结构力学第3章静定梁的内力计算

1、结构力学结构力学教研组青岛理工大学工程管理系 静定梁的内力分析第三章 静定梁有单跨静定梁和多跨静定梁两种形式。静定梁是基本的结构形式静定梁是基本的结构形式v 通过学习多跨静定梁，了解静定结构几何组成对内力计算的影响，掌握静定结构内力分析的基本途径和方法。 v 通过学习单跨静定梁，复习杆系结构内力概念及内力计算基本方法；3.1 3.1 单跨静定梁单跨静定梁 单跨静定梁分为 v 悬臂梁v 伸臂梁v 简支梁 (a) (b) (c) (d)结构的内力反映其受力后结构内部的响应状态（产生应变及相应的应力）。杆件结构的内力为杆件（垂直杆轴的）横截面上分布的应力，可以用一个合力来表示。在杆系结构的内力分析中

2、，将这个合力分解成作用在横截面中性轴处的三个分量即轴力、剪力和弯矩。1. 1.结构的内力概念结构的内力概念v 轴力（FN） v 弯矩（M） v 剪力（FQ） 典型杆件截面上的内力典型杆件截面上的内力横截面上应力在截面法线（杆轴）方向上的投影（或横截面上正应力）的代数和称为轴力。轴力使隔离体受拉为正（与截面法线方向相同）。轴力(FN)横截面上应力在截面切线（垂直于杆轴）方向上的投影（或横截面上切应力）的代数和称为剪力。剪力使隔离体顺时针转动为正（左上、右下）。剪力（FQ）横截面上应力（或横截面上正应力）对截面中性轴的力矩代数和称为弯矩。规定弯矩的竖标画在受拉侧。 弯矩（M）MA杆件截面上的内力定

3、义图杆件截面上的内力定义图MBMAMB基本方法：基本方法：内力计算基本方法为截面法。静定结构的内力计算可归纳为：选隔离体、建立隔离体的静力平衡方程，和求解方程三部分主要工作。静定结构内力计算基本方静定结构内力计算基本方法和步骤：法和步骤：1. 1. 计算结构的支座反力和约束计算结构的支座反力和约束 取结构整体（切断结构与大地的约束）、或取结构的一部分（切开结构的某些约束）为隔离体，建立平衡方程。截面法的一般截面法的一般步骤步骤：用假想的平面垂直于杆轴切开指定截面，取截面的任意一侧为隔离体并在其暴露的横截面上代以相应的内力（按正方向标出），建立平衡方程并求解。 2. 2. 计算计算控制截面控制截

4、面的内力的内力(指定指定截面的内力截面的内力) )v 弯矩图 v 剪力图 v 轴力图 3. 3. 绘制结构的内力图绘制结构的内力图 在静定结构的受力分析中，正确有序地选取隔离体是解题的关键。 取隔离体的要点是，要保证隔离体的完全隔离，即隔离体与结构其他部分的所有联系都要切断。 几点注意：几点注意： 隔离体上原有的已知力（荷载和已求出未知力）要保留，不能有遗漏。 隔离体上与其他部分联系的截断处，只标舍去的其他部分对隔离体的作用力。 用截面法，求图用截面法，求图(a)(a)所示伸臂梁截面所示伸臂梁截面1 1上上的内力。的内力。 M(a) MFAxFAyFBy(b) 例3-1-11)求支座反力 去掉

5、支座约束，取整体为隔离体，见图(b)。建立隔离体的平衡方程并解之： 求解：求解：0542333aFaaqMaFPAyaFaaqMaFPAy54233310BM0AMaFaaqMaFPBy4542333104542333aFaaqMaFPBy 0XF053PAxFFPAxFF53 0YF由 可校核所得支座反力。 截开截面1，取左侧为隔离体，见图（c），建立平衡方程并解之： 2)求截面1处的内力FAxMFAyM1FQ1FByFQ1M1(d)(c) 0XF01AxNFFAxNFF1 0YF01aqFFAyQqaFFAyQ1 01M021MaFaaqMAyMaFqaMAy2121取截面1右侧为隔离体计

6、算可得同样结果用文字写明受拉侧由例3-1-1内力计算结果分析，指定截面的内力可用该截面一侧的外力直接表示，即： 直接法直接法求指定截面的内力求指定截面的内力截面一侧所有外力在指定截面法线方向投影的代数和，以与截面外法线方向相反为正。即轴力按外力左左、右右为正。 轴力（FN）截面一侧所有外力在指定截面切线方向投影的代数和，左上、右下为正。 剪力（FQ）截面一侧所有外力对指定截面形心力矩的代数和。左顺、右逆为正。弯矩（M） 用直接法，求例3-1-1图(a)所示伸臂梁截面2上的内力。 M(a)例3-1-2MFAxFAyFBy支座反力计算同例3-1-1。内力可由下图所示受力图直接计算： 求解：求解：A

7、xNFF2aqFFAyQ22aaqMaFMAy222取截面2左侧：532PNFFqaFFFByPQ54222542aaqaFaFMPBy取截面2右侧：4. 4. 荷载与内力的关系荷载与内力的关系( (未考虑未考虑沿杆件轴向的荷载作用沿杆件轴向的荷载作用) ) dx图3-1-3 对于直杆段上，见图3-1-3在图3-1-3所示杆件的连续分布荷载段截取微段dx，见图3-1-4(a),建立微段的平衡方程： 荷载与内力之间有下列关系：荷载与内力之间有下列关系：(1)(1)微分关系微分关系d x图3-1-4(a) 0YF0qdxFdFFQQQqdxdFQ(a) 0M02)(2dxqdxFMdMMQQFdx

8、dM(b) qdxMd22(c) 以上三式，为荷载与内力的微分关系。式(b)忽略了二阶微量。 由(a)、(b)两式得:v 若直杆段上无荷载作用，则剪力图是与轴线平行的一条直线，弯矩图是一条斜直线；微分关系的几何意义：微分关系的几何意义：v 若直杆段上作用均布荷载，则剪力图为一条斜直线，弯矩图为抛物线；v 若直杆段上作用三角形分布荷载，则剪力图为抛物线，弯矩图为三次曲线； 以此类推以此类推v 荷载图、剪力图和弯矩图的特征依次为：零、平、斜；平、斜、二曲；斜、二曲、三曲；(2)(2)荷载与内力的荷载与内力的增量关系增量关系 在图3-1-3所示杆件上，取含有集中力和集中力偶在内的微段dx，见图 3-

9、1-4(b)，建立微段平衡方程：d x图3-1-4 (b) 0YF0PQQQFFFFPQFF(d) 0M0mdxFMMMQmM 以上两式，为荷载与内力的增量关系。式(e)忽略了一阶微量。 (e) v 在集中力作用点（集中力垂直与杆轴或有垂直于杆轴的分量）两侧截面，剪力有突变，突变值即为该集中力或垂直于杆轴的分量；弯矩有转折点（即尖点），且尖点方向与集中荷载方向一致。增量关系的几何意义：增量关系的几何意义：v 在集中力偶作用截面两侧，弯矩有突变，突变值即为该集中力偶；剪力相同。(3)(3)荷载与内力的荷载与内力的积分关系积分关系取图3-1-3所示杆件的连续分布荷载段（AB段），见图3-1-5，建

10、立平衡方程并求解： dx图3-1-5 0YFBAQAQBqdxFF (f) 0MBAABABQAABdxxlqlFMM)(g)BAQABdxFMM 即以下两式，为荷载与内力的积分关系。 式(g)原式等号右侧的第二、三项可写成： BABAQABQAdxFdxqxqlF)(f)、(g)两式又可由前述微分关系得出注：注：有连续分布荷载（荷载垂直于杆轴）的直杆段AB，B端的剪力等于A端的剪力减去该段分布荷载图的面积。B端的弯矩等于A端的弯矩加上该段剪力图的面积。积分关系的几何意义积分关系的几何意义 ：5.5.区段叠加法区段叠加法作弯矩图作弯矩图叠加法的基本含义是，若结构在线弹性阶段且为小变形时，若干荷

11、载作用下结构的内力或位移，可由各荷载单独作用下的内力或位移叠加求得。自然弯矩图（剪力图、轴力图）也可按叠加法得到根据叠加法的基本含义，下图(a)上所示简支梁在两端力偶和均布荷载所用下，其总弯矩图（图(a)下）等于，两端力偶、均布荷载分别单独作用下弯矩图（图(b)右、图(c)右）的叠加。(1)(1)简支梁的弯矩叠加法简支梁的弯矩叠加法BAq图3-1-6(a)BA82qlCBABAqBA82qlC图3-1-6(c)图3-1-6(b)CBA2ABMM将先分别计算和绘制各荷载单独作用下的弯矩图后再叠加的过程在总弯矩图上一次完成，其步骤是: 上一步所作的直线为新的基线，叠加梁中部荷载作用下的弯矩图 。

12、梁的轴线为原始基线，将梁两端的弯矩竖标连以直线。 简支梁在两支座端有外力偶作用时，梁两端截面有等于该端力偶的弯矩，无外力偶在端部作用时端部截面的弯矩为零。所以简支梁两端支座处的弯矩值竖标可直接绘出。v 图的叠加是弯矩竖标的叠加，而不是图形的简单叠加。 v 每叠加一个弯矩图，都以紧前一次弯矩图外包线为新基线，并由此基线为所叠加的弯矩图的拉压分界线。见图3-1-6。注意：注意：区段叠加法区段叠加法指结构的任意一段直杆段的弯矩图叠加方法。见下图3-1-7图(a)上所示一刚架结构，要绘制直杆AB区段的弯矩图。 （2 2）区段叠加法区段叠加法作弯矩图作弯矩图 qABFQBABAqFQABFNABFNBA

13、图3-1-7(a)将直杆段AB取出，见图(a)右，两端截开截面上的弯矩MAB、MBA已求出（其它杆端内力也可求出）。 另做一与区段AB等长的简支梁，见图(b)左，其上作用有杆端力偶MA、MB和与刚架相同的均布荷载q。 ABqFAyFByABq图3-1-7(b)v 若简支梁的杆端外力偶分别等于区段AB两端的弯矩，MA=MAB,MB=MBA,容易看出，区段AB两端的剪力与简支梁的支座反力将相等，即，FQAB=FAy, FQBA=FBy 比较比较(a)(a)右、右、(b)(b)右两受力图右两受力图v 又由于区段AB两端的轴力在弯曲小变形的假设下对弯矩不产生影响v 所以从弯矩图的角度说，(a)右、(b

14、)右两受力图是相同的。 求出直杆区段两端的弯矩值，在杆轴原始基线相应位置上画出竖标，并将两端弯矩竖标连直线。区段AB的弯矩图可以利用与简支梁相同的叠加法制作。其步骤相类似： 在新的基线上叠加相应简支梁与区段相同荷载的弯矩图。（相应简支梁，指与所考虑区段等长且其上荷载也相同的，相应于该区段的简支梁） 上述方法即为直杆区段弯矩图的叠加法。 计算图示简支梁，并作弯矩图和剪力图。 4mq=14kN/m1m1m1m例3-1-3去掉支座约束，以整体为隔离体，由静力平衡条件得 0BM 0AM求解：求解：注：结构力学绘制内力图，主要采取按注：结构力学绘制内力图，主要采取按控制点内力值控制点内力值分段连线分段连

15、线的方法。的方法。1)求支座反力mkNFAy30) 673414(71mkNFBy33) 174414(71() () F =0AxF =30kNA yq=14kN/mF =33kNByF =33kNBy(a) mkNFFMPAyD531723012kNFFFPAyQD237302)计算控制截面弯矩值取D截面以左（下侧受拉）mkNFMByC331331kNFFByQC33取C截面以右(下侧受拉)弯矩图：见图(b)，以梁轴线为基线，画出控制截面弯矩竖标并连以直线；分段叠加各段相应简支梁的弯矩图，并计算各段中点的弯矩值。 3)3)作内力图作内力图AD段中点： mkNME30427253DC段中点：

16、 mkNMDC718414233532130kN/m53kN/m71kN/m33kN/m(b) M图 30kN33kN/m(c) FQ图 剪力图：见图(c) ，按图(a)外力从梁的任意一端开始逐段绘制。注意剪力正负号的确定。计算图示伸臂梁，并作弯矩图和剪力图。 1mq=20kN/m2m1m1m例3-1-21)求支座反力（略） F =5kNAyF=75kNByq=20kN/m(a) 求解：求解：取截面C以左（上侧受拉） mkNqFMAyC301220251222)求控制截面弯矩值mkNMAC52308220213)作内力图各区段中点弯矩值：AC段中点mkNMDl653024030D右： mkNM

17、Dr53024030CB段中点：D左： 弯矩图：见图(b)，剪力图：见图(c)。 5kNm65kNm5kNm40kNm30kNm40kN35kN5kN(b) M图(c) FQ图 v 区段叠加法作弯矩图时，需要熟练计算简支梁的内力，并应熟记简支梁在单一荷载形式下的弯矩图，如下图3-1-8所示。说明：说明：Lbaqq2qL82qL2qLLbaPFLa bPFLaPFLb图3-1-8 (a) (b) LbaMLbMLaLMLM图3-1-8(c) v 集中力在跨中，简支梁跨中弯矩为 。 4LFPv 在均布荷载所用下，简支梁跨中弯矩为 。 82qL结论：v 集中力偶作用点两侧截面的弯矩竖标异侧，绝对值之

18、和等于该集中力偶（突变值）。注意到力偶作用点两侧的弯矩图斜直线相互平行，由此几何关系可确定两侧截面上的实际弯矩值。当集中力偶在跨中时，梁中点两侧截面的弯矩值的绝对值相等，均为集中力偶的一半。v 当内力图完成后，注意用荷载与内力的微分和增量关系定性检查。并熟练掌握用叠加法作直杆的弯矩图。3.2 3.2 多跨静定梁多跨静定梁多跨静定梁可看作是由若干个单跨静定梁顺序首尾铰接构成的静定结构。常见于桥梁、屋面檩条等。它有两种基本的形式，即阶梯式和悬跨式。 q(a)阶梯式 图3-2-1q(b)悬跨式 1. 1. 多跨静定梁的组成特征多跨静定梁的组成特征 以阶梯式为例。见图3-2-1（a），这类形式的多跨静

19、定梁的外在组成形式是，以一根与大地独立形成几何不变体的杆件开始，以后各杆件顺序首尾铰接，并每根杆有一根落地支座链杆，逐一按两个刚片的规则（或依次加二元体的方式）组成。各单杆（单跨静定梁）之间有互为依赖关系，即，除与大地独立有三个支座链杆连接的梁外，按加二元体的顺序，后续的每根梁都以前面已形成的刚片为依托形成扩大的刚片。换句话说，若切断后续的杆件与紧前杆件的联系，或去掉前面任意一根梁或任意约束，则切断处剩下的部分便成为几何可变体系，见图3-2-2FByFBxFByqFBx图3-2-2-(a) FCxqFCyFCyFCx图3-2-2-(b) 从受力的角度看，其中AB可独立承受荷载，并可承受其他部分

20、由铰B传来的力，而其他部分则不能。 分析上图：分析上图：在多跨静定梁中，可多跨静定梁中，可独立承受独立承受荷载荷载的部分，叫做的部分，叫做基本部分基本部分；依赖于其他部分才能承受荷载依赖于其他部分才能承受荷载的部分，叫做的部分，叫做附属部分附属部分。 由以上可定义:多跨静定梁的组成顺序是，先基本部分，后附属部分。用分层图表示见下图3-2-3，并容易看出，多跨静定梁的传力顺序是组成顺序的反方向，即，由附属部分传向基本部分。 qFDyFCyFCxFByFCyFCxqFBxFA yFByFAxFBx(a) (b) 图3-2-3q图3-2-3 (c) 多跨静定梁的实用计算方法，是以各独立的杆件为隔离体

21、，其计算顺序是：先附属部分，后基本部分。2.2.多跨静定梁的实用计算方法多跨静定梁的实用计算方法基本部分上的荷载对附属部分不产生影响，而附属部分上的荷载对其以下的基本和相对基本部分均产生影响。 计算图(a)所示多跨静定梁，并作内力图。 2m1mq=6kN/m2m1m1m1m3m(a) 例3-1-2该多跨静定梁为阶梯式，分层图如图(b) (b) 求解：从最高层附属部分依次取单根杆件计算，见图(e)以从右向左的顺序计算。据此作内力图见图(c)、(d)。 F =2kNAyFByqF=6kNCyF =1kN2FByF=11kNByF=6kNDyF=6kNCy(c)M图2kN(d)FQ图 计算图示多跨静

22、定梁，并作内力图。 q =32kN/m13m1m1m3m1m4m1m1m2mq =12kN/m2(a)例3-1-2计算见下图(b)(c)(d)(e)示 ：(b)F =10kNAyF =20kNByq =12kN /m2F= 18kNC yF= 18kND yq =32kN/m1F =77.5kN2F =120.5kN120kN18kNF =10kN3F =8kNEy18kN(c)q =32kN /m1(d)M图 20kN68.5kN52kN59.5kN18kN18kN8kN10kN(e)FQ图 本例为悬跨式多跨静定梁，见图(a)中CD（和AB）杆，该类杆没有直接与大地的联系，悬起用两单铰与两端的其他部分相连，称有这样的杆