考研高等数学核心考点与题型

1、 高等数学核心考点与题型解析 一、考试大纲内容解析 一、函数、极限、连续一、函数、极限、连续 考试内容考试内容 函数的概念及表示法函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数复合函数、反函数、分段函数和隐函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形基本初等函数的性质及其图形 初等函初等函数数 函数关系的建立函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左函数的左极限与右极限极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其无穷小量和无穷大量的概念及其关系关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较

2、无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的极限的四则运算四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则和夹逼准则 两个重要极限两个重要极限: 函数连续的概念函数连续的概念 函数间断点的类型函数间断点的类型 初等函数的初等函数的连续性连续性 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 考察方式：选择题，填空题，解答题（考察方式：选择题，填空题，解答题（15题）题） 二、一元函数微分学二、一元函数微分学 考试内容考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切函数的可导性与连续性

3、之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达法则函数单调的不变性微分中值定理洛必达法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考察方式：选择题（居多），填

4、空题，解答题（必考察方式：选择题（居多），填空题，解答题（必考）考） 三、一元函数积分学三、一元函数积分学 考试内容考试内容 原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱莱布尼茨布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广

5、义）积分定积分的应用义）积分定积分的应用 考察方式：选择题，填空题（居多）解答题（物考察方式：选择题，填空题（居多）解答题（物理与数学问题的实际应用）理与数学问题的实际应用） 四、多元函数微积分学四、多元函数微积分学 考试内容考试内容 多元函数的概念二元函数的几何意义二元多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分 多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值多元函数的极值和条件极

6、值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算二重积分的概念、基本性质和计算 考察方式：选择题（考察方式：选择题（2012-5），解答题（居多，），解答题（居多，多为多为“多元函数的极值和条件极值、最大值和多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值最小值”，“多元复合函数多元复合函数”） 五、常微分方程五、常微分方程 考试内容考试内容 常微分方程的基本概念变量可分离的微分方常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程解的

7、结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用程的简单应用 考察方式：选择题（居多），填空题（居多），考察方式：选择题（居多），填空题（居多），解答题（应用题）解答题（应用题） 注意：此类题选择题技巧性很强，而填空题以注意：此类题选择题技巧性很强，而填空题以及解答题多以计算为主。及解答题多以计算为主。 二、高等数学得分必知 高等数学必得分考点 1：极限客观题以及解答题（考察动手能力与：极限客观题以及解答题（考察动手能力与分析能力）分析能力） 注

8、意：极限考题的做法一般很重要且常用的：注意：极限考题的做法一般很重要且常用的： （1）定义法）定义法 （2）洛必达法则）洛必达法则 （3）麦克劳林公式）麦克劳林公式 （4）等价替换法）等价替换法 （5）放缩法（夹逼定理）放缩法（夹逼定理） （6）重要极限法（常用的极限）重要极限法（常用的极限） （7）取对数法（复合函数）取对数法（复合函数） （8）综合法）综合法 2：一元微积分客观题以及大题（动手能力）：一元微积分客观题以及大题（动手能力） 3：微分中值定理（考察概念原理以及应用）：微分中值定理（考察概念原理以及应用） 温馨提醒：温馨提醒： 考生一定要熟悉各个中值定理的定义以及推考生一定要熟悉

9、各个中值定理的定义以及推理（特别是拉格朗日中值定理），认真从做理（特别是拉格朗日中值定理），认真从做真题中总结做题的方法。真题中总结做题的方法。 注意：此类题做题步骤：注意：此类题做题步骤： （1）先观察求证的等式，要有慧眼识别题中）先观察求证的等式，要有慧眼识别题中的核心考点的核心考点 （2）然后选取合适的定理）然后选取合适的定理 （3）正确的求出原函数，接着恒等变形，结）正确的求出原函数，接着恒等变形，结合选取定理证明。合选取定理证明。 4:二重积分客观题以及解析题（考察对手能力二重积分客观题以及解析题（考察对手能力与概念）与概念） 温馨提示：温馨提示： 这个考点，概念要清晰，客观题中技巧

10、性很强，这个考点，概念要清晰，客观题中技巧性很强，解析题主要是考察计算能力解析题主要是考察计算能力 注意：此考点有以下几点注意：注意：此考点有以下几点注意： （1）选择与填空题重点理解二重积分对称性以）选择与填空题重点理解二重积分对称性以及奇偶性的应用，做题可以事倍功半。及奇偶性的应用，做题可以事倍功半。 （2）解答题主要是做出正确的区域图形，加以）解答题主要是做出正确的区域图形，加以适当的技巧分析（同上，主要还是函数的对称适当的技巧分析（同上，主要还是函数的对称性和奇偶性），然后细心作答，满分就是这样性和奇偶性），然后细心作答，满分就是这样得到的。得到的。 5：多元微分方程（概念与计算能力）

11、：多元微分方程（概念与计算能力） 温馨提示：温馨提示： 这个考点，考生只需要把历年经典的应用题和解这个考点，考生只需要把历年经典的应用题和解析题熟练掌握，概念清晰，考试基本不会出问题。析题熟练掌握，概念清晰，考试基本不会出问题。 做题思路：做题思路： （1）区分函数之间的关系）区分函数之间的关系 （2）学会利用）学会利用“树枝结构法树枝结构法”分析试题分析试题 （3）对条件极值的理解以及拉格朗日乘法的应用）对条件极值的理解以及拉格朗日乘法的应用 （4）一定要注意闭区间上多元函数的极值和最值）一定要注意闭区间上多元函数的极值和最值得区别得区别 6：微分方程（熟悉几种常用的微分方程形式，：微分方程

12、（熟悉几种常用的微分方程形式，应用题中学会找对应的关系，主要考察概念与计应用题中学会找对应的关系，主要考察概念与计算能力）算能力） 解题思路：解题思路： （1）判断题目中所求解的类型，准确定型）判断题目中所求解的类型，准确定型 （2）找准变量之间的关系）找准变量之间的关系 （3）熟悉齐次与非齐次解的结构和性质）熟悉齐次与非齐次解的结构和性质 （4）实际应用题中药学会构造中间替代量）实际应用题中药学会构造中间替代量 三、高等数学考点分析与题型总结 第一章 函数、极限、连续 题型题型 1 函数表达式与性质的判断（奇偶性、周期函数表达式与性质的判断（奇偶性、周期性、单调性与有界性）性、单调性与有界性

13、） 题型题型 2 求未定式的极限（求未定式的极限（ 1型极限、型极限、 0/0型极限型极限 、-型极限等）型极限等） 题型题型 3 求分段函数的极限求分段函数的极限 题型题型 4 求含参量求含参量X的函数极限的函数极限 题型题型 5 数列极限的判定或求解数列极限的判定或求解 题型题型 6 无穷小的比较或确定无穷小的阶无穷小的比较或确定无穷小的阶 题型题型 7 求求n项和的数列极限项和的数列极限 题型题型 8 已知一极限求其待定常数或另一极限已知一极限求其待定常数或另一极限 题型题型 9 讨论函数的连续性及其间断点的类型讨论函数的连续性及其间断点的类型 第二章 一元函数微分学 题型题型 1 函数

14、导数或微分概念和性质的判断函数导数或微分概念和性质的判断 题型题型 2 讨论分段函数可导性及其导函数的连续性讨论分段函数可导性及其导函数的连续性 题型题型 3 讨论含绝对值函数的可导性讨论含绝对值函数的可导性 题型题型 4 求一元函数的导数和微分求一元函数的导数和微分 包含：反函数的导数、复合函数的导数、包含：反函数的导数、复合函数的导数、隐函数的导数、由参数式确定的函数的导数、分隐函数的导数、由参数式确定的函数的导数、分段函数的导数、幂指数函数及其多个因子连乘积段函数的导数、幂指数函数及其多个因子连乘积的函数的导数、某些简单函数的高阶导数、一元的函数的导数、某些简单函数的高阶导数、一元函数的

15、微分函数的微分 题型题型 5 利用函数连续性、可导性确定待定常数利用函数连续性、可导性确定待定常数 题型题型 6 利用微分中值定理的条件与结论解题利用微分中值定理的条件与结论解题 （1） 利用罗尔定理证明中值等式利用罗尔定理证明中值等式 （2） 利用拉格朗日中值定理证明等式与不等式利用拉格朗日中值定理证明等式与不等式 （3） 利用柯西中值定理证明中值不等式利用柯西中值定理证明中值不等式 题型题型 7 证明多个中值定理满足的等式证明多个中值定理满足的等式 题型题型 8 利用导数证明不等式利用导数证明不等式 （1）证明与函数改变量有关的不等式（拉格朗日）证明与函数改变量有关的不等式（拉格朗日中值定

16、理）中值定理） （2）利用函数的导数不等式证明函数不等式）利用函数的导数不等式证明函数不等式 （3）不同函数的同一自变量的不等式（构造法）不同函数的同一自变量的不等式（构造法） （4）证明同一函数的不同自变量的不等式（拉格）证明同一函数的不同自变量的不等式（拉格朗日中值定理、构造法、辅助函数法）朗日中值定理、构造法、辅助函数法） 题型题型 9 泰勒定理的应用泰勒定理的应用 题型题型 10 讨论函数的性态讨论函数的性态 （1）证明函数的单调性）证明函数的单调性 （2）利用极限式讨论函数是否取得极值）利用极限式讨论函数是否取得极值 （3）利用方程讨论函数是否有极值，拐点）利用方程讨论函数是否有极值

17、，拐点 （4）利用导数不等式讨论函数是否有极值，拐）利用导数不等式讨论函数是否有极值，拐点点 （5）利用极值点或者拐点讨论函数的性质）利用极值点或者拐点讨论函数的性质 （6）求曲线的凹凸区间与拐点）求曲线的凹凸区间与拐点 （7）求曲线的单调区间、极值与最值）求曲线的单调区间、极值与最值 （8）求曲线的渐近线）求曲线的渐近线 题型题型 12 函数性态与函数函数图像（由函数的性函数性态与函数函数图像（由函数的性态做函数图像、已知函数的图像，确定其函数或态做函数图像、已知函数的图像，确定其函数或者导函数性质、已知导函数图像，确定原函数的者导函数性质、已知导函数图像，确定原函数的性态）性态） 题型题型

18、 13 利用函数性态讨论方程的根（根的存在利用函数性态讨论方程的根（根的存在性与个数，参数的取值范围等）性与个数，参数的取值范围等） 题型题型 14 一元函数微分学的几何应用（切线与法一元函数微分学的几何应用（切线与法线方程、切线在坐标轴上的截距有关问题、两曲线方程、切线在坐标轴上的截距有关问题、两曲线相切的问题、平面曲线的曲率问题）线相切的问题、平面曲线的曲率问题） 第三章 一元函数积分学 题型题型 1 原函数与不定积分的关系原函数与不定积分的关系 题型题型 2 各类被函数不定积分的计算各类被函数不定积分的计算 题型题型 3 利用定积分的性质计算定积分利用定积分的性质计算定积分 （1）利用几

19、何意义计算定积分）利用几何意义计算定积分 （2）利用积分区间的对称性计算定积分）利用积分区间的对称性计算定积分 （3）利用函数的周期性计算定积分）利用函数的周期性计算定积分 （4）计算被积函数含有导数的积分）计算被积函数含有导数的积分 （5）比较和估计定积分的大小（比较与估值定理）比较和估计定积分的大小（比较与估值定理） （6）求解含积分值为常数的函数方程）求解含积分值为常数的函数方程 （7）计算几类需要分子区间积分的定积分（分段）计算几类需要分子区间积分的定积分（分段函数的定积分、被积函数含有绝对值的定积分、被函数的定积分、被积函数含有绝对值的定积分、被积函数含有积函数含有max/min符号

20、的定积分、被积函数为偶符号的定积分、被积函数为偶次方根的定积分次方根的定积分 （8）计算含有参数的定积分）计算含有参数的定积分 （9）计算需要换元的定积分）计算需要换元的定积分 （10）计算由定积分表示的变量极限）计算由定积分表示的变量极限 题型题型 4 求解与变上限积分有关的问题求解与变上限积分有关的问题 （1）计算含变限积分的极限）计算含变限积分的极限 （2）求变限积分的导数）求变限积分的导数 （3）求含变限积分的定积分）求含变限积分的定积分 （4）讨论变限积分函数的性态）讨论变限积分函数的性态 题型题型 5 证明定积分等式、积分不等式证明定积分等式、积分不等式 题型题型 6 计算反常积分

21、（两大类反常积分）计算反常积分（两大类反常积分） 题型题型 7 定积分的应用定积分的应用 （曲线的弧长，面积，旋转体的体积，变力做功（曲线的弧长，面积，旋转体的体积，变力做功等）等） （1）计算平面图形的面积）计算平面图形的面积 （2）计算旋转体的体积、侧面积（表面积）计算旋转体的体积、侧面积（表面积） （3）计算平行截面积已知的立体体积）计算平行截面积已知的立体体积 （4）计算平面曲线的弧长）计算平面曲线的弧长 （5）求解几何应用与最值问题结合的问题）求解几何应用与最值问题结合的问题 （6）用定积分计算质心（公式）用定积分计算质心（公式） （7）计算物体沿直线做功）计算物体沿直线做功 （8）

22、计算物体的压力）计算物体的压力 （9）计算函数在区间上的平均值）计算函数在区间上的平均值 第四章 向量代数和空间解析几何 题型题型 1 求直线方程或直线方程中的参数求直线方程或直线方程中的参数 题型题型 2求点到平面的距离求点到平面的距离 题型题型 3 求直线在平面上的投影直线方程求直线在平面上的投影直线方程 题型题型 4 求直线绕坐标轴的旋转曲面方程求直线绕坐标轴的旋转曲面方程 第六章 多元函数积分学 题型题型 1 求二重积分求二重积分 题型题型 2 交换二重积分的积分次序交换二重积分的积分次序 题型题型 3 求三重积分求三重积分 题型题型 4 求对弧长的曲线积分求对弧长的曲线积分 题型题型 5 求对坐标的曲线积分求对坐标的曲线积分 题型题型 6 求对面积的曲面积分求对面积的曲面积分 题型题型 7