人教版编号53双曲线性质3直线与双曲线

1、复习复习: : 直线与椭圆的位置关系的判定直线与椭圆的位置关系的判定相离相离判断方法判断方法1. 几何方法：几何方法：2. 代数方法：代数方法：相切相切相交相交考察交点个数考察交点个数判定联立方程组解的情况判定联立方程组解的情况探究一直线与双曲线位置关系探究一直线与双曲线位置关系YOX种类种类:0个交点，一个交点，两个交点个交点，一个交点，两个交点位置关系与交点个数位置关系与交点个数Y两个交点两个交点一个交点一个交点OX0 0个交点个交点Y特殊的相交特殊的相交(与渐近与渐近线平行线平行)：1个交点个交点OX判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线

2、方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐近线平行渐近线平行一个交点一个交点得到一元二次方程得到一元二次方程计计 算算 判判 别别 式式0=00两个两个交点交点一个一个交点交点无交点无交点例例1.请判断下列直线与双曲线之间的位置请判断下列直线与双曲线之间的位置关系关系1xyl:x?3 ,c:?19 164xyl : y?x?1 ,c:?13916回顾一下回顾一下:判别式情况如何判别式情况如何?22222例2.判断下列直线与双曲线的位置关系2 22 24 4x xy y11 l l : :y y? x x?1 1, , c c: :?1 1相交相交

3、(一个交点一个交点)5 52525 16162 22 25 5x xy y22 l l : :y y? x x?1 1, , c c: :?1 1无交点无交点4 42525 1616x xy y33l l: :y y ?2x x ?8, ,c c: :? 1 14 42 22 22 22 22 2相交相交(两个交点两个交点)无交点无交点x xy y44l l: :y y ? 2x2x ? 2 2 3 3 , ,c c: :? 1 14 43 3例例3 3 如果直线如果直线y?kx?1与双曲线与双曲线x?y? 4仅仅有一个公共点，求有一个公共点，求k的值。的值。?y?kx?122解：解：由由?2

4、2得得1-kx?2kx?5?0?x?y?422?方程只有一解方程只有一解当当1? k2?0即即k ? ?1时，方程只有一解时，方程只有一解当当1?k ?0时，应满足时，应满足? ?4 k?20 (1?k )?0222y y解得解得5， ?故故k k的值为的值为?12MM5k ? ?2ox x拓展延伸拓展延伸引申引申1：如果直线如果直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4没有公共点，求没有公共点，求k的取值范围的取值范围解：由y=kx-1x2-y2=41-k20得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解=4k2+20(1-k2)0方程方程(*)有两个不等的根有两个不等的根?55?

5、k?,且k? ?1?22?引申3：如果直线如果直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求右支有两个公共点，求k的取值范围的取值范围解：等价于4k2+20(1-k2)01-k20 x1+x2= -202 201k01-k20 x1+x2= -202 2-k0如果直线如果直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4左、右支各左、右支各1个公共点，求个公共点，求k的取值范围的取值范围4k2+20(1-k2)01-k20 x1x2= -解：等价于-1k120 2? ?222?弦AB的中点是P?1 ,8?,k?8- k?中点坐标公式与韦达定理,得-2=1 ?3?k -41 由?

6、2? ?3?得k = 21 ? 直线AB的方程为y-8= ?x?1?2即直线AB的方程为x-2y+15=0解法二:设A?x1,y1?,B?x2,y2?,则?y?4x?4,?22?y2?4x2?42121?y1?y1?y1?y1?4?x1?x2?x1?x2?,?弦AB的中点是P?1 ,8?,?16?y1?y1?8?x1?x2?,y1?y11? 直线AB 的斜率为?,x1?x221? 直线AB的方程为y-8 =?x?1?2即直线AB的方程为x-2y+15=0?x1?x2?2,y1?y2?16. y例例2、已知双曲线的方程为已知双曲线的方程为x21. 22试问：是否存在被点试问：是否存在被点B(1,

7、1)平分的平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由如果不存在，请说明理由 解析解析 解法一：设被解法一：设被B(1,1)所平分的弦所在的直线方程所平分的弦所在的直线方程y22为为yk(x1)1，代入双曲线方程，代入双曲线方程x 1，得，得(k2) x2222 k(k1) xk 2 k30. 2 k(k1)4( k2)( k2 k3)0. 2 k? ?k1? ?3解得解得k . 2k 2故不存在被点故不存在被点B(1,1)所平分的弦所平分的弦 2222解法二：解法二： 设存在被点设存在被点B平分的弦平分的弦MN， 设设M(x1，y1)、N(x2，y2) ? ?2? ?x121， 则则x1x22，y1y22，且，且? ?2y22? ?x2 1. 2? ?1得得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0. 2y1y2kMN2，故直线，故直线MN：y12( x1) x1x22y1 ? ?y12? ?x1? ? ?22由由? ?2y消去消去y得，得，2 x4 x30， x 1? ?2? ?