数学反证法PPT课件

1、经过证明经过证明的结论的结论 一般地，从要证明的结论出发，逐步一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种分析问定理、定义、公理等）为止，这种分析问题的方法叫做倒题的方法叫做倒分析法分析法 特点：特点：执果索因执果索因. .用框图表示分析法用框图表示分析法1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论第1页/共20页 中

2、国古代有一个叫中国古代有一个叫路边苦李路边苦李的故事的故事: :王王戎戎7 7岁时岁时, ,与小伙伴们外出游玩与小伙伴们外出游玩, ,看到路边的李树看到路边的李树上结满了果子上结满了果子. .小伙伴们纷纷去摘取果子小伙伴们纷纷去摘取果子, ,只有只有王戎站在原地不动王戎站在原地不动. .有人问王戎为什么有人问王戎为什么? ?王戎回答说王戎回答说: :“树在道边而多子树在道边而多子, ,此必苦李此必苦李. .”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. . 王戎是怎样知道李子是苦的吗王戎是怎样知道李子是苦的吗? ?他运用了怎样的推理方法他运用了怎样的推理方法? ?第2页/

3、共20页假设“李子甜”树在道边则李子少与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾假设 “李子甜”不成立所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的王戎推理方法是:第3页/共20页 例例: :小华睡觉前，地上是干的，早晨起小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上、树上全湿了。小华对婷婷来，看见地上、树上全湿了。小华对婷婷说：说：“昨天晚上下雨了。昨天晚上下雨了。”您能对小华的判断说出理由吗？您能对小华的判断说出理由吗？ 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。以说昨晚下雨是正确的。

4、第4页/共20页先先假设假设命题的命题的结论结论不成立不成立, ,从这样的假设出发从这样的假设出发, ,经过推理得出和已知条件经过推理得出和已知条件矛盾矛盾, ,或者与定义或者与定义, ,公理公理, ,定理等矛盾定理等矛盾, ,从而得出从而得出假设命题不成立，是错误的假设命题不成立，是错误的, ,即所求证的命题正确即所求证的命题正确. .在证明一个命题时,人们有时这种证明方法叫做反证法.第5页/共20页第6页/共20页试一试试一试已知：如图，直线a,b被直线c所截， 1 2求证：ababc121=2 (两直线平行,同位角相等)这与已知的12矛盾假设不成立证明：假设结论不成立，则abab第7页/

5、共20页求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.证明:假设_,那么_.因为已知_,这与“_ _”矛盾.所以假设不成立,即求证的命题正确.l1l2l3Pl3与l2 不相交.l3l2l1l2 经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,第8页/共20页反证法的基本步骤：反证法的基本步骤：(1)(1)假设命题结论不成立，即假设结论的反假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；面成立； （反设反设）(2)(2)从这个从

6、这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾； （归谬归谬） (3)(3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确的结论正确; (; (肯定结论肯定结论）归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。（即客观事实）自相矛盾。（即客观事实）第9页/共20页 用反证法证明（填空）用反证法证明（填空）: :在三角形的内角在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于中，至少有一个角大于或等于6060. .这与这与_相矛盾相矛盾. .所以所

7、以_不成立，所求证的结论成立不成立，所求证的结论成立. . 已知已知: : A，B，C是是ABC的内角的内角. . 求证求证: : A，B，C中至少有一个角大中至少有一个角大 于于 或等于或等于60.证明证明: : 假设所求证的结论不成立，即假设所求证的结论不成立，即 A _ 60 ，B _ 60 ，C _60三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180假设假设 则A+B+C 180.第10页/共20页求证求证: :在同一平面内在同一平面内, ,如果两条直线都和第三条直如果两条直线都和第三条直线平行线平行, ,那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行. .(1)(1)你首先

8、会选择哪一种证明方法你首先会选择哪一种证明方法? ?(2)(2)如果选择反证法如果选择反证法, ,先怎样假设先怎样假设? ?结果和什么产生矛盾结果和什么产生矛盾? ?定理定理已知已知: :如图，如图，l1l2 ,l 2 l 3求证：求证： ll lllll , l l, 则过点则过点p就有两条直线就有两条直线l、 l都与都与l平行，这与平行，这与“经过直线外一点，有经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线且只有一条直线平行于已知直线”矛盾矛盾证明：假设证明：假设l不平行不平行l，则，则l与与l相交相交, ,设交点为设交点为p.p所以所以假设假设不成立，所求证的结论成立，不成立，所求证的结

9、论成立，即即 ll 第11页/共20页求证求证: :在同一平面内在同一平面内, ,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行, ,那那么这两条直线也互相平行么这两条直线也互相平行. .定理定理(3)(3)不用反证法证明不用反证法证明已知已知: :如图，如图，l1l2 ,l 2 l 3求证求证: : l1l3 l1l2l3lpl1l2 ,l 2l 3直线直线l必定与直线必定与直线l1，l3相交（在同一平面内，相交（在同一平面内， 如果一条直线和两条平行直线中的一条相如果一条直线和两条平行直线中的一条相 交，那么和另一条直线也相交）交，那么和另一条直线也相交）证明证明: :作直线

10、作直线l交直线交直线l2于点于点p p，2 =1=3（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） l1l3 （同位角相等，两直线平行）同位角相等，两直线平行）213第12页/共20页练习：已知练习：已知: :如图如图, ,直线直线l l与与l l1 1,l,l2 2,l,l3 3都相都相交交, ,且且 l l1 1ll3 3,l,l2 2ll3 3, ,求证求证:1=2:1=2l1l2l3l1 12 2证明证明: : l1l3,l2l3( (已知已知) ) l1l2 ( (在同一平面内在同一平面内, ,如果两条直线如果两条直线 都和第三条直线平行都和第三条直线平行, ,那么这那么这 两

11、条直线也互相平行两条直线也互相平行) ) 1=2( (两直线平行两直线平行, ,同位角相等同位角相等) ) 在同一平面内在同一平面内, ,如果两条直线都和第三条直线如果两条直线都和第三条直线平行平行, ,那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行. .第13页/共20页 能力测试能力测试 写出下列各结论的反面：（1）a/b； （2）a0；（3）b是正数；（4）a不垂直于ba0b是0或负数a垂直bab第14页/共20页变式训练变式训练1、“ab”的反面应是（ ）（A）ab （B）a b （C）a=b （D）a=b或a b2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？_D假

12、设三角形中有两个或三个角是直角假设三角形中有两个或三个角是直角第15页/共20页应用反证法的情形：应用反证法的情形：(1)(1)直接证明困难直接证明困难; ;(2)(2)需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论(3)(3)结论为结论为 “至少至少”、“至多至多”、“有无穷多个有无穷多个” 类命题；类命题； 反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反第16页/共20页常用的互为否定的表述方式常用的互为否定的表述方式： 是是不是；存在不是；存在不存在不存在 平行平行不平行；垂直不平行；垂直不垂直不垂直 等于等于不等于；都是不等于；都是不都是不都是 大于大于不大于；小于不大于；小于不小于不小于 至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有 至少有三个至少有三个至多有两个至多有两个 至少有至少有n n个个至多有至多有(n-1)(n-1)个个第17页/共20页总结回顾总结回顾: :2 2、反证法的一般步骤、反证法的一般步骤: :从假设出发从假设出发1 1、反证法的概念