2022年经济中的数学函数及模型

1、精品资料欢迎下载一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数 是指在肯定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和；常用c 表示， 可以看作是产量 x 的函数，记作ccx总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本f 指在肯定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和治理费用等；可变成本v 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等；固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的；在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量 x 的函数，所以c xfv x ，在长期生产中，支出都是可变成本，此时 f0 ；实际应用中，产量 x 为正数，所以总

2、成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（ 1）线性函数cabx , 其中 b0 为常数 .（ 2）二次函数cabxcx2 ,其中 c0, b0 为常数 .（ 3）指数函数cbeax , 其中a, b0 为常数 .平均成本 ：每个单位产品的成本，即cxc.x总收益函数 是指生产者出售肯定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用r 表示，即rrx其中 x 为销售量 . 明显，r q 0r00 ，即未出售商品时，总收益为.如已知 需求函数qq p ，就总收益的为rrqp qq1 p q平均收益 ： rrxx，如单位产品的销售价格为p ，就 rp x ，且 rp .总利润函数 是指生

3、产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用l 表示，即l xrxc x例某工厂生产某产品， 每日最多生产 100 个单位； 日固定成本为130 元，生产每一个单位产品的可变成本为6 元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解设每日的总成本函数为c 及平均单位成本函数为c ，由于总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有cc x1306 x0x100cc x130x60x100例设某商店以每件 a 元的价格出售商品，如顾客一次购买50 件以上，就超出部分每件优惠 10%，试将一次成交的销售收入r表示为销售量x 的函数；解由题意，一次售出50 件以内的收入为 rax 元，而售出 50 件以上

4、是，收入为r50ax50a 10%所以一次成交的销售收入r是销售量 x 的分段函数ax0rx5050a0.9ax50 x502、 需求函数与供应函数需求量 指的是在肯定时间内，消费者对某商品情愿而且有支付才能购买的商品数量；经济活动的主要目的是在于满意人们的需求，经济理论的主要任务之一就是分析消费及由此产生的需求； 但需求量不等于实际购买量，消费者对商品的需求受多种因素影响，例如， 季节、收入、人口分布、价格、等等；其中影响的主要因素是商品的价格，所以，我们常常将需求量q d 看作价格 p 的函数，记为q dq d p通常假设需求函数是单调削减的，需求函数的反函数pq 1 pq0在经济学中也称

5、为需求函数，有时称为价格函数.一般说来，降价使需求量增加，价格上涨需求量反而会削减，即需求函数是价格p 的单调削减函数；常用以下简洁的初等函数来表示：（ 1）线性函数qda pb，其中a, b0 为常数 .（ 2）指数函数（ 3）幂函数qdaeq dbpbp，其中a，其中a,ba, b0 为常数 .0 为常数 .例设某商品的需求函数线性函数qapb ，其中a, b0 为常数，求 p0 时的需求量和 q0 时的价格；解当 p0 时， qb ，表示价格为零时，消费者对某商品的需求量为b ，这也是市场对该商品的饱和需求量；当q0 时， pb为最大销售价格，表示价格上涨到ab 时，a无人情愿购买该产品

6、；供应量 是指在肯定时期内生产者情愿生产并可向市场供应出售的商品量，供应价格是指生产者为供应肯定量商品情愿接受的价格，将供应量q s 也看作价格p 的函数，记为q sq s p一般说来， 价格上涨刺激生产者向市场供应更多的商品，使供应量增加， 价格下跌使供给量削减，即供应函数是价格（p ）的单调增加函数；常用以下简洁的初等函数来表示：（ 1）线性函数qsa pb，其中 a0 为常数；（ 2）指数函数q aebp ，其中a, b0 为常数；供应量也受多种因素影响，（ 3）幂函数saq sbp ，其中a,b0 为常数；当市场上需求量qd与供应量qs 一样时，即 q dq s ，商品的数量称为均衡数

7、量，记为 qe ，商品的价格称为均衡价格，记为pe ；例如，由线性需求和供应函数构成的市场均衡模型可以写成qdabp a0, b0qscdp c0, d0qdqs解方程，可得均衡价格pe 和均衡数量qe ：epacbdqadbc bde由于 qe 0， bd0 , 因此有 adbc .当市场价格高于p0 时，需求量削减而供应量增加，反之，当市场价格低于p0 时，需求量增加而供应量削减；市场价格的调剂就是利用供需均衡来实现的；经济学中常见的仍有生产函数（生产中的投入与产出关系）、消费函数（国民消费总额与国民生产总值即国民收入之间的关系）、投资函数（投资与银行利率之间的关系）等等；例已知某商品的需

8、求函数和供应函数分别为q d141.5 p ,qs54 p求该商品的均衡价格； 解由均衡条件 q dq s 可知141.5 p195.5 p54 p所以均衡价格价格为p03.45例已知某产品的价格为p 元，需求函数为q505 p ，成本函数为 c502q 元，求产量 q 为多少时利润l 最大？最大利润是多少？解由于需求函数为q505 p ， p10q2q，所以收益函数为5利润函数r p q10q5lrc28qq5051 q520230因此， q20 时利润最大，且最大利润是30 元；二、 边际由导数定义知，函数的导数是函数的变化率；在经济分析中，经济函数的变化率（因变量对自变量的导数） ，通常

9、称 为“边际” .在经济问题中， 常常用到年产量的变化率、 成本的平均变化率等概念； 设函数 yf x000在点 x 处可导，就在 x , xx 区域内的平均变化率为yx，瞬时变化率为f xlimf x0xf x0 0x0x定义：设函数yf x在点 x 处可导，就称f x 为f x 的边际函数，f x 在 x0 处的导数值f x0 为边际函数值；由微分的概念可知，当自变量x 的转变量很小时有ydy ，但在经济应用中，最小的改变量可以是一个单位，即x1，所以有ydyf x0 xf x0这说明f x 在点xx0 处当 x 产生一个单位的转变时，函数yf x近似转变了f x0 个单位；（ 1）边际成

10、本设总成本函数为c q ，就称其导数c qlimx0cqq qcq 为产量为 q 时的边际成本，记做 mc ；即边际成本函数为 mcdclimdqq0cq0qc q0 .q由于 ccq0 q ，当q1 时，cc q0 ，因此产量为q0 时的边际成本的经济意义为：c q 近似等于当产品的产量生产了q 个单位时，再生产一个单位产品时所需增加的成本数；明显，边际成本与固定成本无关；平均成本的导数cqcqqc q2cq为边际平均成本；qq（ 2）边际收入设总收益函数为rq ，就称其导数r qlimq0rqq qrq 为销售量为 q 时的边际成本，记作mr ，即 mrdrdqlimq0rq0qrq0 .

11、q其经济含义是：假定已销量为q0 个单位，再销售一个单位产品，所增加的收益为r q0 .（ 3）边际利润设总利润函数llq ，l 对 q 的导数l qlimq0lqq qlq称为边际利润，记作 ml ，即边际利润函数为mldldqlimq0lq0qlq0 .q销量为q0 时的边际利润的经济意义为：假定已销量为q0 个单位， 再销售一个单位产品，所增加的利润为l q0 ；一般情形下，总利润lq 等于总收益函数rq 与总成本函数cq 之差，即lq = rq cq ，边际利润为l qr qc q ，即边际利润等于边际收益与边际成本之差；例 1 设某单位每月生产的产品固定成本为c010000 元，生产

12、 q 个单位产品的变动成本为 v q0.01q 210q 元，如每单位产品的售价为40 元，求边际成本；边际收益及边际利润；并求边际利润为零时的产量.解由题设知：总成本函数cqv qc00.01q 210q10000总收益函数rqp q40q总利润函数lqrqcq40q0.01q 210q10000边际成本mc0.01q230q10000 c q0.02q10边际收益mrr q40边际利润mll q0.02q30令 l q 0 ，得0.02q300, q1500. 即每月产量为 1500 个单位时，边际利润为零；这说明，当月产量为1500 个单位时，再多生产一个单位产品不会增加利润.例设某厂每

13、月生产产品的固定成本为1000 元生产 x 个单位产品的可变成本为0.01x210x （元），如每个产品的售价为30 元， 求边际成本、边际利润及边际利润为零时的产量；解由于总成本函数为c x0.01 x210x1000所以，边际函数为c x0.02 x10又收益rx30x ，所以利润函数l xrxc x30 x0.01x210x1000所以l x0.02x20在经济函数中，总体、边际和平均三者的关系是很重要的争论对象；例设总成本函数为c xx34 x220x ，求它的边际总成本函数、平均成本和边际平均成本函数；解由于mcc x3x28 x20而边际平均成本函数acc xxx24x20一般由m

14、c ,c x2 x4xac 可分析经济活动；如mc23x8 x20 和2acx4 x20 都是开口向上的二次抛物线，且相交于点2,16 ，当 x2时， mc16,ac16 ，而边际平均成本函数此时为零； （如图）在交点的左边mc曲线位于 ac 曲线的下方，在交点的右边mc 曲线位于 ac 曲线的上方，利用这种“边际平均”关系，有助于企业支配生产，如交点的左边的情形说明生产力仍没有充分发挥，有潜力可挖；三、弹性1、函数的弹性定义设函数yf x在点 x xy0 可导，且f x0 ，就极限limyx limyxf xx0xy x0xxf xeyef x称为函数即f x在点 x 处的弹性，记作：或ex

15、ex或yx .eyx fxxdf xexfxf xdx函数 f x 在由于x0 处的弹性，记做ey或ex x x0yx x x0d ln f x1f xf xdxxf xd ln x1 dx xf x因此，函数f x 的弹性也可以表示为函数lnf x的微分与函数ln x 的微分之比 :e f xd lnf xexd ln x由于函数的弹性ey ex是自变量 x 与因变量 y 的相对变化而定的，它表示函数f x转变幅度的大小， 即表示（实质上是近似地表示）当自变量 x 由起始转变 1% 时函数 f x 相应转变的百分数.1例 2 求函数f xax的弹性 .解由于f xax，所以1e ax x a

16、xexaxea特殊地，函数f xax 的弹性为e ax1 ，函数exf xa xx的弹性为1 .ex2、 需求价格弹性弹性概念是经济学中的另一个重要概念，它所描述的是一个经济变量对另一个经济变量的反应程度；设某商品的需求函数为qq p ，其中 p 为价格， q 为需求量；由弹性的定义可知，极限limppq 称为需求量对价格的弹性，简称需求价格弹性.记作 qp ，即0 qpqplimp0qpp q ppqqqp 表示需求量对价格的相对变化率，即q 对 p 变动的反应程度，由于需求函数为价 格的减函数，价格上升时需求量下降，价格下降需求量反而上升，所以qp 一般为负值，其经济意义为： （ 1）当某

17、商品的价格上涨1% 时，需求量削减qp %；（2）当某商品的价格下降 1%时，需求量增加qp %因此，需求价格弹性反映了当前价格变动对需求量变动的反应程度 .当 qp1时，需求弹性大，价格的变动对需求量的影响较大，即价格的升降所引起的需求量变动的幅度大于价格变动的幅度；当 qp1时，需求弹性小，价格的变动对需求量的影响较小，即价格的升降所引起的需求量变动的幅度小于价格变动的幅度；当 qp1时，称为单位弹性，此时价格变动的幅度与需求量变动的幅度相同；此外仍有两种特殊情形：qp0 为完全无弹性，即价格无论如何变化，需求量都不变；qp为完全有弹性，此时价格只要有任何微小的变化，对需求都有很大的影响；

18、在经济分析中，利用商品的需求价格弹性，可以给出访总收益增加的经营策略.设 qq p 是某商品的需求函数，就总收益函数：rr pp qp qp于是， r 对 p 的导数是 r 关于价格 p 的边际收益，drddpdp p q p q ppq pq p 1p q pq p即边际收益drq p1dp上式给出了关于价格的边际收益与需求价格弹性之间的关系：（ 1） 如1时，称该商品为低弹性需求.这时需求量削减的幅度小于价格上涨的幅度，因此， 边际收益 r p0 . 此时， 提价使总收益增加， 降价总收益削减 .（ 2）如1时，称该商品为高弹性需求.这时需求量削减的幅度大于价格上涨的幅度，因此，边际收益r

19、 p0 . 此时，提价使总收益削减，降价总收益增加.（ 3）如1时，称该商品为单位弹性需求.这时需求量削减的幅度等于价格上涨的幅度，因此，边际收益r p0 , 总收益保持不变 .此时，总收益取得最大值.例已知某产品的需求函数为q4e2 p，求需求弹性qp ，并争论价格在 10 元时弹性的大小；解由于qqppq8e 2 p4e 2 pp2 p当价格 p10 元时，qp2 p p 0201，需求弹性大，此时价格增加1%，需求量将下降 20%例某企业依据市场调查，已知某商品的需求函数为q1805 p ，试争论其弹性的变化情形；解由于pq5qppq1805 pp36p由 qp1可得 p18 ，当 0p

20、18 时有qp1 ，表示价格在这一范畴内需求弹性小，需求量增加的幅度小于价格削减的幅度，此时采纳降价措施会使企业收益削减；当 p18 时有 qp1 ，表示价格在这一范畴内需求弹性大，需求量削减的幅度小于价格增加的幅度，此时采纳提价措施也会使企业收益削减； 在市场经济中，商品经营者所关怀的是提价（p0 ）或降价（p0 ）对总收益的影响，事实上，由于pdqqpqdp即pdqqp qdp当价格 p的微小变化（p 很小）而引起的销售收益rqp 的转变量为rqpdqpqdppdq1qp qdp由于 qp0 ，所以 qpqp 从而有r1qp qdp1qp q p由此可分析：当qp1（弹性大）时，降价（p0

21、 ）可使总收益增加（r0 ）；当 qp1 （弹性小）时，降价（p0 ）可使总收益削减（r0 ）；例 3 设某商品的需求函数为q 1005 p ，求 p5,10,15 时的需求价格弹性，说明经济意义 , 并说明这时提高价格对总收益的影响.解 需求价格弹性p q p qp 51005 pp20p当 p5 时,0.331 ，为低弹性商品 .当 p5,q75 时，说明在价格p5时如价格上涨 或下降 1% ，需求量 q 将由 75 个单位起削减 或增加 0.33% ；此时， 提价总收益增加，降价总收益削减.当 p10 时,1.当 p10,q50 , 说明在价格p10时需求量削减的幅度等于价格上涨的幅度，

22、总收益保持不变；此时总收益取最大值.当 p15 时,31 .为高弹性商品；当p15,q25 时, 说明在价格p15 时如价格上涨 或下降 1% , 需求量 q 将从 25 个单位起增加 或削减 3% .此时，提价总收益削减，降价总收益增加 .3、收益价格弹性erqdrqeqrdqr设商品的总收益函数为r rq，由弹性的定义可知，就收益的销售弹性与收益价格弹性分别为：rqr q与erpdrpeprdprrpr p收益的销售弹性rq 的经济意义为：销售量在q 处时，如销售量增加1% ，就当rq0 或 rq0 时, 总收益增加（或削减）rq % .收益的价格弹性rp 的经济意义为：价格在p 处时，如

23、价格上涨1% ，就当rp0 或 rp0 时, 总收益增加（或削减）rp % .如商品的需求函数、总收益函数分别为：qq p ,rpq ，就erqdr1drqd pqeqrdqpdqpqdqrq1pqdp1qdppdqpdq1111p dqqdperpdr1drrpepr dpqdppd pq1qp dqpqdpqdp从而有1pdq1 qdpdrq1 ,drp 11dpdq以上四个式子描述了收益的销售弹性ereq，收益的价格弹性er ，关于价格 p 的边际收epdr益 dp ，关于销量 q 的边际收益dr与需求价格弹性之间的关系 .在经济应用中常常利用dq这些结论进行经济分析.例 4设某产品的需

24、求函数为q1005 p ，求 p4 时的收益价格弹性，并说明其经济意义 .解由于rpq2100 p5 prppr p r11005 p10010 p所以rp p 40.7510040601002080这说明价格在 p4 时, 如价格上涨 1%, 总收益增加 0.75% .习题1、已知市场均衡模型 , 求均衡价格pe 和均衡数量qe , 并画出图形 :（ 1）qdqsqd172pqs83p（ 2）qdqsqd156 psq52p 22、生产某产品 , 年产量不超过 500 台时 , 每台售价200 元, 可以全部售出 ; 当年产量超过500 台时, 经广告宣扬后又可再售出200 台, 每台平均广

25、告费20 元; 生产再多 , 本年就售不出去 , 试将本年的销售收益为r 年产量 q 的函数 .3. 生产某新产品 , 固定成本为mm0 万元 , 每生产一吨产品, 总成本增加nn0 万元，试写出总成本的函数, 并求边际成本的函数 .4. 设某产品的价格函数为pq20q , 其中 p 为价格， q 为销售量，求：5（ 1）销售量为 15 个单位时的总收益，平均收益与边际收益.（ 2）销售量从 15 个单位增加到20 个单位时收益的平均变化率.5、求以下函数的弹性（ 1）yaxb;（2）ya ln ax6、设函数f x, g x 的弹性存在 , 证明：e fx （ 1）e f xg xef xe

26、g x；（ 2）gxef xeg x .exexex7 、已知某产品的需求函数为exexexq400100p ,p0,4（ 1）求需求价格弹性；（ 2）分别求当 p1,2,3 时需用求价格弹性，作出经济说明， 并说明这时价格变动对总收益的影响 .8、 某产品需求函数为qaekp k0, a0, p0,求需求价格弹性，并作出经济说明.9、设供应函数为qp 26 p18, 求供应价格弹性es ，及 p3 时的供应价格弹性.10、设需求函数 q1004 p ，求（1） p5 时的需求价格弹性, 并说明其经济意义.（2） p5 时的收益价格弹性, 并说明其经济意义.（3） p5 时的收益销售弹性, 并

27、说明其经济意义.四、经济最值问题1.平均成本最低问题在生产实际中，常遇到这样的问题，在给定的生产规模条件下，如何确定产出量才能使平均成本最低 .设厂商生产某产品的总成本函数为cc q ，q 为产出量； 由平均成本 c qc qq有c qqc q ， cqc qqcq由极值存在的必要条件（费马定理）知，使平均成本为最小的产出量q0 应满意cqqc qcq1c qcq0q2q q0qqq q01 c q cq0q000从而有cq0c q0，这就是经济学中的一个重要结论：使平均成本最低的产出量，正是使边际成本等于平均成本时的产出量.例 1设生产某产品的总成本函数为c q4q210q16 ，求平均成本

28、最低时的产出水平 .解 由于c q16c q4q10qq令 cq0 ，得cqq02 ， c416q 22032q3q 2所以 q02 为微小值点，即当产出水平为2 时，平均成本最低，此时c28q10 q 226c 2 .2、最大利润问题（税前或免税情形）设总收益函数为rq ，总成本函数为cq ，就利润函数l qrqcq .假如已知需求函数pf q ，就rqpqfqq先求 l q 的驻点q0 ，即l q0 0r q0 c q0 ，即r q0c q0，假如l q0 0 ，就 q0 就是最大值点 .于是有：最大利润原就：在获得最大利润时的产出量q0 处，边际收益等于边际成本.例 2某产品的需求函数为

29、p404q ，总成本函数为 c q2q24q10 ，求厂方取得最大利润时产品的产出量和单价.解 总收益函数为rqqpq404q40q4q2利润函数lqrqcq40q4q 22q 24q1036q6q 210l q3612q0 ,得唯独驻点q03 ，又 l3120 ， q03 是最大值点，此时p040q0401228 .因此，当产品的产出量为3，单价为 28 时，厂方取得最大利润.3、最大利润（税后情形）和最大征税收益问题设政府以税率 t（单位产品的征收税额）对厂方的产品征税， 厂商在纳税的情形下仍以最大利润为目标，而政府也要确定税率t 以使征税收益最大.此时利润函数lt qrqcqtrqc q

30、tq ，其中税款 ttq .下面记以税率 t 纳税后厂方获得最大利润时产品产出量为qt ，单价为pt ，征税收益ttqt .例 3某产品的需求函数和总成本函数分别为：p404q ， c q2q24q10政府对产品以税率 t 征税，求：（1） 厂方以税率 t 纳税后，获得最大利润时产品的产出量qt 和单价pt ，以及征税收益 t .（2） t12和 t30 时，分别求厂方获得最大利润时产品的产出量和单价，以及征税收益.（3） 税率 t 为多少时，征税收益最大？此时产品的产出量和单价为多少？ 解（1）纳税后的利润函数lt qrqc qtq36q6q 210tqlt q3612qt0得唯独驻点 qt

31、36t，又12ltqt0 ，所以 qt36t12是最大值点，此时p40q28ttt3因此，以税率 t 纳税时，当产量 qt36t 12，单价 pt28t 3时，厂方获得最大利润，此时征税收益ttqt236tt.12（2）把 t12 代入上述各值，得q1236122 ，12p122812323ttqt12224再把 t30 代入，得q3036301， p301222830383ttqt300.515 .注t0 时，代入即可得到与例2 一样的结果 .3 由征税收益ttqt236tt12， t '362t012得唯独驻点t018 .又 t ''180 ，所以t018 为最大值

32、点 .因此，当税率0qttt018 时，征税收益最大，此时36181.51200pt404qt4041.534征税收益0tt0qt181.527因此，当税率 t18时，征税收益最大为27，此时产品产出量为1.5，单价为 34.注 当免税时，产品单价为28，当厂方以税率 18 纳税时，产品单价为34，在税款为27 中，顾客承担的部分为3428qt61.59 ，而厂方承担 27918 .04、最优批量问题设在一个方案期内（如一季度，一年），某超市销售某商品的总量为a ，分几批订购进货（每批订购数量称为批量）.批量多，即订购的批次少，订购的费用就少，但库存保管费用就增多 .我们的问题是，如何确定最优

33、批量，使订购费和库存保管费之和最少.已知总量 a ，设批量为 x ，就订购批次为a ，订购费用 =每批订购费a .xx在库存保管方面， 总假设商品是由仓库匀称提取投放市场.在每一批订购进库的周期内，开头一天库存量最大（为批量x ），最终一天用完为零（紧接其次批订购进库）；在这种假设下，平均库存量为批量的一半，库存保管费=每件库存费x .2例 4设某商场方案一年内销售某商品10 万件，每次订购费用100 元，库存保管费为每件 0.05 元，求最优批量使订购费用与库存保管费用之和最小.解 设批量（每批订购数量）为x ，就分105x批订购，总费用105f x102xx0.052f x7100.050

34、x22解得唯独驻点x2105 ，由于 f2105 0 ， x2105 为最小值点 .故最优批量为2 万件（即最优批次105210 45 批），可使总费用最小.习题121、生产某产品的总成本cq1006qq （万元 / 单位），求平均成本最小时的产出4量，以及最低平均成本和此时的边际成本.2、设厂方生产某产品的总成本函数为c q3q1（万元），需求函数为 p70.2q（万元/吨），政府以税率 t （万元 /吨）对该产品征税，厂方以最大利润为目标（1） 以税率 t 纳税后，求厂方获得最大利润时产品的产出量和单价，以及征税收益.（2） t0时（免税） ，求厂方获得最大利润时产品的产出量和单价，以及征

35、税收益.（3） t 为多少时，征税收益最大？此时产品的产出量和单价为多少？最大征税收益为多少？3、某超市年销售某商品5000 台，每次进货费用40 元，每台单价和库存保管费率分别为200元和 20% ，求最优批量使总费用最小.4、某工厂年方案生产某产品100 万件，每批生产需增加生产预备费1000 元，每件库存费0.05 元，假设库存是匀称的，问应分几批生产能使总费用最小？五、偏导数在经济学中的应用一元函数微分学中边际和弹性分别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率，这些概念可以推广到多元函数微分学中，并给予了更丰富的经济含义，这里简洁介绍多元函数边际问题和偏弹性概念 .1、边际问题一元函数的

36、导数在经济学中称为边际函数，同样地，二元函数zf x, y的偏导数fx x, y与f y x, y, 分别称为函数 f x, y 对 x 与 y 的边际函数，边际函数在该点的值称为边际函数值，边际函数的概念可以推广到多元函数上.（1） 边际产量在西方经济学中，柯布-道格拉斯生产函数为qakla,为正常数 ，l，k 分别表示投入的劳动力数量和资本数量，q 表示产量， q 是 l,k 的二元函数；即 qf k , l当劳动力投入保持不变， 而资本投入发生很小转变所引起的产出量的变化，这正是我们所说的产出量对资本要素的边际，即产量的变化率为：dqa k1lq （ dq表示关于资本的边际产量函数）dk

37、kdk当资本投入保持不变，而劳动力投入发生变化时，产量的变化率为：dqakl1q （ dq 表示关于劳动的边际产量函数）dlldl12例 9 某企业的生产函数为q200 k 2 l 3 ，其中 q 是产量（单位： 件），k 是资本投入 （单位：千元）， l 是劳动力投入（单位：千工时） ；求当 l=8 ，k=9 时的边际产量，并说明其意义.解资本的边际产量231d q100 l1qdkk 22 k1d q4 0 k0 2q2劳动力的边际产量dl313 l l3当 l=8 ，k=9 时，产量q l 8k 91220092832400.所以，当 l=8 ， k=9 时，边际产量为：dqk9dk l

38、 8400 dq3dl9,l 8k200这说明，在劳动力投入8 千工时和资本投入9 千元时，产量是 2400 件，如劳动力投入保持400不变，再增加一个单位资本投入增加的产量为个单位劳动力投入增加的产量为200 件.（2） 边际成本与边际利润件；当资本投入保持不变时，再增加一3某工厂生产甲、乙两种产品，当两种产品的产量分别为q1,q2 （单位： kg）时，总成本（单位：元）总收益、总利润均为甲、乙两种产品产量q1,q2 的二元函数，即总成本函数为cq1, q2 ，总收益函数为rq1, q2，总利润函数为l q1,q2 .这些函数分别对q1 与 q2 的偏导数就是甲、乙两种不同产品的边际成本，边

39、际收益和边际利润 .例 10 某工厂生产甲、乙两种不同的产品，其产量分别为q1, q2 ，总成本为：cq ,q 3q 22q q5q 210121122（1） 求两种不同产品的边际成本；（2） 求当 q18,q28 时，两种产品的生产边际成本；（3） 当出售两种产品的单价分别为80 元和 100 元时，求每种产品的边际利润.解（ 1）甲产品q 的边际成本为 dc6q2q112dq1乙产品q2 的边际成本为dc dq22q110q2dc（ 2）q 86q12q2 q 864dq111 q2 8q 2 8（ 3）利润函数：l q1,q2 rq1, q2 cq1,q2 80q100q3q22q q5q21012112280q100q3q22q q5q210121122对 q1,q2 的边际利润分别为：l806q1q12q2l1002q1q210q22、偏弹性一元函数y f x 在