控制工程基础控制系统的频率法分析(控制工程基础

1、2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）1控制工程基础控制工程基础清华大学机械工程系清华大学机械工程系 朱志明朱志明 教授教授2010-11-292010-11-292021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）2n概述概述n典型环节的频率特性典型环节的频率特性n系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制n用频率法分析系统的稳定性用频率法分析系统的稳定性n用频率法分析系统的品质用频率法分析系统的品质n小结小结2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）3n在控制系统的工程设计中，首先希望能判断系统是否稳定即判断系在控制系统的工程设计中，首先希望能判断系统是否稳定即判

2、断系统的统的绝对稳定性。绝对稳定性。n对于稳定的系统，希望能进一步确定系统的稳定程度即对于稳定的系统，希望能进一步确定系统的稳定程度即相对稳定性相对稳定性。n对于不稳定的系统，希望能对于不稳定的系统，希望能指出如何改进系统参数或改变系统的结构指出如何改进系统参数或改变系统的结构使其稳定使其稳定。n用频率特性判断系统是否稳定的用频率特性判断系统是否稳定的乃奎斯特判据乃奎斯特判据具有上述功能。具有上述功能。n乃奎斯特判据还能用来研究延迟系统的稳定性。乃奎斯特判据还能用来研究延迟系统的稳定性。n奈氏稳定判据的数学基础是复变函数理论中的幅角原理（奈氏稳定判据的数学基础是复变函数理论中的幅角原理（映射定

3、理映射定理）。）。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）4n映射定理映射定理n奈氏判据奈氏判据n对数判据对数判据n稳定裕量稳定裕量2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）5n设有一单值有理复变函数设有一单值有理复变函数f(s)f(s)，它在，它在s s平面上的指定域内，除去有限平面上的指定域内，除去有限个点外，在其它各点上均解析，则对于个点外，在其它各点上均解析，则对于s s平面上指定域内的每一个解平面上指定域内的每一个解析点，在析点，在f f平面上必有一个点与之对应。平面上必有一个点与之对应。s s平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线c cs s通过函数通过函数f(s)

4、f(s)映射到映射到f f平面上平面上2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）6n设设f(s)f(s)为一单值有理复变函数：为一单值有理复变函数：q它在它在s s平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线c cs s内有内有p p个极点和个极点和z z个零点。个零点。q封闭曲线封闭曲线c cs s不通过不通过f(s)f(s)的任何零点和极点。的任何零点和极点。q在在f f平面上，通过函数平面上，通过函数f(s)f(s)的映射，有一条封闭曲线的映射，有一条封闭曲线c cf f与与s s平面上平面上的封闭曲线的封闭曲线c cs s对应。对应。n当动点当动点s s沿沿c cs s顺时针方向运动一周

5、时，它映射到顺时针方向运动一周时，它映射到f f平面上相平面上相应点的轨迹，沿应点的轨迹，沿c cf f顺时针方向包围原点的次数为：顺时针方向包围原点的次数为：k kz-pz-p。n若若k k为负值，则表示为负值，则表示c cf f是沿逆时针方向运动的。是沿逆时针方向运动的。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）7nc cs s只包围只包围f(s)f(s)的一个零点的一个零点nc cs s只包围只包围f(s)f(s)的一个极点的一个极点nc cs s包围包围f(s)f(s)的的z z个零点和个零点和p p个极点个极点2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）8nz z1

6、 1位于封闭曲线位于封闭曲线c cs s以内，其余零极点均在以内，其余零极点均在c cs s以外。以外。niimjjpszsksf11)()()(2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）9n当当s s按顺时针方向沿按顺时针方向沿c cs s运动一周时，向量（运动一周时，向量（s sz z1 1）的幅角增量为）的幅角增量为（s sz z1 1）2 2 （幅角取逆时针方向为正方向）；（幅角取逆时针方向为正方向）；n从其余零极点指向从其余零极点指向s s点的向量（点的向量（s+zs+z2 2），）， ，（，（s+ps+p1 1），）， （s+ps+p2 2），）， 的幅角增量均为的幅角增

7、量均为0 0 。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）10nf(s)f(s)向量的相角为：向量的相角为：n当当s s按顺时针方向沿按顺时针方向沿c cs s运动一周时，向量运动一周时，向量f(s) f(s) 的幅角增量为：的幅角增量为：n即当即当s s按顺时针方向沿按顺时针方向沿c cs s运动一周时，向量运动一周时，向量f(s) f(s) 绕原点顺时针方绕原点顺时针方向转过了一周。向转过了一周。mjniijpszssf11)()()(mjniijpszssf11202)()()(2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）11n若若cscs只包围只包围f(s)f(s)的

8、一个极点的一个极点p p1 1时：时：（s sp p1 1）2 2 f f（s s）2 2 n即即向量向量f(s) f(s) 绕原点逆时针方向转过了一周。绕原点逆时针方向转过了一周。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）12f(s)f(s)z(z(2 2 ) )p(p(2 2 ) )k(k(2 2 ) )k kz-pz-pn即即向量向量f(s) f(s) 绕原点顺时针方向转过了绕原点顺时针方向转过了k k周。周。n由于由于f(s)f(s)向量每绕原点转过向量每绕原点转过2 2 角度，角度，c cf f就顺时针方向包就顺时针方向包围原点一次，所以，围原点一次，所以，c cf f顺时

9、针方向包围原点的次数为顺时针方向包围原点的次数为k k。n顺（逆）时针方向包围是指：沿封闭曲线方向前进时，被顺（逆）时针方向包围是指：沿封闭曲线方向前进时，被包围区域位于曲线的右（左）侧。包围区域位于曲线的右（左）侧。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）13n设设f(s)f(s)为一单值有理复变函数：为一单值有理复变函数：q它在它在s s平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线c cs s内有内有p p个极点和个极点和z z个零点。个零点。q封闭曲线封闭曲线c cs s不通过不通过f(s)f(s)的任何零点和极点。的任何零点和极点。q在在f f平面上，通过函数平面上，通过函数f(s)f

10、(s)的映射，有一条封闭曲线的映射，有一条封闭曲线c cf f与与s s平面上的平面上的封闭曲线封闭曲线c cs s对应。对应。n当动点当动点s s沿沿c cs s顺时针方向运动一周时，它映射到顺时针方向运动一周时，它映射到f f平面上相平面上相应点的轨迹，沿应点的轨迹，沿c cf f顺时针方向包围原点的次数为：顺时针方向包围原点的次数为：k kz-pz-p。n若若k k为负值，则表示为负值，则表示c cf f是沿逆时针方向运动的。是沿逆时针方向运动的。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）14n映射定理映射定理n奈氏判据奈氏判据n对数判据对数判据n稳定裕量稳定裕量2021-11

11、-24第十讲 控制系统频率法分析（3）15n系统的开环传递函数：系统的开环传递函数：n系统的闭环特征方程：系统的闭环特征方程：nf(s)f(s)的零点等于的零点等于闭环特征方程的根或闭环特征方程的根或闭环极点闭环极点；nf(s)f(s)的极点等于系统的的极点等于系统的开环极点开环极点。niimjiniipszskpsshsgsf111)()()()()(1)(niimjipszskshsg11)()()()(2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）16n为了判断为了判断f(s)f(s)在在s s平面上有没有右零点，平面上有没有右零点，在在s s平面上作一条包围整个右半平面上作一条包

12、围整个右半s s平面平面的封闭曲线的封闭曲线c cs s，c cs s由由c cs1s1和和c cs2s2组成，方组成，方向为顺时针。向为顺时针。nc cs1s1为为 从从 到到 的整个虚轴。的整个虚轴。nc cs2s2为以原点为中心，以为以原点为中心，以r= r= 为半径的为半径的右半圆。右半圆。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）17奈氏判据（奈氏判据（3 3）闭环系统稳定的充分必要条件）闭环系统稳定的充分必要条件n设设z z为被为被c cs s包围的包围的f(s)f(s)的零点数，即闭环系统的右极点数，的零点数，即闭环系统的右极点数，p p为被为被c cs s包围的包围的

13、f(s)f(s)的极点数，即开环右极点数，的极点数，即开环右极点数，c cs s通过通过f(s)f(s)映射到映射到f f平面上的轨迹为平面上的轨迹为c cf f，k k为为c cf f顺时针方向包围原点的次数（在顺时针方向包围原点的次数（在f f平面上）。平面上）。n闭环系统稳定的充分必要条件是被闭环系统稳定的充分必要条件是被c cs s包围的右半包围的右半s s平面上没有闭环特征根，平面上没有闭环特征根，即即c cs s不包围不包围f(s)f(s)的零点的零点。即。即 z=0z=0，k kp pn即当即当s s点沿包围右半平面的封闭曲线点沿包围右半平面的封闭曲线c cs s顺时针移动一周时

14、，通过函数顺时针移动一周时，通过函数f(s)f(s)映射到映射到f f平面上的轨迹平面上的轨迹c cf f逆时针方向包围原点的次数等于系统的开环右极逆时针方向包围原点的次数等于系统的开环右极点数。点数。n系统开环极点的分布已知，很容易求得系统开环极点的分布已知，很容易求得p p，要求出，要求出k k，必须画出，必须画出c cf f曲线。曲线。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）18奈氏判据（奈氏判据（4 4）与）与c cs1s1相应的部分相应的部分c cf f曲线曲线n在在s s平面的平面的c cs1s1上：上：s sj j （ ）n在在f f平面上：平面上：f f（j j ）

15、1 1g g（ j j ）h h（ j j ）n只要将在只要将在ghgh平面上的平面上的g g（ j j ）h h（ j j ）曲线沿正实轴方向）曲线沿正实轴方向平移距离平移距离1 1，即得，即得 从从 到到 变化时的变化时的f f（ j j ）图形。）图形。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）19奈氏判据（奈氏判据（5 5）与）与c cs2s2相应的部分相应的部分c cf f曲线曲线n在在s s平面的平面的c cs2s2上：上：n在在f f平面上：平面上：n一般一般nmnm：n若若n nm m，则：，则：n即即c cs2s2通过函数通过函数f(s)f(s)映射到映射到f f平

16、面上为一个点（平面上为一个点（1 1，j0j0）（nm)nm)或（或（1 1k k，j0j0）（）（n=mn=m）。）。)22(relimjrsjrjrsniimjjspszsksfrelim11relim)()(1| )(1| )(relimjrssfksfjrs1| )(relim2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）20奈氏判据（奈氏判据（6 6）c cf f的绘制的绘制n在在ghgh平面上画出平面上画出g g（ j j ）h h（ j j ）（）（ 0 0 ）的曲线，即系统的开环极坐的曲线，即系统的开环极坐标图。标图。n由于曲线由于曲线g g（ j j ）h h（ j j

17、 ）在在 0 0 和和 0 0 时是对称实轴的，所以采时是对称实轴的，所以采用镜像法可绘出用镜像法可绘出 0 0的的g g（ j j ）h h（ j j ）曲线。）曲线。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）21奈氏判据（奈氏判据（7 7）c cf f的绘制的绘制n将将ghgh平面上的图形沿正实轴方平面上的图形沿正实轴方向平移距离为向平移距离为1 1，所得图形为，所得图形为g g（ j j ）h h（ j j ）1 1f f （ j j ） 的图形。的图形。n若不移动若不移动g g（ j j ）h h（ j j ）曲）曲线，将虚轴向左移距离为线，将虚轴向左移距离为1 1，效果相同

18、。效果相同。n在在f f平面上，向量平面上，向量f f（ j j ）绕）绕原点原点o o转动与在转动与在ghgh平面上向量平面上向量o of f绕（绕（1 1，j0j0）点转动的情）点转动的情况是相同的。况是相同的。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）22奈氏判据（奈氏判据（8 8）n闭环系统稳定的充分必要条件是当闭环系统稳定的充分必要条件是当 从从 变变化到化到 时，开环极坐标图时，开环极坐标图g（ j ）h（ j ）在在ghgh平面上逆时针包围（平面上逆时针包围（1 1，j0j0）点的次数等）点的次数等于系统的开环右极点数。于系统的开环右极点数。2021-11-24第十讲

19、控制系统频率法分析（3）23例例4 4闭环系统的稳定性判断（闭环系统的稳定性判断（1 1）n系统的开环传递函数：系统的开环传递函数：n系统无开环右极点，故闭环系统稳定的充分必要条系统无开环右极点，故闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏图不包围（件是奈氏图不包围（1 1，j0j0）点。）点。) 1)(1()()(21ststkshsg2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）24例例4 4闭环系统的稳定性判断（闭环系统的稳定性判断（2 2）n系统的开环频率特性：系统的开环频率特性：n当当 0 0时：时：g g（j j ）h h（ j j ）k kn当当 时：时：n根据根据0 0型系统极坐标

20、图的形状可绘型系统极坐标图的形状可绘出奈氏图。由于它不包围（出奈氏图。由于它不包围（1 1，j0j0）点，因而闭环系统是稳定的。）点，因而闭环系统是稳定的。) 1)(1()()(21jtjtkjhjgjejhjg 0)()(lim2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）25关于奈氏稳定判据的说明（关于奈氏稳定判据的说明（1 1）n由于奈氏图在由于奈氏图在 为正及为正及 为负时是对称于实轴的，因为负时是对称于实轴的，因此通常仅画它的此通常仅画它的 为正的部分。为正的部分。n对于开环稳定的系统，只要（对于开环稳定的系统，只要（1 1，j0j0）不被奈氏图）不被奈氏图所包围即可判断闭环系

21、统是稳定的。所包围即可判断闭环系统是稳定的。n对于有开环右极点的系统，当仅用对于有开环右极点的系统，当仅用 为正的一部分曲为正的一部分曲线判断闭环系统的稳定性时，奈氏图逆时针包围（线判断闭环系统的稳定性时，奈氏图逆时针包围（1 1，j0j0）点的次数为）点的次数为p/2p/2次。次。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）26例例5 5闭环系统的稳定性判断（闭环系统的稳定性判断（1 1）n单位反馈系统的开环传递函数：单位反馈系统的开环传递函数：n系统有一个开环右极点。系统的开环频率特性：系统有一个开环右极点。系统的开环频率特性：110)(ssg1arctan)(110)(110)(

22、2ajjg2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）27例例5 5闭环系统的稳定性判断（闭环系统的稳定性判断（2 2）n系统的幅频特性与惯系统的幅频特性与惯性环节的幅频特性完性环节的幅频特性完全相同。全相同。n系统的相频特性与惯系统的相频特性与惯性环节的相频特性对性环节的相频特性对称于称于9090 线。线。n二者的极坐标图的形二者的极坐标图的形状相似。状相似。1. 惯性环节惯性环节 2. 本系统本系统2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）28例例5 5闭环系统的稳定性判断（闭环系统的稳定性判断（3 3）n惯性环节的极坐标图是一个半圆；本惯性环节的极坐标图是一个半圆；本系

23、统的开环极坐标图也是一个半圆，系统的开环极坐标图也是一个半圆，仅相角变化的范围不同，半圆所处的仅相角变化的范围不同，半圆所处的象限不同，曲线变化方向不同而已。象限不同，曲线变化方向不同而已。n极坐标图逆时针包围（极坐标图逆时针包围（1 1，j0j0）点）点1/21/2次。次。np=1p=1，k/2=p/2k/2=p/2，闭环系统稳定。，闭环系统稳定。n此例说明此例说明有开环右极点的系统，闭环有开环右极点的系统，闭环系统可能稳定系统可能稳定。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）29关于奈氏判据的说明（关于奈氏判据的说明（2 21 1）n映射定理只适用于封闭曲线映射定理只适用于封闭

24、曲线c cs s不通不通过过f(s)f(s)的零极点的情况，因此奈氏的零极点的情况，因此奈氏围线应不通过围线应不通过f(s)f(s)的零点或极点。的零点或极点。n如果系统在虚轴上（例如在原点处）如果系统在虚轴上（例如在原点处）有开环极点（为有开环极点（为i i型以上系统）时，型以上系统）时，由于奈氏围线不能通过由于奈氏围线不能通过f(s)f(s)的极点，的极点，因此，应使奈氏围线绕过虚轴上的因此，应使奈氏围线绕过虚轴上的开环极点。开环极点。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）30关于奈氏稳定判据的说明（关于奈氏稳定判据的说明（2 22 2）nc1：s由j 沿负虚轴运动到沿负虚轴

25、运动到j0j0；nc c2 2：s s沿着以原点为圆心，半径为沿着以原点为圆心，半径为的半圆的半圆（ 0 0）从）从j0j0运动到运动到j0j0，即，即s s e ej j ， 从从 /2/2到到 /2/2。nc c3 3：s沿正虚轴沿正虚轴由j0j0 运动到运动到j ；nc c4 4：s s沿着以原点为圆心，以沿着以原点为圆心，以r r为半径的无穷为半径的无穷大半圆（大半圆（ r r ），从），从j j 运动到运动到j j ，即，即s s e ej j ， 从从 /2/2到到 /2/2。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）31关于奈氏稳定判据的说明（关于奈氏稳定判据的说明（2

26、 23 3）n奈氏围线包围了除原点以外的整个右半奈氏围线包围了除原点以外的整个右半s s平面。平面。n对开环传递函数为对开环传递函数为g(s)h(s)g(s)h(s)的的n n型系统（型系统（n n 1 1），奈氏），奈氏稳定判据可叙述为：稳定判据可叙述为：q如果如果g(s)h(s)g(s)h(s)在右半在右半s s平面上有平面上有p p个极点，则闭环系统个极点，则闭环系统稳定的充分必要条件为稳定的充分必要条件为s s顺时针通过修改后的奈氏围线顺时针通过修改后的奈氏围线时，时， g(s)h(s)g(s)h(s)轨迹逆时针方向包围（轨迹逆时针方向包围（1 1，j0j0）点）点p p次。次。q对于

27、对于n n型最小相位系统，闭环系统稳定的充分必要条件型最小相位系统，闭环系统稳定的充分必要条件为，当为，当s s顺时针通过修改后的奈氏围线时，顺时针通过修改后的奈氏围线时， g(s)h(s)g(s)h(s)轨迹不包围（轨迹不包围（1 1，j0j0）点。）点。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）32例例6 6闭环系统的稳定性判断（闭环系统的稳定性判断（1 1）n系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：n试判断试判断k k0 02 2和和k k0 02020时闭环系统的稳定性。时闭环系统的稳定性。n系统为系统为i i型系统。在原点处有一个开环极点，无开环右极型系统。在原点处有一

28、个开环极点，无开环右极点，因此，奈氏围线需加以修改。点，因此，奈氏围线需加以修改。) 11 . 0)(1()()(0ssskshsg2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）33例例6 6闭环系统的稳定性判断（闭环系统的稳定性判断（2 2）n在在c c2 2上：上：n相应于相应于c c2 2部分上变点部分上变点s s在在ghgh平面上映射为：平面上映射为：n上式说明当变点上式说明当变点s s沿沿c2c2运动时（运动时（ 变化角度为变化角度为 ），通过），通过g(s)h(s)g(s)h(s)在在ghgh平面上映射的轨迹为圆弧，圆弧的半径为无穷大，向量平面上映射的轨迹为圆弧，圆弧的半径为

29、无穷大，向量g(s)h(s)g(s)h(s)绕原点顺时针转过的角度为绕原点顺时针转过的角度为n n （n n型系统）。型系统）。）变到从（2/2/lim0jes)2/2/(|) 11 . 0)(1()()(0lim0jesessskshsgj2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）34例例6 6闭环系统的稳定性判断（闭环系统的稳定性判断（3 3）nc1c1，c3c3部分上变点部分上变点s s在在ghgh平面上的映平面上的映射轨迹即奈氏图，可由开环对数频率射轨迹即奈氏图，可由开环对数频率特性转换而得。特性转换而得。n作作k k0 01 1的开环对数坐标图；的开环对数坐标图；n当当k

30、k0 02 2时，把横坐标向下移时，把横坐标向下移20lg220lg26db6db，如图，如图aaaa。n当当k k0 02020时，把横坐标向下移时，把横坐标向下移20lg2020lg2026db26db，如图，如图bbbb。n相频特性不随相频特性不随k k0 0改变。改变。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）35例例6 6闭环系统的稳定性判断（闭环系统的稳定性判断（4 4）n将开环极坐标图经对数数转换将开环极坐标图经对数数转换后可得开环极坐标图。后可得开环极坐标图。n将奈氏图与无穷大半径的圆弧相将奈氏图与无穷大半径的圆弧相连，即得奈氏轨迹在连，即得奈氏轨迹在ghgh平面上映

31、平面上映射的轨迹射的轨迹c cghgh。n当当k k0 02 2时，时，c cghgh不包围（不包围（1 1，j0j0）点，闭环系统稳定。点，闭环系统稳定。n当当k k0 02020时，时，c cghgh包围了（包围了（1 1，j0j0）点，闭环系统变得不稳定了。）点，闭环系统变得不稳定了。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）36关于奈氏稳定判据的说明（关于奈氏稳定判据的说明（3 31 1）nn n型系统的奈氏围线在原点附近以无穷小半圆型系统的奈氏围线在原点附近以无穷小半圆逆时针方向逆时针方向绕原点转过绕原点转过 弧度。相应的弧度。相应的c cghgh曲线上的一段轨迹为无穷大半

32、径的圆弧，圆弧以曲线上的一段轨迹为无穷大半径的圆弧，圆弧以顺顺时针方向时针方向绕原点转绕原点转n n 弧度。即弧度。即g(s)h(s)g(s)h(s)n n n由于奈氏围线上下对称，可以在由于奈氏围线上下对称，可以在s s平面上只画平面上只画 为正的奈氏围线，这为正的奈氏围线，这时闭环系统稳定的充分必要条件是：时闭环系统稳定的充分必要条件是： g(s)h(s)g(s)h(s)轨迹逆时针方向包围（轨迹逆时针方向包围（1 1，j0j0）点）点p/2p/2次。次。n此时的此时的g(s)h(s)g(s)h(s)轨迹由开环极坐标图和辅助圆构成，辅助圆起点在轨迹由开环极坐标图和辅助圆构成，辅助圆起点在实轴

33、上，沿半径为无穷大的圆弧顺时针方向转过实轴上，沿半径为无穷大的圆弧顺时针方向转过n n个象限（相应的转个象限（相应的转角增量为角增量为n n /2/2）。）。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）37关于奈氏稳定判据的说明（关于奈氏稳定判据的说明（3 32 2）n n型系统的辅助圆型系统的辅助圆 2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）38关于奈氏稳定判据的说明（关于奈氏稳定判据的说明（3 33 3）n对任意对任意n n型最小相位系统，闭环系统稳定的充分必要条件是系统的开环频型最小相位系统，闭环系统稳定的充分必要条件是系统的开环频率特性的极坐标图（率特性的极坐标图（

34、从从0 0到到 ）及辅助圆构成的）及辅助圆构成的g(s)h(s)g(s)h(s)图不包围（图不包围（1 1，j0j0）点。）点。q在例在例6 6中，当中，当k k0 0由由2 2变到变到2020时，时， g(s)h(s)g(s)h(s)轨迹从不包围（轨迹从不包围（1 1，j0j0）点）点变为包围（变为包围（1 1，j0j0）点，系统由稳定变为不稳定。）点，系统由稳定变为不稳定。q使使g(s)h(s)g(s)h(s)轨迹通过（轨迹通过（1 1，j0j0）点的）点的k k0 0为系统的临界开环增益，在为系统的临界开环增益，在此参数下系统处于临界稳定状态，（此参数下系统处于临界稳定状态，（1 1，j

35、0j0）点称为特征点。）点称为特征点。q判断系统稳定性时只需确定奈氏图与特征点的相对关系，而不必注意判断系统稳定性时只需确定奈氏图与特征点的相对关系，而不必注意奈氏图的精确形状。奈氏图的精确形状。n由于奈氏图与伯德图有对应关系，因此奈氏图与特征点的关系也可在开由于奈氏图与伯德图有对应关系，因此奈氏图与特征点的关系也可在开环对数坐标下反映出来，因而可直接从开环对数坐标图来判断系统的稳环对数坐标下反映出来，因而可直接从开环对数坐标图来判断系统的稳定性。定性。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）39用频率法分析系统的稳定性用频率法分析系统的稳定性n映射定理映射定理n奈氏判据奈氏判据n

36、对数判据对数判据n稳定裕量稳定裕量2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）40对数判据对数判据开环极坐标图与开环对数坐标图的对应关系（开环极坐标图与开环对数坐标图的对应关系（1 1）ng(jg(j )h(j)h(j ) )平面上平面上a=1a=1的单位园，对应于开环对数坐标图上的单位园，对应于开环对数坐标图上l=0dbl=0db的水平线。的水平线。ng(jg(j )h(j)h(j ) )平面上的负实轴（平面上的负实轴（ 180180 ）对应于开环对数坐标图上）对应于开环对数坐标图上 180180 的水平线。的水平线。n使使l(l( ) )0 0时的频率称时的频率称增益交界频率增益交

37、界频率或或开环截止频率开环截止频率，通常用，通常用 0 0表示。表示。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）41对数判据对数判据开环极坐标图与开环对数坐标图的对应关系（开环极坐标图与开环对数坐标图的对应关系（2 2）n奈氏图每包围（奈氏图每包围（1 1，j0j0）点一次，必在）点一次，必在a1a1的条件下穿越负实轴一次。的条件下穿越负实轴一次。n奈氏图奈氏图逆时针逆时针方向包围（方向包围（1 1，j0j0）点时，是自上而下穿越负实轴，且）点时，是自上而下穿越负实轴，且相角是增大的，称为相角是增大的，称为正穿越正穿越。n奈氏图奈氏图顺时针顺时针方向包围（方向包围（1 1，j0j0）

38、点时，是自下而上穿越负实轴，且）点时，是自下而上穿越负实轴，且相角是减小的，称为相角是减小的，称为负穿越负穿越。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）42对数判据对数判据开环极坐标图与开环对数坐标图的对应关系（开环极坐标图与开环对数坐标图的对应关系（3 3）n奈氏图每包围（奈氏图每包围（1 1，j0j0）点一次，必在开环对数幅频特性）点一次，必在开环对数幅频特性l(l( )0)0的条件下，相频特性穿越的条件下，相频特性穿越180180 线线一次。一次。n正穿越对应正穿越对应 ( ( ) )曲线自下而上穿越曲线自下而上穿越180180 线线；n负穿越对应负穿越对应 ( ( ) )曲

39、线自上而下穿越曲线自上而下穿越180180 线线；2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）43对数判据对数判据 设 0 0为系统的为系统的增益交界频率增益交界频率（剪切频率或开环截止频（剪切频率或开环截止频率），率），n n、n n- -分别为正、负穿越次数；分别为正、负穿越次数；p p为系统开环为系统开环右极点数，则闭环系统稳定的充分必要条件为：右极点数，则闭环系统稳定的充分必要条件为： 在开环对数坐标图上，在在开环对数坐标图上，在 0 0的频段内，的频段内，相频特性穿越相频特性穿越180180 线的次数线的次数n n+ +n n- -p/2p/22021-11-24第十讲 控制

40、系统频率法分析（3）44例例7 7判断闭环系统的稳定性（判断闭环系统的稳定性（1 1）n系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：) 1()()(20tsskshsg2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）45例例7 7判断闭环系统的稳定性（判断闭环系统的稳定性（2 2）n根据对数判据，要使闭环系统稳定，应有根据对数判据，要使闭环系统稳定，应有n n+ +n n- -0 0；n本系统中，本系统中，n n+ +n n- -0 01 11 1，因此闭环系统不稳定。，因此闭环系统不稳定。n本系统中，无论本系统中，无论k k0 0为何值，开环频率特性图上的穿越次数为何值，开环频率特性图上

41、的穿越次数不变，系统总是不稳定的，即系统为不变，系统总是不稳定的，即系统为结构不稳定系统结构不稳定系统。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）46用频率法分析系统的稳定性用频率法分析系统的稳定性n映射定理映射定理n奈氏判据奈氏判据n对数判据对数判据n稳定裕量稳定裕量2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）47稳定裕量（稳定裕量（1 1）ng g（j j ）h h （j j ）曲线通过特）曲线通过特征点时，最小相位系统处于临征点时，最小相位系统处于临界稳定状态，此时阶跃响应呈界稳定状态，此时阶跃响应呈等幅振荡。等幅振荡。n在在g g（j j ）h h （j j ）曲线不

42、包）曲线不包围特征点的系统中，围特征点的系统中， g g（j j ）h h （j j ）曲线愈靠近特征点，）曲线愈靠近特征点，阶跃响应振荡性愈强。可以用阶跃响应振荡性愈强。可以用g g（j j ）h h （j j ）曲线靠近特）曲线靠近特征点的程度来表示系统相对稳征点的程度来表示系统相对稳定程度。定程度。n通常这种靠近程度以通常这种靠近程度以相位裕量相位裕量和和幅值裕量幅值裕量来度量。来度量。2021-11-24第十讲 控制系统频率法分析（3）48相位裕量（相位裕量（1 1）n在增益交界频率在增益交界频率 0 0上，使系统达到临上，使系统达到临界稳定状态所需要界稳定状态所需要附加的相位滞后量，附加的相位滞后量，称为称为相位裕量相位裕量或或pmpm，以以