概率论与数理统计：4-2 方差

1、概率论与数理统计第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 2 2 方差方差概率论与数理统计4.2.1 4.2.1 方差的定义方差的定义 概率论与数理统计例如例如：前面提到的检查灯泡的质量，我们不仅要知道某：前面提到的检查灯泡的质量，我们不仅要知道某工厂生产的灯泡的平均寿命，并且希望对各个灯泡的寿工厂生产的灯泡的平均寿命，并且希望对各个灯泡的寿命与平均寿命之偏差有一个总括的了解，这样的才能全命与平均寿命之偏差有一个总括的了解，这样的才能全面的评定该工厂产品的质量如何。面的评定该工厂产品的质量如何。 若偏离程度较小，则表示质量比较稳定，从这个意义若偏离程度较小，则表示质量比较稳定，从这个

2、意义上来讲，我们认为质量较好。上来讲，我们认为质量较好。 概率论与数理统计 但是但是前者带有绝对值，运算不方便，所以我们采前者带有绝对值，运算不方便，所以我们采取后者运算。取后者运算。 概率论与数理统计定义定义 设设 X 是随机变量，若是随机变量，若 存在，存在， 2)( XEXE 则称则称 为为 X 的的 方差方差(variance),记为记为 D(X) 或或 Var(X). 2)( XEXE 即即 D(X) = Var(X)= 2)( XEXE )()(XDX 在应用上还引入与随机变量在应用上还引入与随机变量X 具有具有 相同量纲的量相同量纲的量 ，称为，称为标准差标准差（standard

3、 deviation）或或 均方差均方差（mean squave error）. 概率论与数理统计 按定义按定义,D(X) 表达了表达了 X 的取值与其期望的偏离程度的取值与其期望的偏离程度. 若若 X 的取值比较集中的取值比较集中 ,则较则较D(X)小小,反之，若取值比较反之，若取值比较分散，则分散，则 D(X)较大较大. 因此，因此，D(X)可视为用来刻画可视为用来刻画X 的的取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个量，它是衡量 X 取值分散程度的取值分散程度的一个尺度一个尺度.概率论与数理统计 12)()(kkkpXExXD概率论与数理统计)()(2XEXEXD 22)()(2X

4、EXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE 22)()()(XEXEXD (4.2.1)概率论与数理统计例例 1 设随机变量设随机变量 X 具有（具有（0 1）分布，其分布律为）分布，其分布律为 pXPpXP 1 ,1 0 求求 D ( X ). 解解：pppXE 1) 1 (0) (pppXE 2221) 1 (0) ( )1()()()(222ppppXEXEXD 概率论与数理统计例例 2 随机变量随机变量 X具有概率密度具有概率密度 其它其它 , 010 ,101 ,1)(xxxxxf求求 D(X).解解： dxxxfXE)()(0)1()1(1001 d

5、xxxdxxx61)1()1()(1020122 dxxxdxxxXE61)()()( 22 XEXEXD于是于是概率论与数理统计4.2.2 方差的性质方差的性质 现在来证明方差的几个重要的性质（以下设所遇现在来证明方差的几个重要的性质（以下设所遇到的随机变量的方差都存在）到的随机变量的方差都存在）（1）设）设 c 是常数，则是常数，则 D (c)= 0 . （2）设）设 X 是随机变量，是随机变量，c 是常数，是常数， 则有则有 )()(2XDccXD （3）设）设 X 、Y 是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量， 则有则有 )()()(YDXDYXD （4）D(X)= 0 的

6、充要条件是的充要条件是 X 以概率以概率 1 取常数，取常数， 即即 )( 1E(X)ccXP 概率论与数理统计证明证明 （1）、）、 （2）的证明读者自己完成，）的证明读者自己完成， （4）略。）略。下面我们来证下面我们来证 （3）：）：证证 2)()( )(YXEYXEYXD 2)()( YEYXEXE 22)()( YEYEXEXE )()(2YEYXEXE 概率论与数理统计由于由于 X 、Y 是相互独立的，故是相互独立的，故 X - E( X ) 与与 Y - E (Y )也也是相互独立的，由数学期望的性质知道，有是相互独立的，由数学期望的性质知道，有 0)()()()( YEYEXE

7、XEYEYXEXE)()()( YDXDYXD 故有故有概率论与数理统计（1）此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量）此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量的和的情况。即若的和的情况。即若 X、Y 、Z 相互独立，相互独立， 则有则有 )()()()(ZDYDXDZYXD （2）若）若 X 、Y 相互独立，相互独立， 则有则有 )()()(22YDbXDabYaXD )()()(YDXDYXD 概率论与数理统计例例 3 设设 相互独立，且服从同一相互独立，且服从同一nXXX,21(0-1)分布，分布律为分布，分布律为 ) , 2 , 1 ( , 1 ,1 0 nipXPpXPii nX

8、XXX 21(1)证明证明 服从服从 b(n,p) ;(2)求求 E(X)和和 D(X) .概率论与数理统计解解 (1)易见易见 X 所有可能取的值为所有可能取的值为0，1， ，n .由由独立性知独立性知 X 以特定的方式取以特定的方式取 k 的概率为的概率为 )0 (nk knkpp ) -1 (而而 X 取取 k 的两两互不相容的方式共有的两两互不相容的方式共有 种，故知种，故知 kn n , kppknkXPknk , ,10 ,)1( 概率论与数理统计（2）由）由 例例 1 知知nippXDpXEii , , 2 , 1 , ) 1 ( )( , )( 故故 npXEXEXEinini

9、i ) () ()( 11由于由于 相互独立，得相互独立，得nXXX , , , 21) -1 ( )( ) ( )( 11pnpXDXDXDininii )1( )( , )( pnpXDnpXE 即即 概率论与数理统计(X) )( )( )( * XEXXDXEXX . 1)( , 0)( * XDXE有有0(X) )( )( )()( )(* XEXEXDXEXEXE概率论与数理统计(X) )( (X) )( )(*DXEXDXEXDXD 22)()()(1XEXEXEXEXD 1)()()()(12 XDXDXEXEXD 当随机变量当随机变量 X 被标准化后，为研究随机变量的被标准化后，为研究随机变量的性质、计算及其在数理统计中的运用都带来很大方便。性质、计算及其在数理统计中的运用都带来很大方便。概率论与数理统计ABDCX 0 1