概率论与数理统计：2-2 离散型随机变量及其概率分布

1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2 2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布), 2 , 1( kxk (2.2.1) ), 2 , 1( kpxXPkk(2.2.3) 1 (2)(2.2.2) ), 2 , 1( 0 )1(1 kkkpkp设设 kA “射击时在第“射击时在第k k次击中” ，则事件次击中” ，则事件 kkAAAAkX121 的概率为的概率为 ,2, 1)1(1 kppkXPkppkXPk 1)1( 因因此此X的的分分布布律律为为 ,2,1 ,0 )1( kppkYPk,2,1 ,0,1 kppkYPk）（此式称为此式称为几何分布几何分布。 1

2、21 kkAAAAkY的概率为的概率为 因此因此Y的的分布律分布律为为 1,0 1 , 0 ,)1(1 pkppkXPkk(0(0- -1)1)分布的分布律为分布的分布律为 ),2,1 ,0(nkqpCkXPknkkn nknknkknqpqpCnkkXP01)( ),2,1 ,0(0 )1 , 0(1 kqpkXPkk0547. 0)21()21()21()21()21( 10988 )2(101010991028810 CCCXPXPXPXP;044. 0)21()21(8 )1(28810 CXP., 2 , 1 , 0, )1()(nkNMNMCkXPknkkn 上式称为上式称为超几何

3、分布超几何分布. . 200, 2 , 1 , 0,)98. 0()02. 0(200200 kCkXPkkk 泊松泊松 对对于于任任意意固固定定的的k k，当当 n时时，有有 故有故有 !)1(limkeppCkknnknknn 1)11()21)(11(1 nknn 1)1( ,)1( knnen 例例 5 5 中中，由由402. 0200 np 知知 在在 实实 际际 计计 算算 中中 ， 当当05. 020 pn、时时 用用)(!npkek 作作为为knkknppC )1(的的近近似似值值效效果果颇颇佳佳 , , 而而 且且 当当10100 npn、时时 效效 果果 更更 好好 。 x

4、kxkkkekXP! 的的值值可可查查附附表表 3 3。 20019817.01kkXPXP（查查表表） 证明证明 考虑怎样的考虑怎样的k k值使值使PX=k/PX=kPX=k/PX=k- -11大大于或小于于或小于 1,1,因为因为 )1()1(1)1()1(1pkkpnpkpknkXPkXP 当当 kPX=k-1; 当当 k=(n+1)p 时时，PX=k=PX=k-1; 当当 k(n+1)p 时时，PX=kPX=k-1。 因为（因为（n n+1+1）p p不一定是正整数，而二项分布的不一定是正整数，而二项分布的k k只 能 取 正 整 数 ， 所 以 存 在 正 整 数只 能 取 正 整

5、数 ， 所 以 存 在 正 整 数m m， 使 得， 使 得pnmpn)1(1)1( ，而且当，而且当k k从从 0 0 变到变到n n时，时，P P X X= =k k 先单调上升，当先单调上升，当k k= =m m时达到最大值，后又单调时达到最大值，后又单调下降。但若（下降。但若（n n+1+1）p p= =m m，则，则P P X X= =k k=P P X X= =k k- -11同时达同时达到最大值。到最大值。 使使kXP 取最大值的项取最大值的项mXP 称为二称为二项分布的项分布的中心项中心项，而，而m m称为称为最可能成功次数最可能成功次数。由上面讨。由上面讨论知论知)1(pnm

6、 。若。若pn)1( 是整数，则是整数，则 m m- -1 1 亦为最可亦为最可能成功次数。能成功次数。 5)1( ,01. 5)1( pnpn 所以最可能成功次数为所以最可能成功次数为 5 5。 于是于是 ! 55555 eXP 设设随随机机变变量量 X X 所所有有可可能能取取的的值值为为 0 0，1 1，2 2，而而取取各各个个值值的的概概率率为为 0001!kkkkkeekekekXP 2 2具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的的, ,特别集中在社会生活和物理学领域中。在社会生活特别集中在社会生活和物理学领域中。在社会生活中，泊松分布又尤其

7、适用于各种对服务的需求现象和排中，泊松分布又尤其适用于各种对服务的需求现象和排队现象。例如，在一个时间间隔内电话交换台收到的电队现象。例如，在一个时间间隔内电话交换台收到的电话的呼唤次数话的呼唤次数, , 某地区在某地区在一天内邮递遗失的信件数一天内邮递遗失的信件数, ,某一医院在一天内某一医院在一天内的急诊病人数等。在物理学方面，在一个时间间隔内某的急诊病人数等。在物理学方面，在一个时间间隔内某种放射性物质发出的，经过计数器计数的种放射性物质发出的，经过计数器计数的 粒子数都服粒子数都服从泊松分布。泊松分布也是概率论中的一种重要分布。从泊松分布。泊松分布也是概率论中的一种重要分布。 练习题

8、1、下面表中列出的是否是某个随机变量的分布律？ X 5 3 1 kp 0.2 .30 .50 (1) X 3 2 1 kp 0.1 .10 .70 (2) (3) (4) X 2 1 0n kp )31(21 )31(21 3121 212n X 2 1n kp )21( )21( 212n 答案：(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)是 答案：2719 答案：答案：31 答答案案：1)1()1( ,)1(1 nnnpnppp 答案： （1）51 （2）51 （3）51 答案：答案：3827 答案：答案： ,0, eXPec eeeXP22112 答案： X 3 2 1 kp 161 169 83 答案： （1）0.163 （2）0.353 答案：在设备发生故障时不能及时维修的概率第一种答案：在设备发生故障时不能及时维修的概率第一种方法比第二种方法大。方法比第二种方法大。 答案： （1）0.9596 （2）0.6160 （3）8 k 答案：0.7102 答案：22 答案： （1）0.029771 （2）0.002840 答案：13 答案： 不是整数不是整数，若，若是整数是整数若若 , 1k 历史上，泊松