2020学年上海市实验学校高一下学期期末数学试题及答案解析

1、20202020 学年上海市实验学校高一下学期期学年上海市实验学校高一下学期期末数学试题及答案解析末数学试题及答案解析一、单选题一、单选题1 1“ “61” ”的（的（2” ”是是“ “sin）b b必要不充分条件必要不充分条件d d既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件a a充分不必要条件充分不必要条件c c充要条件充要条件【答案】【答案】a【解析】【解析】根据案.【详解】由66和sin1之间能否推出的关系，得到答2可得sin11，2由sin2，得到62k或652k，kz z，不能得到6，6所以“”是“sin1”的充分不必要条件，2故选：a.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题

2、.2 2函数函数y 2sin xcosx，当，当x 时函数取得最大值，则时函数取得最大值，则cos（）a a552 5b b52 2c c31d d3【答案】【答案】a第 1 页 共 22 页【解析】【解析】根据三角恒等变换的公式化简得y 其中cos得22 55,sin555sin(x )，再根据题意，得到sin() 1，求2k,kz，结合诱导公式，即可求解.【详解】由题意，根据三角恒等变换的公式，可得y 2sin x cos x 5sin(x )，其中cos2 55,sin55，5sin() 5，即因为当x 时函数取得最大值，即sin() 1，可得22k,kz，即22k,kz，所以cos c

3、os(2 2k) cos(2) sin故选：a.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用， 以及诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理利用三角函数的诱导公式求解是解答的关键， 着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3 3 九章算术九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中方田一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其中方田一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其1所对弦所围成弓形）所对弦所围成弓形） 的面积所用的经验公式：的面积所用的经验

4、公式： 弧田面积弧田面积= =25.5（弦（弦矢矢+ +矢矢矢）矢） ，公式中，公式中“ “弦弦” ”指圆弧所对弦长，指圆弧所对弦长，“ “矢矢” ”等等第 2 页 共 22 页于半径长与圆心到弦的距离之差，于半径长与圆心到弦的距离之差， 按照上述经验公式计算按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，所得弧田面积与其实际面积之间存在误差， 现有圆心角为现有圆心角为23，弦长为弦长为40 3米的弧田，米的弧田，其实际面积与按照上述经验公其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米（其中）平方米（其中 3，3 1.73）a a1

5、414【答案】【答案】b【解析】【解析】根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可.【详解】1r 40 3 sin 40，如图所示，扇形的半径为23121600所以扇形的面积为234023，12sin402 400 3，又三角形的面积为2316001600400 3 4001.73 908(m2)，所以弧田的面积为33b b1616c c1818d d2020又圆心到弦的距离等于40cos3 20， 所示矢长为4020 20，1按照上述弧田的面积经验计算可得2(弦矢矢1222)(40 32020 ) 892(m )，2所

6、以两者的差为908892 16(m2).故选：b.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用， 以及第 3 页 共 22 页我国古典数学的应用问题，其中解答中认真审题，合理利用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4 4 已知函数已知函数x2 x1x 0f (sinsinsin361) 1，f (x) ， 若若x 02x1f (coscoscos361) 3，则，则cos() （）d d21a a2b b2 2c c12【答案】【答案】c【解析】【解析】由函数f (x)的解析式，求得f11，f1 3，进而得到sinsin sin36，

7、coscos cos36，结合两角差的余弦公式和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由题意，函数13x2 x1x 0(x)2f (x) 24x 02x12x1x 0 x 0，令fx 1，即2x1 1，即x 1，所以f11，令fx3，即x2 x1 3，即x 1，所以f1 3，又因为f (sinsinsin361) 1，f (coscoscos361) 3，即f (sinsinsin361) f (1)，f (coscoscos361) f (1)，所以sinsinsin361 1，coscoscos3611，即sinsin sin36，coscos cos36，平方可得sin2sin2 2s

8、insin sin236，cos2cos22coscos cos236，两式相加可得2 2(coscossinsin) 2 2cos() 1，所以cos() 1.2第 4 页 共 22 页故选：c.【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦公式， 三角函数的基本关系式的应用，以及函数的解析式的应用，其中解答中合理应用三角函数的恒等变换的公式进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题二、填空题5 5弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作他的著作无穷小分析概论无穷小分析概论中提出把圆的半径作为弧长中提出把圆的半

9、径作为弧长的度量单位的度量单位. .已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是形圆心角的弧度数是_【答案】【答案】1【解析】【解析】设扇形的弧长和半径长为l，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是1.6 6化简：化简：cos(ll2 x)sin( x)tan(2 x)2 x)cos(x)cos( x)cot(_【答案】【答案】1【解析】【解析】根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，可得cos(2 x)sin( x)tan(2 x) x)cos(x)cos( x)2cot(sin xsin x tan xtan x 1

10、.tan xcosx cosxtan x第 5 页 共 22 页故答案为：1.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式， 准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7 7设设 a a0 0，角，角 的终边经过点的终边经过点 p p（3a3a，4a4a） ，那么，那么sin+2cossin+2cos 的值等于的值等于【答案】【答案】【解析】【解析】试题分析：利用任意角三角函数定义求解解：a0，角 的终边经过点 p（3a，4a） ，x=3a，y=4a，r=sin+2cos=故答案为 【考点】任意角的三角函数的定义8 8 在锐角在锐

11、角 【答案】【答案】3a 45，abc中，中，ac 3，bc 2， 则则b _=5a，= ，即acbc3sin b 【解析】【解析】由正弦定理，可得sinbsin a，求得2可求解，得到答案.【详解】acbc由正弦定理，可得sinbsin a，所以sinb acsin a3sin453，bc22又由abc为锐角三角形，所以b 3.故答案为：3.第 6 页 共 22 页【点睛】本题主要考查了正弦定理得应用， 其中解答中熟记正弦定理，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.9 9如图为函数如图为函数f (x) asin(x)（a0，0，|2，xr r）的部分图像，则的部分图像，则y

12、f (x)函数解析式为函数解析式为_【答案】【答案】f (x) 2sin(2 x)3【解析】【解析】由函数f (x) asin(x)的部分图像，先求得a 2,t ，得到f (x) 2sin(2 x)，再由f () 2，得到12sin() 1，结合|，求得，即可得到函数的解析326式.【详解】由题意，根据函数f (x) asin(x)的部分图像，可得a 2,4t 3124，所以t ，又由w f (x) 2sin(2 x)，12 2，即t又由f () 2sin(2 ) 2sin() 2，即sin() 1，121266解得622k,k z，即32k,kz，又因为|f (x) 2sin(2 x).，所

13、以，所以323f (x) 2sin(2 x).3故答案为：【点睛】第 7 页 共 22 页本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质， 准确计算是解答的关键， 着重考查了数形结合思想， 以及推理与计算能力，属于基础题.1010已知已知sin2cos27【答案】【答案】92 33，则，则cos2_._.【解析】【解析】对已知等式的左右两边同时平方，利用同角的三角函数关系式和二倍角的正弦公式，可以求出sin的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出cos2.【详解】因为sin2cos22 33，所以1sin3，即sin3，27.9941所以cos212sin21

14、【点睛】本题考查了同角的三角函数关系， 考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.1111若在若在abcabc 中，中，a 60 ,b 1,sabca bc=_=_。sin asinbsinc3,则则【答案】【答案】2 393【解析】【解析】由 a 的度数求出 sina 和 cosa 的值，根据 sina的值，三角形的面积及 b 的值，利用三角形面积公式求出c 的值，再由 cosa，b 及 c 的值，利用余弦定理求出 a 的值， 最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值第 8 页 共 22 页【详解】由a=60，得到 sina=又 b=1，sabc=113，32321，co

15、sa=2，2bcsina=21c解得 c=4，=3，根据余弦定理得：a2=b2+c22bccosa=1+164=13，解得 a=13，acb根据正弦定理sina=sinb=sincabc2 393=132 393=32，则sina sinb sinc=故答案为：【点睛】2 393此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，正弦定理、余弦定理建立了三角形的边与角之间的关系， 熟练掌握定理及公式是解本题的关键4y sin(2x )1212把函数把函数的图像上各点向右平移的图像上各点向右平移25个单位，个单位，再把横坐标变为原来的一半，纵坐标扩大到原来的再把横坐

16、标变为原来的一半，纵坐标扩大到原来的 4 4 倍，倍，则所得的函数的对称中心坐标为则所得的函数的对称中心坐标为_【答案】【答案】(k,0)，kz z420【解析】【解析】根据三角函数的图象变换，求得函数的解析式，进而求得函数的对称中心，得到答案.第 9 页 共 22 页【详解】4y sin(2x )由题意，把函数的图像上各点向右平移25个单位，可得y sin2(x2)5 sin(2x5)，再把y sin(2x5)图象上点的横坐标变为原来的一半，可得y sin(4x )，54把函数y sin(4x 5)纵坐标扩大到原来的y 4sin(4x)，54 倍，可得令4x5 k,k z，解得x 20k,k

17、 z，4所以函数的对称中心为(故答案为：(【点睛】k,0),k z.420k,0),k z.420本题主要考查了三角函数y asin(wx )的图象变换，以及三角函数的对称中心的求解， 其中解答中熟练三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.1313已知已知tanatansina2sina 3，且，且1k2，a n2n、k z. .则则的值是的值是_._.【答案】【答案】2【解析】【解析】 【详解】sina211sina2sinatanasinacos2sinatancosasin1sin a2sinasina212sina第 10 页 共

18、 22 页31 2.311414如图，在如图，在 abc中，三个内角中，三个内角a、b、c所对的边分别所对的边分别为为a、b、c，若，若a b(sinc cosc)，a 2，d为为 abc外一点，外一点，db 3，dc 2，则平面四边形，则平面四边形abdc面积的最大值为面积的最大值为_【答案】【答案】133 24【解析】【解析】根据题意和正弦定理，化简得cosbsinc sinbsinc，进而得到b 4，在bcd中，由余弦定理，求得1312cos dsbcd 3sin d，41312cos ds 3sin d，得出四边形的面积为再结合三角函数4bc 1312cos d，进而得到sabc2的性

19、质，即可求解.【详解】由题意，在abc中，因为a b(sinc cosc)，所以sin a sin b(sinc cosc)， 可得sin(b c) sin b(sinc cosc),即sin(b c) sin b(sinc cosc)，所以sinbcosccosbsinc sinbsincsinbcosc，所以cosbsinc sinbsinc，又因为c(0,)，可得sinc 0，所以cosb sinb，即tanb 1,因为b(0,)，所以b 4，在bcd中，db 3,dc 2，第 11 页 共 22 页由余弦定理，可得bc2 2232223cos d 1312cos d，所以abc为等腰直

20、角三角形，2411312cos d2sbc 所以abc4，41又因为sbcd2bddcsin d 3sin d，又因为a ,b 所以四边形的面积为1312 2sin(d)1312cos d1312cos d12cos d4，s 3sin d 4443当d 4时，四边形abdc的面积有最大值，最大值为133 2.413故答案为：43 2.【点睛】本题主要考查了正弦定理、 余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息， 合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.三、解答题三、解答题1515已知已知cos 3

21、(,). .，25（1 1）求）求cos(4)的值；的值；（2 2）求）求tan()的值的值. .24【答案】【答案】 （1）2101； （2）3.3(,)，求得sin，25【解析】【解析】 （1）由cos 4，结合两5角差的余弦公式，即可求解；第 12 页 共 22 页（2）由三角函数的基本关系式和诱导公式，求得3tan() ，再集合两角差的正切公式，即可求解.24【详解】(,)，cos ，（1） 由题意知，所以sin2531cos24，5则cos(4) coscos4sinsin4 53tan() cot243232225210.sin4 ，则cos3（2）由三角函数的基本关系式，可得ta

22、n)243tan() tan2()又由，224421tan ()241tan() tan(解得243或24) 3，1又因为(2,)，可得24(0,4)，所以tan(24) 3.2tan(【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式， 三角函数的诱导公式，以及三角恒等变换的化简、求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的基本公式，准确运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.1616设函数设函数f (x) 2cos2x 43sin 2x. .（1 1）求函数）求函数f (x)的单调递减区间；的单调递减区间；（2 2）若）若x,0，求函数，求函数f (x)的值域的值域. .k,k【答案】【

23、答案】 （1）62 3 1,2.,k z； 2（ ）3【解析】【解析】分析： （1）由二倍角公式将表达式化一得到，3fx 2sin2x1，令2k 2x 2k,k z，得到单6262第 13 页 共 22 页 x ,02x,，根据第一问的调区间； （2）时，63 64表达式得到值域.详解：（1）由fx 2cos2x3sin2x 3sin2xcos2x1 2sin2x16令2k2 2x6 2k3,k z2得：k6 x k所以，函数2,k z3fx的单调减区间为k6,k2,k z3 x ,02x,（2）当时，463 63 1sin2x,6222sin2x1 3 1,2,63 1,2.所以， 函数fx

24、的值域是：点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式asinbcosa2b2sin,sinba2b2,cosaa2b2将函数化为asinx的形式，利用三角函数的图像特点得到函数的值域.1717在在且且cos a abc中，角中，角a、b、c所对的边分别为所对的边分别为a、b、c，1. .3bccos2a的值；的值；23，求，求bc的最大值；的最大值；17，b 3，d为为bc的中点，求线段的中点，求线段ad的长度的长度. .（1 1）求）求sin2（2 2）若）若a （3 3）若）若a 第 14 页 共 22 页【答案】【答案】 （1）9； （2）4； （3）19332.【解析】【解析】 （1）由三

25、角恒等变换的公式，化简sin2bc1cos acos2a 2cos2a1，代入即可求解.229（2） 在abc中， 由余弦定理， 结合基本不等式， 求得bc 4，即可得到答案.（3）设adm，在abc中，由余弦定理，求得c 4，分别在acd和abd中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，在abc中，bc a，则cos(b c) cos( a) cos a又由sin2bc1cos(bc)1cos acos2a 2cos2a12cos2a12221111111 2cos2acos a 2( )2 .2232329（2）在abc中，由余弦定理可得a2 b2c22bccos a，即

26、3 b2c23bc 2bc3bc 3bc，可得bc 4，当且仅当b c等号成立，所以bc的最大值为9.42249（3）设adm，如图所示，在abc中，由余弦定理可得a2 b2c22bccos a，即17 9c223c1c22c8 0，解得c 4，即3在acd中，由余弦定理,可得ac2 m2cd22mcdcosadc，在abd中，由余弦定理,可得ab2 m2 bd22mbdcosadb，第 15 页 共 22 页因为adcadb，所以cosadc cosadb，由+，可得ac2 ab2 2m2cd2 bd2，即3242 2m2(332172172) ()，2233.2解得m ，即ad 【点睛】本

27、题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式， 余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题1818已知函数已知函数f (x) cosxcos(x6)（1 1）将）将3sin2x3 34，xr r. .）2f (x)化为化为asin(x) b的形式（的形式（a0，0，|并求并求f (x)的最小正周期的最小正周期t；（2 2）设）设g(x) af (x)b，若，若g(x)在在实数实数a、b的值；的值；（3 3）若）若f (x)1(1)nm 0对任意的对任意的

28、x4,4和和nn n*恒成立，恒成立，求实数求实数m取值范围取值范围. .1f (x) sin(2x)，t 【答案】【答案】 （1）231 1(a 4，b 1； 3（ ）2,2). ,上的值域为上的值域为0,3，求，求44 ； （2）a 4，b 2，或第 16 页 共 22 页(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期【解析】的公式，即可求解；(2)由正弦函数的图象与性质，讨论a的范围，得到a,b的方程组，即可求得a,b的值；（3）对n讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，即可求得m的范围.【详解】(1)由题意，函数f (x) cosxcos(x6) cos x(3sin2x3 3431

29、33 3cos xsin x)(1cos2x)2224131sin2x)cos2x sin(2x)4423所以函数fx的最小正周期为t 12.2（2）由（1）知fx2sin(2x3)，5 111,，所以sin(2x) ，662234111 1t f x fx t, ， 即2 4，令，则2 41 1g x af x bg x atbt, ， 函数，即，2 41 1当a 0时，gx在t2,4为单调递增函数，当x4,4时，则2x3 1ab 0211可得g(2) 0且g(4) 3，即1，解得a 4,b 2；ab 34当a 0时，gx在t2,4为单调递减函数，1ab 3211可得g(2) 3且g(4)

30、0，即1，解得a 4,b 1；ab 041 1第 17 页 共 22 页综上可得a 4，b 2或a 4，b 1；（3）由（2）可知，当x 11,时， fx，4 424当n为奇数时，f (x)1(1)nm 0，即为f (x)1m 0，即m f (x)1恒成立，又由 f (x)1min111m 1，即；222当n为偶数时，f (x)1(1)nm 0，即为f (x)1m 0，即m f (x)1恒成立，又由 f (x)1max111m 1 ，即；222111 1m( m ， 即实数取值范围2,2).22综上可得， 实数m满足【点睛】本题主要考查了三角恒等变换， 以及三角函数的图象与性质的应用，其中解中

31、熟练化简函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质， 以及利用分类讨论和分离参数求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，分离参数，以及推理与运算能力，属于中档试题.1919已知已知tan tan tan174cotcotcot ，6517cotcotcotcotcotcot ，求，求tan(). .5【答案】【答案】11【解析】【解析】根据题设条件，结合三角数的基本关系式，分别求得tantantantantantan25tantantan ，再利，和36用两角和的正切的公式，进行化简、运算，即可求解.【详解】第 18 页 共 22 页tan tan tantan() tan1tantan由t

32、an() tan()1tan()tantan tan1tan1tantantan tan tantantantantan tan tantantantan1tantan1tantantantantantan1tantantantantantan1tantan，由cotcotcotcotcotcot 17，5111tan tan tan17 可得tantantantantantantantantan5又由tan tan tan由cotcotcot 175tantantan ，所以，664，5111tantan tantan tantan4 得tantantantantantan5，可得tantantantantantan2，3175( )tantantantantantan所以1tantantantantantan62611，13即tan() 11.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简、求值问题，其中解答中熟记两角和与差的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.2020 已知对任意已知对任意xr，（其中（其中b 0） ，acosxbco