第五章杆件的内力分析与内力图

1、1. 基本概念与基本方法基本概念与基本方法2. 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图3. 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图第五章第五章 杆件的内力分析与内力图杆件的内力分析与内力图第五章第五章 杆件的内力分析与内力图杆件的内力分析与内力图5.1.1 整体平衡与局部平衡的概念整体平衡与局部平衡的概念 整体平衡：弹性杆件在外力作用下保持平衡整体平衡：弹性杆件在外力作用下保持平衡 局部平衡：从平衡的弹性杆件上截取的任意部分也必须局部平衡：从平衡的弹性杆件上截取的任意部分也必须 保持平衡保持平衡 这种整体平衡与局部平衡的关系，适用于所有的弹性体，这种整体平衡与局部平衡的关系，适用于所有的弹性体，称为弹性体平衡原理

2、。称为弹性体平衡原理。5.1.2 杆件横截面上的内力与外力的相依关系杆件横截面上的内力与外力的相依关系 当杆件上的外力沿杆的轴线方向发生突变时，内力的当杆件上的外力沿杆的轴线方向发生突变时，内力的变化规律也将发生变化。变化规律也将发生变化。5.1 基本概念与基本方法基本概念与基本方法5.1.3 控制面控制面5.1 基本概念与基本方法基本概念与基本方法5.1.4 杆件内力分量的正负号规则杆件内力分量的正负号规则5.1 基本概念与基本方法基本概念与基本方法5.1 基本概念与基本方法基本概念与基本方法F F mm(d) FN(a) F F mm(c) mmFNx(b) mmF x杆件在轴向载荷的作杆

3、件在轴向载荷的作用下的特点：用下的特点：杆件横截面上的内力分量杆件横截面上的内力分量沿杆件轴线，即为轴力。沿杆件轴线，即为轴力。轴力作用线垂直于横截面轴力作用线垂直于横截面并通过其形心。并通过其形心。轴力或为拉力或为压力。轴力或为拉力或为压力。5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图杆件受拉、压力，其变形形式为伸长或者缩短杆件受拉、压力，其变形形式为伸长或者缩短FFFF名词术名词术语语轴向载荷轴向载荷：作用线沿杆件轴线的载荷。：作用线沿杆件轴线的载荷。轴向拉伸轴向拉伸：以轴向伸长为主要特征的变形形式。：以轴向伸长为主要特征的变形形式。轴向压缩轴向压缩：以轴向压缩为主要特征的变形形式。：以轴向压缩为

4、主要特征的变形形式。拉压杆（轴向承载杆）拉压杆（轴向承载杆）：以轴向拉压为主要变形：以轴向拉压为主要变形的杆件。的杆件。5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图FN+FN-轴力的符号规定轴力的符号规定：原则原则根据轴的变形根据轴的变形压缩压缩压力，其轴力为负值。方向压力，其轴力为负值。方向指向指向所在截面所在截面。拉伸拉伸拉力，其轴力为正值。方向拉力，其轴力为正值。方向背离背离所在截面。所在截面。5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图求内力的一般方法求内力的一般方法截面法截面法（1）截截：欲求某一截面的内力，沿欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分该截面将构件假想地截成两部分（3）代代：

5、用作用于截面上的内力，用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的作用力代替弃去部分对留下部分的作用力（4）平平：建立留下部分的平衡条建立留下部分的平衡条件，确定未知的内力件，确定未知的内力步骤：步骤：F F mm(d) FN(a) F F mm(c) mmFNx（2）取取：取其中任意部分为研究对取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分象，而弃去另一部分(b) mmF x5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图轴力图：轴力沿轴线变化的图形轴力图：轴力沿轴线变化的图形取坐标系取坐标系选比例尺选比例尺正值的轴力画在正值的轴力画在X X轴的上侧轴的上侧, , 负值的轴力画在负值的轴力画在X X轴轴的下

6、侧。的下侧。 +FNx5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定，即确定 危险截面位置，为强度计算提供依据。危险截面位置，为强度计算提供依据。轴力图的意义轴力图的意义+FNx5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图5.2.1 轴力图轴力图轴向载荷：沿着杆件轴线方向作用的载荷轴向载荷：沿着杆件轴线方向作用的载荷5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图工程中的扭转问题工程中的扭转问题5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭

7、矩图5.2.2 扭矩图扭矩图5.2.2 扭矩图扭矩图5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图解解: :(1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩由公式由公式Pk/n例题例题5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图(2)(2)计算扭矩计算扭矩(3)(3) 扭矩图扭矩图5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图起重机大梁起重机大梁5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图1. 弯曲弯曲: : 杆件受到杆件受到垂直于垂直于轴线的轴线的外力外力或或外力偶矩外力偶矩作用时作用时, ,轴轴线变成了线变成了曲线曲线，这种，这种变形变形称为弯曲。称为弯曲。2. 梁：以梁：以弯曲变形为主弯曲变形为主的构件通常的构件通常称为梁。称为梁。5

8、.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图常见弯曲构件（梁）截面常见弯曲构件（梁）截面5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于为了便于分析计算，分析计算，应对应对梁及其受力情况梁及其受力情况进行必要的进行必要的简化简化，抽象出，抽象出计算简图计算简图。1. 构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。通常取梁的轴线来代替梁。2. 载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。集中力、集中力偶和分布载荷。目的是为下

9、一步计算做准备画计算简图的画计算简图的方法和步骤方法和步骤5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图24一、剪力与弯矩：一、剪力与弯矩：剪力：剪力：构件截面上用来平衡构件截面上用来平衡杆件外力的内力，是所有平杆件外力的内力，是所有平行于横截面的内力的合力。行于横截面的内力的合力。PaPlYAXARBAABBAQMCYAXAmm弯矩弯矩：构件截面上用来平衡构件截面上用来平衡杆件外力偶的内力偶矩，是杆件外力偶的内力偶矩，是垂直于横截面的内力系的合垂直于横截面的内力系的合力偶矩。力偶矩。RBPMQC5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图利用利用截面法截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤计算指定截面的剪力和弯

10、矩的步骤如下：如下：（1） 计算支座反力，画出计算简图。计算支座反力，画出计算简图。（2） 用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段，用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段，取其中一段为研究对象，在截面上假设弯矩和内力。取其中一段为研究对象，在截面上假设弯矩和内力。（3）建立平衡方程，求解剪力和弯矩。）建立平衡方程，求解剪力和弯矩。（4）画出研究对象的内力图。截面上的剪力和）画出研究对象的内力图。截面上的剪力和弯矩均按正方向假设。弯矩均按正方向假设。求剪力和弯矩的工具求剪力和弯矩的工具截面法截面法5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图53 53 剪力与弯矩剪力与弯矩例题：例题： 求图示简支梁求图示简支

11、梁E E 截面的内力截面的内力53 53 剪力与弯矩剪力与弯矩解：解：1. 确定支反力确定支反力 0yFFFFByAy2 0AMaFFaaFBy233FFBy35FFAyFAyFByFAy53 53 剪力与弯矩剪力与弯矩3FFBy35FFAy 0yF352FFFSE 0EM233522aFMaFE3FFSE2. 用截面法研究内力用截面法研究内力FSEMEFSEFAy23FaME53 53 剪力与弯矩剪力与弯矩FByFByFAyFSEMEO3FFBy35FFAy分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO 0yF0BySEFF3FFFBySE 0oMFaaFMByE2323FaME53 53 剪力与

12、弯矩剪力与弯矩FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。FAyFSE35FFSE2FF23F53 53 剪力与弯矩剪力与弯矩FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代数和。数和。MEFAy2335aFME22aF Fa232F1. 1. 内力方程：内力与截面位置坐标（内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。）间的函数关系式。2. 2. 剪力图和弯矩图：剪力图和弯矩图：)(xQQ 剪力方程剪力方程)(xMM 弯矩方程弯矩方程

13、)(xQQ 剪力图剪力图的图线表示的图线表示)(xMM 弯矩图弯矩图的图线表示的图线表示5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例题例题 求下图示梁的内力方程并画出内力图。求下图示梁的内力方程并画出内力图。LP AB5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图解：求支反力解：求支反力 OYPPYOLM(x)xQ(x)MOPOMPL 0yF 0AM AB5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图PY)x(QO)( )(LxPMxYxMOO写出内力方程写出内力方程YOM(x)xQ(x)MO5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图PY)x(QO)( )(LxPMxYxMOO根据方程画内力图根据方程画内力图Q(x)M(x)

14、xxPPL5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。CFab例题例题5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAlFAYFBY解：解：1 1确定约束力确定约束力0AMCFab0BYF lFaBYFaFl0BM0AYF lFbAYFbFl5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAlFAYFBY解：解：2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2x1AC 11/0Q xFb lxa axlFbxxM1110/CB22/Q xFa laxl lxa

15、lxlFaxM222/CFabAFAYx1BAlFBYx21()Q x1()M x2()M x2()Q xBYFaFlAYFbFl5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 BAlFAYFBY解：解：x2Q（x）xMxlFb/lFa/lFab/x1AC 11/0Q xFb lxa axlFbxxM1110/CB22/Q xFa laxl lxalxlFaxM222/3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAl试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。CMab图示简支梁图示简支梁C C点

16、受集中力偶作用。点受集中力偶作用。例题例题5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAl解：解：1 1确定约束力确定约束力0AMCMabAYMFl0BMBYMFl 5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAl解：解：2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2x1AC11/0Q xM lxa axlMxxM1110/CB22/0QxMlxb 222/0MxMxlxb CMabAYMFlAFAYx11()Q x1()M xx2B2()M x2()Q xBYMFl 5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 BAlx2lMa/x1lM /lMb/CMabAC11/0Q xM lxa axlMxxM1110/

17、CB22/0Q xM lxbbxlMxxM2220/3. 3. 依方程画出依方程画出剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。( )M x( )Q x5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAl简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并试写出剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。yx例题例题5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAl解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/2yx5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAlFAy FBy ql/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx /20Q xqlqxx l lxqxqlx

18、xM02/2/2AyxCx1()Q x( )M x5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 32/32ql32/32qlBAlyxCx /20Q xqlqxx l lxqxqlxxM02/2/2QxMx2/ql2/ql8/2ql 3. 3. 依方程画出依方程画出剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图5-4 5-4 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系对对dx 段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有：0( )( )d( )d( )0YFQ xq xxQ xQ x)x(Qx)x(

19、 qdd dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy xqxxQdd剪力图上某点处的切线斜率等剪力图上某点处的切线斜率等于该点处载荷集度的大小。于该点处载荷集度的大小。 5-4 5-4 剪力、弯矩与载荷集度间的微剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系分关系22( )( )( )dMxdQ xq xdxdxq(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy0)(d)()()(d(21)d(, 0)(2xMxMxMxxqxxQFmiA弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d

20、)(dxQxxM5-4 5-4 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：22( )( )( )d M xdQ xq xdxdx1.1. q q0 0，Q(x)Q(x)= =常数，常数， 剪力图为直线；剪力图为直线；M M(x) (x) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。3.3. 剪力剪力Q Q =0=0处，弯矩取极值。处，弯矩取极值。4.4. 集中力作用处，剪力图突变；集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变集中力偶作用处，弯矩图突变2.q2.q常数，常数，Q Q( (

21、x x) ) 为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线；M M(x) (x) 为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形；分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0q0QQ0 x斜直线斜直线增函数增函数xQxQ降函数降函数xQCQ1Q2Q1Q2=P自左向右突变自左向右突变xQC无变化无变化斜直线斜直线xM增函数增函数xM降函数降函数曲线曲线xM凸形凸形xM凹形凹形自左向右折角自左向右折角 与与m反反xM折向与折向与P反向反向MxM1M2mMM215-4 5-4 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系简易作图法：利用内力与外力简的关系简易作图法：利用内力与外力简的关系及特殊点的内力值绘制剪力图与弯矩图及特殊点的内力值绘制剪力图与弯矩图的方法：的方法：1.根据载荷及