第二章 §2.1　第1课时　函数的概念及其表示

1、§2.1函数的概念及其表示考试要求1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用1函数的概念一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：AB或yf(x)，xA.2函数的定义域、值域(1)在函数yf(x)，xA中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合f(x)|xA叫作函数的值域

2、(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等3函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法4分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集微思考1直线xa(a是常数)与函数yf(x)的图像有多少个交点？提示0个或1个2函数定义中，非空数集A，B与函数的定义域、值域有什么关系？提示函数的定义域即为集合A，值域为集合B的子集题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打

3、“”或“×”)(1)若AR，Bx|x>0，f：xy|x|，其对应是从A到B的函数(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等(×)(3)y是一个函数(×)(4)函数yf(x)的图像可以是一条封闭的曲线(×)题组二教材改编2函数f(x)的定义域为_答案0,2)(2，)解析依题意解得x0且x2，原函数的定义域为0,2)(2，)3已知函数f(x)则f(2)_.答案2解析f(2)f(1)212.4已知函数f(x)则f(x)的值域为_答案(0,1)2，)解析当x1时，f(x)x22，f(x)2，)，当x>1时，f(x)，f(x)

4、(0,1)综上，f(x)的值域为(0,1)2，)题组三易错自纠5下列图形中可以表示以Mx|0x1为定义域，Ny|0y1为值域的函数的图像是()答案C解析A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图像，由函数的定义可知选项C正确6已知f()x1，则f(x)_.答案x2x1，x0解析令t，则t0，xt2，f(t)t2t1(t0)，f(x)x2x1，x0.第1课时函数的概念及其表示题型一 函数的概念1下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()答案C2下列各组函数相等的是()Af(x)x22x1(xR)，g(s)s22s1(sZ)Bf(x)x1，g(x)Cf(x)，

5、g(x)Df(x)，g(x)x答案C3已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是_(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.答案解析中，f：xyx，x0,4时，yxQ，故不满足函数的定义思维升华(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同 题型二 求函数的解析式例1求下列函数的解析式：(1)已知f(1sin x)cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知f

6、0;x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)f(x)3x，求f(x)的解析式解(1)(换元法)设1sin xt，t0,2，则sin x1t，f(1sin x)cos2x1sin2x，f(t)1(1t)22tt2，t0,2即f(x)2xx2，x0,2(2)(配凑法)f x222，f(x)x22，x(，22，)(3)(待定系数法)f(x)是一次函数，可设f(x)axb(a0)，3a(x1)b2a(x1)b2x17.即ax(5ab)2x17，解得f(x)的解析式是f(x)2x7.(4)(解

7、方程组法)2f(x)f(x)3x，将x用x替换，得2f(x)f(x)3x，由解得f(x)3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(4)解方程组法：已知关于f(x)与f 或f (x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)跟踪训练1(1)(2020·济南模

8、拟)若f ，则f(x)_.答案(x0且x1)解析f(x)(x0且x1)(2)已知yf(x)是二次函数，若方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，则f(x)_.答案x22x1解析设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，2axb2x2，则a1，b2.f(x)x22xc，又f(x)0，即x22xc0有两个相等实根，44c0，则c1.故f(x)x22x1.(3)已知f(x)满足f(x)2f 2x，则f(x)_.答案解析f(x)2f 2x，以代替中的x，得f 2f(x)，×2得3f(x)2x，f(x).题型三 分段函数命题点1求分段函

9、数的函数值例2已知f(x)则f f 的值为()A. B C1 D1答案D解析f f 1f 1cos1，f coscos ，f f 1.命题点2分段函数与方程、不等式问题例3(1)(2020·长春模拟)已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于()A3 B1 C1 D3答案A解析f(1)212，f(a)20，f(a)2，当a0时，f(a)a12，a3，当a>0时，f(a)2a2，方程无解，综上有a3.(2)已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集为()A(，2 B(，0(1,2C0,2 D

10、(，0)1,2答案D解析当x1时，log2x1，1x2.当x<1且x0时，1，解得x<0，f(x)1的解集为(，0)1,2思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来跟踪训练2(1)(2021·河北冀州一中模拟)设f(x)则f(f(1)_，f(x)的最小值是_答案023解析f(1)2，f(f(1)f(2)230，当x1时，f(x)x

11、323，当且仅当x时取等号，f(x)min23，当x<1时，f(x)x211，x0时取等号，f(x)min1，综上有f(x)的最小值为23.(2)设函数f(x)则满足f(x)f >1的x的取值范围是_答案解析当x>时，>1恒成立，x>，当0<x时，2xx1>1，即2xx>恒成立，0<x，当x0时，x1x1>1，解得<x0，综上有x的取值范围是.课时精练1下列所给图像是函数图像的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析图像关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图像中x0对应2个y，所以均不是函数图像；图像是

12、函数图像2下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是()AA1,0,1，B1,0,1，f：A中的数的平方BA0,1，B1,0,1，f：A中的数求平方根CAZ，BQ，f：A中的数取倒数DAR，B正实数，f：A中的数取绝对值答案A解析选项B中A中元素出现一对多的情况；选项C，D中均出现元素0无对应元素的情况3已知函数f(x)则f(f(8)等于()A1 B C. D2答案C解析f(8)1log28132，f(f(8)f(2)221.4设函数f x，则f(x)的表达式为()A.(x1) B.(x1)C.(x1) D.(x1)答案C解析令t，则x，f(t)，即f(x)(x1)5已知函数f(x)且

13、f(x0)3，则实数x0的值为()A1 B1 C1或1 D1或答案C解析由条件可知，当x00时，f(x0)2x013，所以x01；当x0<0时，f(x0)3x3，所以x01.所以实数x0的值为1或1.6.如图，AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设APx(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数yf(x)的大致图像是()答案A解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0<x1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快(2)当1

14、<x<2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢分析四个选项中的图像，只有选项A符合条件7已知f(x5)lg x，则f(2)_.答案lg 2解析令x52，则x，f(2)lg 2.8已知函数f(x)若f(f(1)3，则b_.答案3解析f(1)b1，f(b1)3，当b11即b2时，2b113，解得b3，当b1<1即b<2时，b1b3，解得b2(舍)，综上有b3.9已知函数f(x)则满足f(a)>1的实数a的取值范围是_答案(2,0)(0，)解析由f(a)>1，得解得a>0，解得2<a<0.由知2<a<0或a>0.10已知

15、函数f(x)满足f f(x)2x(x0)，则f(2)_，f _.答案解析令x2，可得f f(2)4，令x，可得f(2)2f 1，联立解得f(2)，f .11已知函数f(x)的解析式为f(x)(1)求f ，f ，f(1)的值；(2)画出这个函数的图像；(3)求f(x)的最大值解(1)>1，f 2×85.0<<1，f 5.1<0，f(1)352.(2)这个函数的图像如图在函数y3x5的图像上截取x0的部分，在函数yx5的图像上截取0<x1的部分，在函数y2x8的图像上截

16、取x>1的部分图中实线组成的图形就是函数f(x)的图像(3)由函数图像可知，当x1时，f(x)取最大值6.12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：ymxn(m，n是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图(1)求出y关于x的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度解(1)由题意及函数图像，得解得m，n0，y(x0)(2)令25.2，得72x70.x0，0x70.故行驶的最大速度是7

17、0 km/h.13设函数f(x)则满足f(x1)<f(2x)的x的取值范围是_答案(，0)解析画出f(x)的图像如图所示，由图知解得x<0，故x的取值范围是(，0)14已知函数f(x)若af(a)f(a)>0，则实数a的取值范围为_答案(，2)(2，)解析当a0时，显然不成立当a>0时，不等式af(a)f(a)>0等价于a22a>0，解得a>2.当a<0时，不等式af(a)f(a)>0等价于a22a<0，解得a<2.综上所述，实数a的取值范围为(，2)(2，)15具有性质：f f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是_yx；yln ；y；f(x)答案解析对于，f(x)x，f xf(x)，满足题意；对于，f(x)ln ，则f ln f(x)，不满足；对于，f ex1，f(x)f ，不满足；对于，f 即f 则f f(x)满足“倒负”变换16已知函数f(x).(1)求f(2)与f ，f(3)与f ；(2)由(1)中求得的结果，