消费者最优选择和需求分析

1、1 , 第第2 2章章 消费者最优选择和需求分析消费者最优选择和需求分析 上一章根据消费者的偏好结构建立了效用函数，利用效用函数可以刻画消费者在上一章根据消费者的偏好结构建立了效用函数，利用效用函数可以刻画消费者在既定收入约束下的最优选择行为，并从中推导出消费对商品的需求函数。其中的逻辑既定收入约束下的最优选择行为，并从中推导出消费对商品的需求函数。其中的逻辑过程是：偏好关系过程是：偏好关系效用函数效用函数需求函数，本章将在这一逻辑框架下来分析消费者的需求函数，本章将在这一逻辑框架下来分析消费者的最优选择问题。消费者最优选择问题可以归结为消费者在既定收入约束条件下的效用最优选择问题。消费者最优

2、选择问题可以归结为消费者在既定收入约束条件下的效用极大化问题或为既定效用水平下的支出极小化问题，这两个问题互为对偶问题，对前极大化问题或为既定效用水平下的支出极小化问题，这两个问题互为对偶问题，对前一问题的求解所得到的需求函数为马歇尔需求函数，而通过对后一个问题的求解所得一问题的求解所得到的需求函数为马歇尔需求函数，而通过对后一个问题的求解所得到的需求函数为希克斯需求函数。通过本章的学习，你可以了解：到的需求函数为希克斯需求函数。通过本章的学习，你可以了解： 消费者效用极大化问题；消费者效用极大化问题；消费者支出极小化问题：消费者支出极小化问题：对偶原理；对偶原理；需求的比较静态分析；需求的比

3、较静态分析；需求弹性需求弹性; ; 2 , 2.1 2.1 消费者的最优选择：效用极大化问题消费者的最优选择：效用极大化问题n效用最大问题与马歇尔需求函数效用最大问题与马歇尔需求函数n间接效用函数及其性质间接效用函数及其性质n马歇尔需求函数与间接效用函数的关系：罗伊恒等式马歇尔需求函数与间接效用函数的关系：罗伊恒等式32021-11-24 , 2.1.1 2.1.1 效用最大问题与马歇尔需求效用最大问题与马歇尔需求函数函数n效用最大化问题的基本形式效用最大化问题的基本形式n效用最大化问题的均衡解效用最大化问题的均衡解n马歇尔需求函数马歇尔需求函数4 , A A、效用极大化问题的基本形式、效用极

4、大化问题的基本形式 .( . )max ( )nx Rs tp xm2 1u x5 , B B、均衡解与马歇尔需求函数、均衡解与马歇尔需求函数n瓦尔拉斯法则：最优解总是把钱化光，即瓦尔拉斯法则：最优解总是把钱化光，即p*n 这与这与x*是最优解矛盾是最优解矛盾n均衡解的充要条件：如果均衡解的充要条件：如果u(x)具有良好性质，即具有良好性质，即u(x)可导，则根据拉格朗日函数：可导，则根据拉格朗日函数：n一个例子（见：例一个例子（见：例2.1）*,(*)(*)(*)pxm x0p x xmu xu x x若若令令则则L(x,)=u(x)- (px-m )( ) iiLxu xx p0Lp xm

5、0*( , )xxp y（马歇尔需求函数）（马歇尔需求函数）6 , 2.1.2 2.1.2 间接效用函数及其性质间接效用函数及其性质n间接效用函数的定义间接效用函数的定义n间接效用函数的性质间接效用函数的性质7 , A A、间接效用函数的定义、间接效用函数的定义n效用最大化问题的目标函数效用最大化问题的目标函数 直接表明了效用与消费量之间的直接表明了效用与消费量之间的关系，因此又被称为直接效用函数，根据直接效用函数和预算约束所关系，因此又被称为直接效用函数，根据直接效用函数和预算约束所得到的最优解得到的最优解 反映了在不同价格和收入水平下消费者对商品反映了在不同价格和收入水平下消费者对商品的需

6、求，将效用最大化的最优解带入直接效用函数所得到的函数被定的需求，将效用最大化的最优解带入直接效用函数所得到的函数被定义为间接效用函数，记为：义为间接效用函数，记为： ，即：，即：)(xuu ),(mpx),(*),(mpxumpv(,)m ax(*)(.). :nxRvp mux2 2s tpxm8 , B B、间接效用函数的性质、间接效用函数的性质如果直接效用函数在上是连续且严格递增的，那么间接效用函数就一定如果直接效用函数在上是连续且严格递增的，那么间接效用函数就一定具有以下几个性质：具有以下几个性质： 性质性质1 1： 在在 上是连续的上是连续的11； 性质性质2 2： 是关于是关于 的

7、零次齐次函数；的零次齐次函数； 性质性质3 3： 是关于是关于m m的严格递增函数；的严格递增函数； 性质性质4 4： 是关于是关于p p的严格递减函数的严格递减函数 性质性质5 5： 对价格对价格p p是拟凸是拟凸 性质性质6 6： 满足罗伊恒等式（满足罗伊恒等式（s s ） 1 1 表示预算集的定义域，其中：表示价格的定义域，下标表示预算集的定义域，其中：表示价格的定义域，下标“”是指严格为正，没有一维价格为是指严格为正，没有一维价格为0 0，n n表示有表示有n n维价格；维价格； 表示收入的定义域，收入可以为表示收入的定义域，收入可以为0 0。),(mpvnnRRnR),(mpv( ,

8、)p m),(mpv),(mpv),(mpv),(mpv9 , 证明性质证明性质1 1：n性质性质1 1是说，当收入与价格发生微量的变化是说，当收入与价格发生微量的变化时，极大化了的效用也会发生微量的变化。时，极大化了的效用也会发生微量的变化。这是很自然的，因为如果这是很自然的，因为如果u(x)u(x)是连续的，是连续的，那么其极大化了的值也是连续的。那么其极大化了的值也是连续的。 10 , 证明性质证明性质2 2：n性性2 2质是说，当价格和收入同比率变动时，效用不会发生质是说，当价格和收入同比率变动时，效用不会发生变动。为此需要证明对于所有变动。为此需要证明对于所有t0t0，有，有: :n

9、 由于由于: : ，它显然等价于：，它显然等价于：n 即：即：n 性质性质2 2得证。得证。 ),(),(),(mpvmpvttmtpv0 (,)max ( ), . :nx Rv tp tmu x st tpxtmmax ( ), . :nx Ru x st p xm(,)max ( ), . :( ,)nx Rv tp tmu x st p xmv p m11 , 证明性质3：n即要证明即要证明 。由于。由于, ，这里，这里 中中的的x是效用极大化时的是效用极大化时的x，即，即*()它是关于参数它是关于参数p和和m的函数。按照包络定理的函数。按照包络定理 ( ，详细内容见附录详细内容见附录

10、2.1) ，对，对()关于关于m的偏导，只要对的偏导，只要对 的的拉格朗日函数拉格朗日函数 求关于求关于m的导数即可：的导数即可：n由于由于 （1,2,），又由于），又由于 ， ,则必有则必有 ,因此：因此： 即即性质性质3得证。得证。 0mmpv),( , )max ( ), . :nx Rv p mu x st pxmnRxxu)(maxmax ( ), . :nx Ru x st pxm)()(pxmxuL*( ,)( ,)( , )( . )x xp mv p mL x 2 3mm0pxxuxxLiii)(),(0pi0 xxui)(00mmpv),(12 , 证明性质4：n即要证明即

11、要证明 。用与证明性质。用与证明性质3相同的方法，可得：相同的方法，可得：n由于：由于： ， ，因此：，因此：n 即性质即性质4得证得证0pmpvi),(*( ,)( ,)( , )( . )iiix xp mv p mL x x2 4pp 00 xi0 xpmpvii),(13 , 性质5的证明：n即要证明，对于所有的即要证明，对于所有的a， 是一个凸集是一个凸集n假设假设p1和和p2满足满足n 定义预算集：定义预算集：n n 可以断言：可以断言： ，若不然，存在某个，若不然，存在某个x：n 这意味着：这意味着：n 但：但： ，这显然不可能，这显然不可能n 因此：因此：p v p ma: (

12、 ,) 12(,), (,)v p ma v pmaampvpttpptt),()(。我我们们只只要要证证明明：令令2111122:ttBxp xmBxp xmBxp xm12tBBB12,txBxBxB但但121()tp xtp xt p xm12,p xm p xm112212111()()(),(,)ttttp xmtp xtmp xmt p xt mtpt pxmp xm xBxBpm与矛盾ampvampvaBBBBBxxuBxxumpvttt),(),(,)(max)(max),(212121和和因为因为因为因为属于属于满足满足属于属于满足满足14 , 2.1.3 2.1.3 罗伊恒

13、等式（罗伊恒等式（s s ）n罗伊恒等式是说：若间接效用函数罗伊恒等式是说：若间接效用函数v()已知，且连续可导，已知，且连续可导，则根据其可以直接推导出马歇尔需求函数则根据其可以直接推导出马歇尔需求函数x()， 即：即：n上式即为罗伊恒等式，罗伊恒等式刻画了马歇尔需求函数上式即为罗伊恒等式，罗伊恒等式刻画了马歇尔需求函数和间接效用函数之间的关系。和间接效用函数之间的关系。n罗伊恒等式的证明：将等式罗伊恒等式的证明：将等式(2.4)除以等式除以等式(2.3)可得证。可得证。n一个例子：见例题一个例子：见例题2.2 ( ,)( ,)( ,)iiv p mpxp mv p mm 15 , 恒等式的

14、其它证明方法：恒等式的其它证明方法：n以上我们利用包络定理证明了恒等式，但还有其它方法可以上我们利用包络定理证明了恒等式，但还有其它方法可以证明，试按下面的方法证明之：以证明，试按下面的方法证明之：n直接从间接效用函数的定义出发，使用效用最大化的一阶直接从间接效用函数的定义出发，使用效用最大化的一阶条件（）条件（）16 , 2.2 2.2 消费者最优选择：支出最小化问题消费者最优选择：支出最小化问题 上一节讨论的是消费者在既定的收入约束下如何选择商品，以使上一节讨论的是消费者在既定的收入约束下如何选择商品，以使自己获得最大的效用。消费者的这种最优选择问题也可以从另一个角自己获得最大的效用。消费

15、者的这种最优选择问题也可以从另一个角度考虑，即为了获得既定的效用水平，消费者如何选择商品，以使自度考虑，即为了获得既定的效用水平，消费者如何选择商品，以使自己的支出最小，这就是所谓的支出最小化问题。己的支出最小，这就是所谓的支出最小化问题。 支出最小化问题与希克斯需求函数支出最小化问题与希克斯需求函数支出函数及其性质支出函数及其性质希克斯需求函数与支出函数的关系：谢泼德引理希克斯需求函数与支出函数的关系：谢泼德引理 17 , 2.2.1 2.2.1 支出最小化问题与希克斯需求函数支出最小化问题与希克斯需求函数n支出最小化问题的基本形式支出最小化问题的基本形式n支出最小化问题的均衡解支出最小化问

16、题的均衡解n希克斯需求函数希克斯需求函数18 , A A、支出最小化问题的形式、支出最小化问题的形式min. : ( )( . )0pxst u xu2 619 , B B、均衡解与希克斯函数、均衡解与希克斯函数n构建支出最小化问题的拉格朗日函数构建支出最小化问题的拉格朗日函数n根据支出最小化一阶条件：根据支出最小化一阶条件：n根据（根据（2.82.8）和（）和（2.92.9）可得：）可得： （希克斯需求函数）（希克斯需求函数）n希克斯需求函数是一个关于价格和效用水平的函数，它刻画了在既定价希克斯需求函数是一个关于价格和效用水平的函数，它刻画了在既定价格和效用水平下，消费者实现支出最小化时对商

17、品的需求量。格和效用水平下，消费者实现支出最小化时对商品的需求量。 ( )( . )0Lp x u xu2 7( ),( . )iiiiiLu xppu0i1n2 8xx (,)( . )120Lu xxu02 9 *( , )xxp u20 , 2.2.2 2.2.2 支出函数及其性质支出函数及其性质n支出函数的定义支出函数的定义n支出函数的性质支出函数的性质21 , A A、支出函数的定义、支出函数的定义n将支出最小化问题的解代如其目标函数而得到的函数即为将支出最小化问题的解代如其目标函数而得到的函数即为支出函数，记为支出函数，记为e():),(),(upxpupeh( , )min. :

18、 ( )( .)n0 x Re p up xst u xu210即：，22 , B B、支出函数的性质、支出函数的性质 如果直接效用函数如果直接效用函数u(x)u(x)在上是连续且严格递增的，那么支出在上是连续且严格递增的，那么支出效用函数效用函数e()e()就一定具有以下几个性质：就一定具有以下几个性质： 性质性质1 1：e() e() 在在 上连续上连续 ； 性质性质2 2：e() e() 是关于是关于p p的一阶齐次函数；的一阶齐次函数； 性质性质3 3：e()e()是关于是关于p p的非递减函数；的非递减函数； 性质性质4 4：e()e()是关于是关于u u的严格递增函数的严格递增函数

19、性质性质5 5： e() e()是关于是关于p p的凹函数的凹函数nnRR 上述性质的证明方法与间接效用函数性质的证明方法类似，因此这里我们不给上述性质的证明方法与间接效用函数性质的证明方法类似，因此这里我们不给出以上性质的的证明过程，留做习题。出以上性质的的证明过程，留做习题。 23 , 2.2.2 谢泼德引理 ()n谢泼德引理是说：若支出函数谢泼德引理是说：若支出函数e()已知，且连续可导，则根已知，且连续可导，则根据支出函数可以直接推导出希克斯需求函数据支出函数可以直接推导出希克斯需求函数 即：即：n也就是说，给定支出函数，我们只需对其求关于也就是说，给定支出函数，我们只需对其求关于p的

20、导数的导数便可得到消费者的希克斯函数，这一结论就是所谓的谢泼便可得到消费者的希克斯函数，这一结论就是所谓的谢泼德引理，它刻画了支出函数与希克斯需求函数之间的关系。德引理，它刻画了支出函数与希克斯需求函数之间的关系。 ),(upxxhii( , )( , )( .)hiiie p uxxp u2 11p24 , 谢泼德引理的证明谢泼德引理的证明n由支出函数由支出函数 可知，可知， 中的中的x是最优消费束，即是最优消费束，即 ，而，而x*又是关于参数又是关于参数p和和u的函数。根据包络定理，对的函数。根据包络定理，对e()求求 的导数，只要对支出的导数，只要对支出函数函数 的拉格朗日函数求关于的拉

21、格朗日函数求关于 的的导数即可：导数即可：n一个例子：见例一个例子：见例2.3( , )min. : ( )n0 x Re p up xst u xu，nRxxpmin),(upxxxhiiip( , )min. : ( )n0 x Re p up xst u xu，ip),(*),(),(upxxpxLpupehiiii25 , 2.3 2.3 对偶原理对偶原理 消费者的效用极大化问题和支出最小化问题是一对对消费者的效用极大化问题和支出最小化问题是一对对偶问题，因为两者的行为原则是一致的，只是目标函数和偶问题，因为两者的行为原则是一致的，只是目标函数和约束条件正好相反。本节我们将给出与这一对

22、偶问题相关约束条件正好相反。本节我们将给出与这一对偶问题相关的几个重要的恒等式，以便将间接效用函数、支出效用函的几个重要的恒等式，以便将间接效用函数、支出效用函数、马歇尔需求函数和希克斯需求函数有机地联系起来。数、马歇尔需求函数和希克斯需求函数有机地联系起来。几个重要恒等式几个重要恒等式对偶原理的图示对偶原理的图示26 , 2.3.1 2.3.1 几个重要恒等式几个重要恒等式 如果效用函数是严格单调和连续的，且消费者效用极如果效用函数是严格单调和连续的，且消费者效用极大化和支出最小化问题均有解，则我们可以发现下面四个大化和支出最小化问题均有解，则我们可以发现下面四个恒等关系式：恒等关系式：恒等

23、式恒等式1 1：恒等式恒等式2 2：恒等式恒等式3 3：恒等式恒等式4 4： ),(,),(mpvpxmpxhii),(,),(upepxupxihimmpvpe),(,uupepv),(,马歇尔需求函数马歇尔需求函数与希克斯需求函数的对偶关系与希克斯需求函数的对偶关系间接效用函数与支出函数的间接效用函数与支出函数的对偶关系对偶关系27 , A A、恒等式、恒等式1 1：n恒等式恒等式1说的是，价格为说的是，价格为p、收入、收入m为时的马歇尔需求函数恰好等于价格为为时的马歇尔需求函数恰好等于价格为p、效用水平为效用水平为v()（即在价格为（即在价格为p且收入为且收入为m情况下所获得的最大效用）

24、时的希情况下所获得的最大效用）时的希克斯需求函数。克斯需求函数。n证明恒等式证明恒等式1：见附录：见附录2.2),(,),(mpvpxmpxhii),(max),(.)(maxmpvumpxxmpxtsxuu),(,(),(.minmpvpxxmpvutspxhh( ,)( , ( ,)hx p mxp v p m28 , B B、恒等式、恒等式2 2：n恒等式恒等式2说得是，价格为说得是，价格为p、效用水平为、效用水平为u时的希克斯需求函数恰好等于价格为时的希克斯需求函数恰好等于价格为p、收入为、收入为e()（即在价格为（即在价格为p且效用为且效用为u情况下的最小支出）时的马歇尔需求函情况下

25、的最小支出）时的马歇尔需求函数。数。),(,),(upepxupxihi),(min),()(.minupepxupxxuxutspxhh),(,(),(.)(maxupepxxupepxtsxu( , )( , ( , )hxp ux p e p u29 , B B、恒等式、恒等式2 2：n恒等式恒等式2说得是，价格为说得是，价格为p、效用水平为、效用水平为u时的希克斯需求函数恰好等于价格为时的希克斯需求函数恰好等于价格为p、收入为、收入为e()（即在价格为（即在价格为p且效用为且效用为u情况下的最小支出）时的马歇尔需求函数。情况下的最小支出）时的马歇尔需求函数。n恒等式恒等式2的证明：的证

26、明： 设设 是最小支出问题是最小支出问题 的解，即的解，即 将这样定义的支出水平置换到最大效用问题的约束条件中，只需证明将这样定义的支出水平置换到最大效用问题的约束条件中，只需证明 仍然是最仍然是最大效用问题大效用问题 的解即可。的解即可。n假定上述效用最大化的解为假定上述效用最大化的解为 且，因此且，因此 ,由于由于u是连是连续严格递增函数，因此必然有一个续严格递增函数，因此必然有一个x满足满足 ，因此有：，因此有： n（1）意味着消费束）意味着消费束x 属于支出最小化问题的可行集；（属于支出最小化问题的可行集；（2）意味着购买）意味着购买x的支出的支出要小于购买要小于购买x的支出，这意味着

27、的支出，这意味着 不是支出最小化问题的解的结论，这与假设矛不是支出最小化问题的解的结论，这与假设矛盾，因此恒等式盾，因此恒等式2得证。得证。),(,),(upepxupxihi( , )hxp u( , )( , )hm px pue pu( , )hxp u,( , )hxxxp u且且( )( , )hu xu xp u( , )()()hu xp uu xu x( , )hxp umax( ). .( , )uu xstpxe p u(1) ( );(2) u xuxxpxpxmmin. .( )pxstu xu30 , C C、恒等式、恒等式3 3 ：n恒等式恒等式3说的是，价格为说的

28、是，价格为p、效用水平为、效用水平为v()（即在价格为（即在价格为p且收入为且收入为m情况下所情况下所获得的最大效用）时的最小支出恰好等于获得的最大效用）时的最小支出恰好等于m；n证明：根据恒等式证明：根据恒等式1： ，这说明，这说明 和和 属属于同一个消费束，因此它们对应的收入（支出）水平是相同的。于同一个消费束，因此它们对应的收入（支出）水平是相同的。 对应对应的收入水平是的收入水平是m，而，而 所所 对应的收入水平就是对应的收入水平就是 。所以。所以一定有：一定有：mmpvpe),(,),(,),(mpvpxmpxhiiix( p,m)hix p,v( p,m)ix( p,m)hix p

29、,v( p,m)e( p,v( p,m)mmpvpe),(,),(max),(*.)(maxmpvumpxxmpxtsxuummpvpepxmpvpxxmpvutspxhh) ),(,(min),(,(),(.min?31 , D D、恒等式、恒等式4 4 ：n恒等式恒等式4说的是，价格为说的是，价格为p、收入为、收入为e()（即在价格为（即在价格为p且效用为且效用为u情况下所支付情况下所支付的最小支出）时的最大效用恰好等于的最小支出）时的最大效用恰好等于u。n证明：根据恒等式证明：根据恒等式2： ，这说明，这说明 和和 属属于同一个消费束，因此它们对应的效用水平是相同的。于同一个消费束，因此

30、它们对应的效用水平是相同的。 对应的效用水对应的效用水平是平是u，而，而 所对应的效用水平就是所对应的效用水平就是 。所以一定有：。所以一定有： n一个例题：见例一个例题：见例2.4 uupepv),(,),(,),(upepxupxihihix ( p,u )ix p,e( p,u )hix ( p,u )ix p,e( p,u )v p,e( p,u ),(,),(upepxupxihi),(min),()(.minupepxupxxuxutspxhhuupepvxuupepxxupepxtsxuu) ),(,()(max),(,(*),(.)(max?32 , 图2-1：几个恒等式的说明

31、 x1p1x1(p,m)=x1h p,v(p,m)：恒等式1x1h(p,u)=x1p,e(p,u)：恒等式2x1*=x1h(p,u)= x1hp,v(p,m)=x1(p,m) p1*u=v(p,m)=vp,e(p,u)：恒等式4m/p2x2x1x2*E, (,)11me p v p mpp： 恒等式3x1*1() = x1h()33 , 2.3.2 2.3.2 对偶原理的图示对偶原理的图示图23 对偶原理的流程图 解出反函数u马歇尔需求函数马歇尔需求函数x(p,m)希克斯需求函数希克斯需求函数代入目标函数罗伊恒等式代入目标函数谢泼德引理支出函数支出函数e(p,u)解出反函数m间接效用函数间接效

32、用函数v(p,m)( , )hxp u代入m=e(p,u)mxptsxu. .)(maxuxutsxp)(. .min代入u=v(p,m)34 , 2.4 2.4 消费者行为的比较静态分析消费者行为的比较静态分析 以上我们分析消费者的最优选择行为时，一直都假设价格和收入以上我们分析消费者的最优选择行为时，一直都假设价格和收入都是不变的，即把和作为参数处理，本节我们将取消这一假设，考察都是不变的，即把和作为参数处理，本节我们将取消这一假设，考察当当p p和和m m发生变化时，消费者的最优消费束会发生什么变化。对这一问发生变化时，消费者的最优消费束会发生什么变化。对这一问题的分析即为消费者行为的比

33、较静态分析，它刻画了消费者的最优消题的分析即为消费者行为的比较静态分析，它刻画了消费者的最优消费束随着价格和收入变动而变动的轨迹。费束随着价格和收入变动而变动的轨迹。价格消费曲线、需求曲线；收入消费曲线、恩格尔曲线价格消费曲线、需求曲线；收入消费曲线、恩格尔曲线价格变动的替代效应和收入效应价格变动的替代效应和收入效应斯卢茨基方程斯卢茨基方程35 , 2.4.1 价格消费曲线价格消费曲线()和需求曲线和需求曲线() 收入消费曲线收入消费曲线()和恩格尔曲线和恩格尔曲线()x2x1DCx1P图图2-3 一般品的一般品的PCC和和DCPCCx2x1ECx1m图图2-3 正常品的正常品的ICC和和EC

34、ICC几个特殊偏好的、和几个特殊偏好的、和n完全替代偏好（完全替代偏好（ ）的、和、）的、和、n完全互补偏好（完全互补偏好（ ）的、和和、）的、和和、n偏好（偏好（ ）的、和、）的、和、n位似偏好的、和、位似偏好的、和、n拟线性偏好（拟线性偏好（ ） 的、和、的、和、36 , uxx12ux x12min, ux x12 uv xx12() （1）完全替代偏好的、和）完全替代偏好的、和37 , uxx12（2）完全互补偏好的、和）完全互补偏好的、和38 , ux x12min, （3）偏好的、和）偏好的、和39 , ux x12 （4）位似偏好的、和）位似偏好的、和40 , 位似偏好：位似偏好

35、：完全替代、完全互补和偏好都是位似偏好完全替代、完全互补和偏好都是位似偏好121212120(,)(,),(,)(,)ifx xyyttx txty ty 齐次效用函数的边际技术替代率只与各投入要素齐次效用函数的边际技术替代率只与各投入要素的投入比例有关，而与投入规模的投入比例有关，而与投入规模t无关。无关。将一次齐次效用函数做一个正的单调变将一次齐次效用函数做一个正的单调变换所得到的效用函数就是位似效用函数。换所得到的效用函数就是位似效用函数。即：如果即：如果f(x)g(x)，且，且F()0， g(x)是一次齐次生产函数，则是一次齐次生产函数，则f(x)即为位似即为位似函数。函数。（5）拟线

36、性偏好的、和）拟线性偏好的、和41 , uv xx12() 42 , 2.4.2 2.4.2 价格变动的替代效应与收入效应价格变动的替代效应与收入效应 商品价格的变动会导致消费者对商品需求量的变动商品价格的变动会导致消费者对商品需求量的变动(这是价格变这是价格变动的总效应，动的总效应， )，在这种变动中一部分是由价格变动的替代效应（，在这种变动中一部分是由价格变动的替代效应（ ）引起的（即：某商品价格变动后，使得该商品相对于其替代品而言变引起的（即：某商品价格变动后，使得该商品相对于其替代品而言变得更贵或更便宜，由此所导致的消费者对该商品需求量的变动），一得更贵或更便宜，由此所导致的消费者对该

37、商品需求量的变动），一部分是由价格变动的收入效用（部分是由价格变动的收入效用（ ）所引起的（即：某商品价格变动）所引起的（即：某商品价格变动后，使得消费者实际收入或实际购买力发生变动，由此而导致的消费后，使得消费者实际收入或实际购买力发生变动，由此而导致的消费者对该商品需求量的变动）。那么在价格变动所导致的需求量总变动者对该商品需求量的变动）。那么在价格变动所导致的需求量总变动中，有多少是由替代效用所导致的，又有多少是由收入效应所导致的中，有多少是由替代效用所导致的，又有多少是由收入效应所导致的呢？这便是本节所要解决的问题。呢？这便是本节所要解决的问题。43 , 图图2.4：（：（a）替代效应

38、与收入效应）替代效应与收入效应 （b）马歇尔需求曲线与希克斯需求曲线）马歇尔需求曲线与希克斯需求曲线 01x21x1x0211pp0201ppAM(a)(b)TEx2E0E0p1x1x101xS1x21xSEIEu0u1BBN),(mppx0211马歇尔需求函数：),(0021h1uppx希克斯需求函数：E1马歇尔需求马歇尔需求 既包括了替代效应既包括了替代效应又包含了收入效应，又包含了收入效应，希克斯需求希克斯需求 只包含替代效应，只包含替代效应，所以马歇尔需求曲所以马歇尔需求曲线会比希克斯需求线会比希克斯需求曲线更平坦一些，曲线更平坦一些，见图见图2.4（b）。）。 ),(mppx0211

39、),(0021h1uppx44 , 2.4.3 2.4.3 斯卢茨基方程（斯卢茨基方程（ ） 价格变化的总效应表现为马歇尔需求曲线上的需求量变化，而价价格变化的总效应表现为马歇尔需求曲线上的需求量变化，而价格变动的替代效应表现为希克斯需求曲线上的需求量变化，因此我们格变动的替代效应表现为希克斯需求曲线上的需求量变化，因此我们可以利用马歇尔需求曲线与希克斯需求曲线的这一关系来分解价格变可以利用马歇尔需求曲线与希克斯需求曲线的这一关系来分解价格变化的替代效应和收入效应，斯卢茨基方程（化的替代效应和收入效应，斯卢茨基方程（ ）正是反映这一分解方）正是反映这一分解方法的数学工具。法的数学工具。斯卢茨基

40、方程及其证明斯卢茨基方程及其证明关于斯卢茨基方程的几点说明关于斯卢茨基方程的几点说明 45 , A A、斯卢茨基方程及其证明、斯卢茨基方程及其证明n令令x()为消费者的马歇尔需求，为消费者的马歇尔需求，u*为消费者在价格为为消费者在价格为p和收入和收入m为时所为时所达到的最大效用水平（即达到的最大效用水平（即u*()），则斯卢茨基方程为：），则斯卢茨基方程为：n斯卢茨基方程右边的第一项是价格变动对商品需求量所产生替代效应，斯卢茨基方程右边的第一项是价格变动对商品需求量所产生替代效应，第二项则是价格变动对商品需求量所产生的收入效应。因此，斯卢茨第二项则是价格变动对商品需求量所产生的收入效应。因此

41、，斯卢茨基方程为替代效应和收入效应提供了一个简洁的分析表达式，并且揭基方程为替代效应和收入效应提供了一个简洁的分析表达式，并且揭示了可观察的马歇尔需求函数和不可观察的希克斯需求函数在面临价示了可观察的马歇尔需求函数和不可观察的希克斯需求函数在面临价格变动时的相互关系。格变动时的相互关系。n 斯卢茨基方程的证明：见附录斯卢茨基方程的证明：见附录2.3(,)(, *)(,)(,),( .)hiiijjjIETESExp mxp uxp mxp mi j1n2 12ppm 46 , B B、关于斯卢茨基方程的几点说明、关于斯卢茨基方程的几点说明n自价格效应自价格效应n斯卢茨基方程对需求法则的修正斯卢

42、茨基方程对需求法则的修正 n交叉价格效应及其对称性交叉价格效应及其对称性 47 , 自价格效应自价格效应n当当ij，则等式（，则等式（2.12）就变成：）就变成： n上式便是商品关于自身价格变动的斯卢茨基方程，它反映了商品自身上式便是商品关于自身价格变动的斯卢茨基方程，它反映了商品自身价格变化的替代效应和收入效应。价格变化的替代效应和收入效应。n商品自身价格变化的替代效应总是小于商品自身价格变化的替代效应总是小于0的，即：的，即：n 根据谢泼德引理有：根据谢泼德引理有： ，并且对其再次求关于的微分，并且对其再次求关于的微分，可得：可得：n因此要证明因此要证明 ，只要证明，只要证明 即可，而由于

43、支出即可，而由于支出函数是关于价格的凹函数函数是关于价格的凹函数(祥见附录祥见附录2.4) ，因此必有，因此必有 *( , )( ,)( , )( , )( .)hiiiiiix p mxp ux p mx p m213ppm*(,),( .)hiixp u0ij1n2 14p),(),(upxpupehiiihi2i2pupxpupe),(),(0pupxihi),(*0pupe2i2),(0pupe2i2),(48 , 斯卢茨基方程对需求法则的修正斯卢茨基方程对需求法则的修正n需求法则的古典命题（斯卢茨基方程的表述）：需求法则的古典命题（斯卢茨基方程的表述）：n但是上式并不总是成立，这意味

44、着需求法则并不是对所有的商品都成但是上式并不总是成立，这意味着需求法则并不是对所有的商品都成立。根据不等式（立。根据不等式（2.15）有：）有： ，因此不等式（，因此不等式（2.15）也即）也即需求法则是否成立就与需求法则是否成立就与 的符号相关。的符号相关。n如果如果i是正常商品是正常商品, 则则 ，（，（2.15）必然成立，也即）必然成立，也即需求法则成立。需求法则成立。n如果如果i是劣等商品，则是劣等商品，则 ，（，（2.15）是否成立取决于：）是否成立取决于：n 和和 的大小。的大小。*( ,)( ,)( ,)( ,)( .)hiiiiiix p mxp ux p mx p m02 1

45、5ppm0pupxihi),(*mmpxmpxii),(),(0mmpxmpxii),(),( ,)( ,)iix p mx p m0m2hipmpx),(mmpxmpxii),(),(49 , 交叉价格效应及其对称性交叉价格效应及其对称性n交叉价格效应：交叉价格效应：n交叉价格替代效应的对称性交叉价格替代效应的对称性n等式（等式（2.17）的证明：见附录）的证明：见附录2.5( ,)( , *)( ,)( ,)( .)hiiijjjIETESEx p mxp ux p mxp mij2 16ppm 交叉价格交叉价格( , )( , ),( .)hhjijixp uxp ui j1n2 17pp502021-11-24 , 2.5 2.5 需求弹性需求弹性n弹性（弹性（）是刻画因变量（）是刻画因变量（Y）变化对自变量（）变化对自变量（X）变化反）变化反应程度的一种度量指标。一般有：应程度的一种度量指标。一般有：n若自变量（若自变量（X）只发生微小的变化，即）只发生微小的变化，即X0，则：，则： YY YY XXX XX Y因变量（ ）变化的百分比自变量（ ）变化的百分比X0X0Y YY XdY XlimlimX XX YdX Y51 , 2.5.1 需求弹性的定义需求弹性的定义n需求自身价格弹性需求自身价