2022年组合中的典型例题

1、学习必备欢迎下载【本讲教育信息 】一. 教学内容：组合二. 教学重、难点：1. 组合、组合数2.（1）（2）3. 性质：（1）（2）【典型例题】例 1 求证：证明： 左右 原式成立例 2 求证：证明： 右边例 3 计算：（ 1）（2）解：（1）（2）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 4 高二（ 1）班共有 35 名同学，其中男生20 名，女生 15 名，今从中取出3 名同学参加活动。（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一女生不能在内，不同的

2、取法有多少种？（3）恰有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2 名女生在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2 名女生在内，不同的取法有多少种？解：（1）从余下的34 名学生中，选取2 名有（种）答： 不同的取法有561 种。（2）从 34 名可选学生中，选取3 名，有种，或者（种）答： 不同的取法有5984 种。（3）从 20 名男生中选取1 名，从 15 名女生中选取2 名，有（种）答： 不同的取法有2100 种。（4）选取 2 名女生有种，选取 3 名女生有种，共有选取方式（种）答： 不同的取法有2555 种。（5）选取 3 名的总数有，因此选取方式共有（种）答： 不同的取

3、法有6090 种。例 5 10 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4 只，试求各有多少种情况出现如下结果：（1） 4只鞋子没有成双的；（2） 4只鞋子恰成两双；（3） 4只鞋子中有2 只成双，另2 只不成双。解：（1）从 10 双鞋子中选取4 双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2 种取法。根据乘法原理。选取种数为（种）答： 有 3360 种不同取法。（2）从 10 双鞋子中选取2 双有种取法。即有45 种不同取法。答： 有 45 种不同取法。（3）解法一： 先选取一双有种选法，再从9 双鞋中选取2 双有种选法，每双鞋只取一只各有2 种取法。根据乘法原理，不同取法为（种）解

4、法二： 先选取一双鞋子有种选法， 再从 18 只鞋子中选取2 只鞋有种，而其中成双的可能性有9 种，根据乘法原理，不同取法为（种）答： 有 1140 种不同取法。例 6 某出版社的11 名工人中，有5 人只会排版，4 人只会印刷，还有2 人既会排版又会印刷。现从这11 人中选出4 人排版、 4 人印刷，有几种不同的选法？解： 设 排版 ，b= 印刷 ，如图。对中的四人进行分类。（1）4 人全部选出，此时完成这件事还需从其余7 人中选出2 人排版。这相当于从4人中选出4 人印刷，从7 人中选出4 人制版，故有种选法。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

5、- - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（2）4 人中选出3 人，此时还需从中选出一人去印刷，然后再从剩下的6 人中选出 4 人制版，故有种取法。（3）4 人中选出2 人，此时还需从中选出两人去印刷，然后再从中选出4 人制版，故有种取法。根据分类计数原理，共有35+120+30=185 种不同的选法。例 7 有 6 本不同的书。（1）分给甲、乙、丙三人，如果每人得2 本有多少种方法？（2）分给甲、乙、丙三人，如果甲得1 本，乙得2 本，丙得 3 本，有多少种分法？（3）分给甲、乙、丙三人，如果1人得 1 本， 1 人得 2 本， 1 人得 3 本，有多

6、少种分法？（4）分成三堆，其中一堆1 本，一堆2 本，一堆3 本，有多少种分法？（5）平均分成三堆，有多少种分法？（6）分成四堆，其中2 堆各 1 本， 2 堆各 2 本，有多少种分法？（7）分给 4 人，其中2 人各 1 本， 2 人各 2 本，有多少种分法？解：（1）甲先取 2 本有种方法，乙再从余下的4 本书中取2 本有种方法，丙取最后2 本书有种方法。因此总共有种方法。（2）同（ 1）有种分法。（3）三人中没有指明谁是甲、乙、丙，而三人中谁是甲、乙、丙可有种方法，所以共有种分法。（4）同（ 2）有种分法。（5）同（ 2）有种分法，下面对其正确性进行研究：设六本书，则中有可能为可能为可能

7、为， 即有一分堆方法：；同时中也有可能的中可能为可能为，显然这种分组方法同上，故种方法中有重复，应剔除，注意到的所有排列只对应一种分堆方法，故分堆方法应为种方法。本题还可用下面的方法处理：设每堆 2 本的分法为。分给甲、乙、丙每人两本，则可分步进行，先平均分成3 堆，有种方法，再将3 堆不同的书送给3 位同学，有种方法，所以，所以。（6）同（ 5），同种方法。（7）同（ 5）（ 6），有种方法。例 8 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，

8、共 5 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）（ 1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？（4）（ 1）中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？解：（1）分步完成：第一步在4 个偶数中取3 个，可有种情况；第二步在5 个奇数中取4 个，可有种情况；第三步对3 个偶数， 4 个奇数进行排列，可有种情况；所以符合题意的七位数有（个）（2）上述七位数中，3 个偶数排在一起的有（个）（3）上述七位数中，3 个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有（个）（4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4 个奇数排好，再将3 个偶数分别

9、插入5个空当，共有（个）例 9 用 0，1，2，3， 9 这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？解法一： 考虑 0 的特殊要求，如果对0 不加限制，应有种，其中0 居首位的有种，故符合条件的五位数共有个。解法二： 按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8。把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：不含 0 的；含 0 的。 不含 0 的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有个； 含 0 的：这时 0 只能排在除首位以外的四个数位上，有种排法， 再选三个奇数数字与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有种排法。综合和， 由分类计数原理得符合

10、条件的五位数共有11040个。【模拟试题】一. 选择：1. 若，则等于（）a. 3 b. 7 c. 10 d. 3 或 7 2. 已知、，且，则、的关系是（）a. b. c. 或d. 3. 假设在 200 件产品中有3 件是次品，现在从中任意抽取5 件，其中至少有2 件次品的抽法有（）a. b. c. d. 4. 从 6 人中选4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市， 且这 6 人中甲、乙不去巴黎游览， 则不同的选择方案共有（）a. 300 种b. 240 种c. 144 种d. 96 种5. 在由数字1， 2， 3， 4， 5 组成的所有

11、没有重复数字的五位数中，大于 23145 且小于 43521的数共有（）a. 56 个b. 57 个c. 58 个d. 60 个6. 四个不同的球放入编号为1， 2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有（）a. 288 b. 144 c. 96 d. 24 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载二. 解答题：1. 平面上有9 个点，其中有4 个点共线，除此外无3 点共线。（1）经过这9 个点可确定多少条直线？（2）以这 9 个点为顶点，可确定多少个三角形？（3）以这 9 个点为顶点，可以确定多少个四边形？2. 小李有 10 个朋友，其中两人是夫妻，他准备邀请其中4 人到家中吃饭，这对夫妻或者都邀请，或者都不邀请，有几种请客方法？3. 求证：【试题答案】一. 1. d 2. c 3. a 4. b 5. c 6. b 二. 1. 解法一：（直接法）（1）可确定直线（条）（2）可确定三角形（个）（3）可确定四边形（个）解法二：（间接法）（1）可确定直线（条）（2）可确定三角形（个）（3）可