 才有约分的可能，而这里 x32x2 与 x2是和的形式，因此不能进行约分正确的结果解法是：x32x2x 2 x2 x 2x 2x 2x2 1x21x 2x2x2（4）此题是约分变形因

11、此分母化成ab ab 的形式，与分子约去公因式 ab 可得说明1对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；2对（ 1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明如（1）题：当 a2 ， b3 时，211 （2）、（3）题同理233例 10 分析 化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式解：（1）3a3b3a2 b aa；45a2 b33a2 b 15b215b2（2） a4 16a24 a 24a24 ；2a2b8b2b a242b（3） x23x x23x 2x x 3 x 1 x 21 x x2 x2x 6x