0108函数的连续性与间断点65866

1、1. 增量增量,),()(0内有定义内有定义在在设函数设函数 xuxf,表示一个变量表示一个变量记记 x xy0 xy00 xxx 0)(xfy x xx 00 xx y y )(xfy 一、函数的连续性一、函数的连续性第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点),( 可正可负可正可负称为自变量的增量称为自变量的增量则则x ).(0可正可负可正可负处函数的增量处函数的增量称为称为xy ),()(00 xfxxfy 2. 连续的定义连续的定义,0 xxx 设设),()( 0 xfxfy 则则,00 xxx ).()(00 xfxfy )()(00 xfxxfy 记记定义定义1定义定义

2、2),()(lim00 xfxfxx 若若. )( 0处连续处连续在在则称则称xxf, 0lim 0 yx若若,)(0处连续处连续在在则称则称xxf.)(0的一个连续点的一个连续点称为称为xfx例例1 1解解 )(lim0 xfx, 0)0( f又又由函数连续的定义知由函数连续的定义知:.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx .0 )(处的连续性处的连续性在在讨论讨论 xxf,1sinsin43xxx, 0 x, 0, 0 x4301sinsinlimxxxx , 0 3. 单侧连续单侧连续定理定理处连续处连续在在函数函数0)(xxf.)( ),()(lim 00

3、0处左连续处左连续在在则称则称若若xxfxfxfxx .)( ),()(lim 000处右连续处右连续在在则称则称若若xxfxfxfxx axfxx)(lim0 )()(lim00 xfxfxxaxfxfxxxx )(lim)(lim00)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx .)(0处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在函数函数xxf例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(单侧连续性及连续性单侧连续性及连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 所以所以f

4、(x)在在x0处右连续但不左连续处右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf, 2)0( f- 2- 22 24. 其它称法其它称法,),()(内处处连续内处处连续在在baxf :,)( 上连续是指上连续是指在闭区间在闭区间baxf 连续区间连续区间.),()(内连续内连续在在简称为简称为baxf;),( )( )1(内连续内连续在在baxf;)()2(处右连续处右连续在在axxf .)()3(处左连续处左连续在在bxxf 例例3 3.),(cos,sin内连续内连续在区间在区间函数函数证明证明 xyxy证证),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(

5、2sin2xxx , 1)2cos( xx2sin2xy ,xyx 有有足够小时足够小时, 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy.),(cos内连续内连续在在同理可证同理可证x|,| |sin,2xxx 有有当当又又 ,2|sin2x ,)(0的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义在点在点设函数设函数xxf;)()1(0无定义无定义xf;)(lim)2(0不存在不存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 二、函数的间断点二、函数的间断点,)()(lim00不成立不成立若等式若等式xfxfxx 定义定义间断点的三种情形：间断点的三种

6、情形：).()(0间断点间断点的一个不连续点的一个不连续点为为则称则称xfx1. 跳跃间断点跳跃间断点,)(0但不相等但不相等右极限都存在右极限都存在处左、处左、在点在点若若xxf例例4 4.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)0( f, 1)0( f),0()0( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy.)(0的跳跃间断点的跳跃间断点为为则称点则称点xfx2. 可去间断点可去间断点例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 ,)(0

7、也相等也相等处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在在点在点若若xxf,)(),()(lim000处无定义处无定义在点在点或或但但xxfxfaxfxx .)(0的可去间断点的可去间断点为函数为函数则称点则称点xfx解解, 1)1( f, 2)1( f, 2)1( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x例例5 5.11,1110, 1,2)( 处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxf, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112oxy112xy 1xy2 间断点的分类间断点的分类: :

8、定义定义.,称称为为第第一一类类间间断断点点点点左左右右极极限限都都存存在在的的间间断断例例6 6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy)(lim)0(0 xffx )(lim)0(0 xffx .1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x,断点断点不是第一类间断点的间不是第一类间断点的间.称为第二类间断点称为第二类间断点无穷间断点无穷间断点xx 0lim, 0 xx1lim0 , 例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin .1sinlim0不存在不存在xx.0为第二类间断点为第二类间断

9、点 x振荡间断点振荡间断点 cqxqxxdy, 0, 1)(几个特殊函数的连续性几个特殊函数的连续性: :在定义域在定义域r内每一点处都间断内每一点处都间断, ,)( . 2cqxxqxxxf仅在仅在x=0处连续处连续.且都是第二类间断点且都是第二类间断点.1. 狄利克雷函数狄利克雷函数 , 1, 1)( . 3qxqxxf在定义域在定义域 r内每一点处都间断内每一点处都间断, 但其绝对值函数处处连续但其绝对值函数处处连续.判断下列图形中的间断点的类型判断下列图形中的间断点的类型:o1x2x3xyx xfy 4x例例8 8.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当

10、当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx ,a ,)0(af ),0()0()0(fff 要使要使,1时时当且仅当当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a只有只有例例9 9. 0)(,)(),(, 0)(,)( :00000 xfxuxxuxxfxxf有有时时当当的某个邻域的某个邻域则存在则存在而且而且处连续处连续在点在点若若证明证明证明证明,)(0处处连连续续在在xxf),()(lim00 xfxfxx , 0)(0 xf又又, 0| )(|210 xf 对对于于, 0 ,|0时时使使得得当当 xx|

11、,)(|21| )()(|00 xfxfxf 恒恒有有| )()()(| )(|00 xfxfxfxf | )()(| )(|00 xfxfxf | )(|210 xf , 0 ,|)(00 xxxxu令令. 0)(,)(0 xfxux时时则则当当思考题思考题?)(| )(|,)(020处必连续吗处必连续吗在在、则则处连续处连续在在若若xxfxfxxf?)(,)(| )(|002处必连续吗处必连续吗在在则则处连续处连续在在、若若xxfxxfxf解答：解答：)(xf在在0 x连续，连续， )()(lim00 xfxfxx ; )()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim000

12、2xfxfxfxxxxxx);(02xf .)(|,)(|02处都连续处都连续在在xxfxf, 0, 0 :,|0恒有恒有时时使得当使得当 xx,| )()(|0 xfxf|,)()(| |)(| )(|00 xfxfxfxf 总有总有又又反之未必成立反之未必成立.例例 0, 10, 1)(xxxf, 1)(, 1| )(|2 xfxf,0)(|,)(|02处连续处连续在在 xxfxf.0)(0处不连续处不连续在在但但 xxf1. 函数在一点处、区间内函数在一点处、区间内(上上)连续的概念；连续的概念；3. 间断点的定义，分类和判别间断点的定义，分类和判别:第一类间断点第一类间断点: 可去型可去型, 跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点: 无穷型无穷型, 振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)三、