初中数学中考专题复习试题----二次函数

1、1 二次函数目标1.理解二次函数的概念;掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；2.会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3.会用待定系数法求二次函数的解析式；4. 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值5.理解二次函数与一元二次方程之间的关系；6.会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；7.会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。8.会利用二次函数的图象及性质解决有关几何问题。重点二次函数的概念、图像和性质；二次函数解析式的确定。二次函

2、数性质的综合运用难点二次函数的图像与系数的关系以及抛物线的平移规律；二次函数性质的综合运用一： 【课前预习 】（一） ： 【知识梳理】1 二 次 函 数 的 定 义 ： 形 如2yaxbxc（）的函数为二次函数【名师提醒：二次函数 y=kx 2+bx+c(a 0)的结构特征是：1、等号左边是函数， 右边是关 于 自 变 量 x 的 二次式， x 的最高次数是，按一次排列2、强调二次项系数a 0】2二次函数的图象及性质：（ 1 ） 二 次 函 数2yaxbxc的 图 象 是 一条顶点为 _，对称轴 _；当 a0 时，抛物线开口向，图象有_ （最大值），且x2ba，y 随 x 的增大而，x2ba，

3、y 随 x 的增大而；当 a0 时，抛物线开口向，图象有，且x2ba，y 随 x 的增大而，x2ba，y 随 x的增大而（ 3）当a 0 时，当x=2ba时，函数为244acba；当 a0 时，当 x=2ba时，函数为244acba3. 二次函数表达式的求法：（1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得2yaxbxc；（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2()ya xhk其中顶点为 (h，k)对称轴为直线 x=h；（3）若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式：12()()ya xxxx,其中与 x 轴的交点坐标为（ x1，0） ， （x2，0）

4、【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax2 ,对称轴顶点坐标2、y= ax2 +k，对称轴顶点坐标3、y=a(x-h) 2对称轴顶点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴顶点坐标】八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负2 决定开口方向，a的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了

5、抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来， 在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置ab的 符 号 的 判 定 ： 对 称 轴abx2在y轴 左 边 则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线

6、与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的4 二次函数图象的平移【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】5、 二次函数y= ax2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向向上则 a 0, 向下则 a 0 a越大，开口越b:对称轴位置，与a 联系一起，用判断 b=0 时，对称轴是c:与 y 轴的交点

7、：交点在y 轴正半轴上，则c 0 负半轴上则 c 0，当 c=0 时，抛物点过点【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c 中，当 x=1 时， y= 当x=-1 时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和 a-b+c 的符号】5.二次函数与一元二次方程：二次函数 y= ax2+bx+c 的同象与 x 轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax2+bx+c=0 的实数根，它们都由根的判别式决定抛物线x 轴有个交点 b2-4ac0一元二次方程有实数根抛物线x 轴有个交点 b2-4ac=0一元二次方程有实数根抛物线x 轴有个交点 b2-4ac0一元二次方程有实数根【名师提醒： 若抛物线与x轴有两

8、交点为a （x1,0） b(x2,0)则 抛 物 线 对 称 轴 式x= 两 交 点 间 距 离ab 】6.二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入 这一点外 ，再知道一个点的坐标即可求函数解析式2、设一般式，即：设知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求的函数解析式【名师提醒： 求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有： 如抛物线顶点在原点可设以y 轴为对称轴，可设顶点在 x轴上，可设抛物线过原点等】7、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：步骤： 1、

9、分析数量关系建立模型2、设自变量建立函数关系3 3、确定自变量的取值范围4、根据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范围求出函数最值2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题一般步骤： 1、求一些特殊点的坐标2、将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式3、结合图像根据自变量取值讨论点的存在性或图形的形状等问题【名师提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例 1 （2012?常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c

10、（a 0） ，当自变量x 分别取2、 3、0 时，对应的函数值分别：y1，y2，y3， ，则 y1，y2，y3的大小关系正确的是（）ay3y2y1by1y2y3cy2y1y3 dy3y1y2思路分析：根据抛物线的性质，开口向上的抛物线，其上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，x 取 0 时所对应的点离对称轴最远，x 取2时所对应的点离对称轴最近，即可得到答案点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大对应训练1 （2012?衢州）已知二次函数y=12x2-7x+152，若自变量 x 分别取 x1，

11、x2，x3，且 0 x1x2x3，则对应的函数值 y1， y2，y3的大小关系正确的是（）ay1y2y3by1y2y3cy2y3y1dy2y3y1考点二：二次函数的图象和性质例 2 （2012?咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：它的图象与x 轴有两个公共点；如果当x1时 y 随 x 的增大而减小，则m=1；如果将它的图象向左平移3 个单位后过原点， 则 m=-1；如果当x=4 时的函数值与x=2008 时的函数值相等， 则当 x=2012 时的函数值为-3其中正确的说法是 （把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x 轴的交点思路分

12、析： 根据函数与方程的关系解答；找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；将 m=-1 代入解析式， 求出和 x 轴的交点坐标， 即可判断；根据坐标的对称性，求出m 的值，得到函数解析式，将 m=2012 代入解析式即可解： =4m2-4 （-3）=4m2+12 0，它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；当 x1时 y 随 x 的增大而减小， 函数的对称轴x=-22m1在直线 x=1 的右侧（包括与直线x=1 重合） ，则22m1 ，即 m 1，故本选项错误；将m=-1 代入解析式，得y=x2+2x-3，当y=0 时，得x2+2x-3=0 ，即（ x-1） （x+3）=0，解得， x1=1

13、，x2=-3，将图象向左平移3 个单位后不过原点，故本选项错误；当 x=4 时的函数值与x=2008 时的函数值相等， 对称轴为x=420082=1006，则22m=1006， m=1006，原 函 数 可 化 为y=x2-2012x-3 ， 当x=2012时 ，y=20122-2012 2012-3=-3 ，故本选项正确故答案为（多填、少填或错填均不给分）点评： 本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x 轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点对应训练2（2012?河北） 如图，抛物线 y1=a （ x+2）2-3 与 y2=12（x-3）2+1 交于点 a（1， 3

14、） ，过点 a 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点b，c则以下结论：无论 x 取何值，y2的值总是正数； a=1； 当 x=0 时，y2-y1=4； 2ab=3ac ；其中正确结论是（）abcd4 1解：抛物线y2=12（x-3） 2+1 开口向上，顶点坐标在 x 轴的上方，无论x 取何值， y2的值总是正数，故本小题正确；把 a （1， 3） 代入，抛物线 y1=a （x+2）2-3 得， 3=a （1+2）2-3，解得 a=23，故本小题错误；由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3 过原点，当 x=0 时， y2=12（0-3）2+1=112，故 y2-y1=112，故本小

15、题错误；物线y1=a（x+2）2-3 与 y2=12（x-3）2+1 交于点a（1，3） ，y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，b（-5，3） ，c（5，3）ab=6 ，ac=4 ，2ab=3ac ，故本小题正确故选 d考点三：抛物线的特征与a、b、 c的关系例 3 （2012?玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a0 ）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：c1；2a+b=0；b24ac；若方程ax2+bx+c=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=2，则正确的结论是（）abcd思路分析： 由抛物线与y 轴的交点在1 的上方，得到c大于 1，故选项错误；由抛物线的对称轴

16、为x=1，利用对称轴公式得到关于a 与 b 的关系，整理得到2a+b=0，选项正确；由抛物线与x 轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项错误；令抛物线解析式中 y=0， 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a 与 b 的关系式代入可得出两根之和为2，选项正确，即可得到正确的选项解： 由抛物线与y 轴的交点位置得到：c1，选项错误；抛物线的对称轴为x=2ba=1， 2a+b=0，选项正确；由抛物线与x 轴有两个交点， 得到 b2-4ac0， 即 b24ac，选项错误；令抛物线解析式中y=0，得到 ax2+bx+c=0 ，方程的两根为x1， x2，

17、且2ba=1，及ba=2，x1+x2=ba=2，选项正确，综上，正确的结论有故选 c 点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当 a0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置： 当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时（即ab0） ，对称轴在y 轴右（简称：左同右异）常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与 y 轴交于（ 0，c） 对应训练3 （2012?重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c （a0 ）的图象如图所示对称轴为x=12下

18、列结论中，正确的是（）aabc 0 ba+b=0 c 2b+c0 d4a+c2b 5 考点四：抛物线的平移例 4 （2012?桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线 y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的a 处，则平移后的抛物线解析式是（）ay=（x+1）2-1 by=（x+1）2+1 cy=（x-1）2+1 dy=（x-1）2-1 思路分析： 首先根据 a 点所在位置设出a 点坐标为（m，m）再根据ao=2，利用勾股定理求出m 的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式解： a 在直线 y=x 上，设 a（m，m） ，oa= 2，m2+m2=（2）2，解得： m= 1（m=-

19、1 舍去），m=1，a（1，1） ，抛物线解析式为：y=（ x-1）2+1，故选： c点评： 此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出a 点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减对应训练4（2012?南京）已知下列函数y=x2； y=-x2； y= （x-1）2+2其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3 的图象的有（填写所有正确选项的序号）44解：原式可化为：y=（x+1）2-4，由函数图象平移的法则可知，将函数y=x2的图象先向左平移 1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y= （x+1）2-4，的图象，故正确；函数 y=（x+1）2-4 的图象开口向上，函数y=

20、-x2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故错误；将 y=（x-1）2+2 的图象向左平移2 个单位，再向下平移6 个单位即可得到函数y=（x+1）2-4 的图象， 故正确故答案为：【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例 1 （ 2012?呼和浩特）已知：m， n 两点关于y 轴对称， 且点 m 在双曲线12yx上， 点 n 在直线 y=x+3 上，设点 m 的坐标为（ a，b） ，则二次函数y=-abx2+（a+b）x（）a有最大值，最大值为92b有最大值，最大值为92c有最小值，最小值为92d有最小值，最小值为92思路分析：先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐

21、标特征求出其最值即可解：m，n 两点关于y 轴对称， 点 m 的坐标为 （a，b） ，n 点的坐标为（-a，b） ，又点 m 在反比例函数12yx的图象上，点n 在一次函数 y=x+3 的图象上，123baba，整理得123 abab，故二次函数y=-abx2+（ a+b）x 为 y=12x2+3x，6 二次项系数为120，故函数有最大值，最大值为y=239124()2，故选： b点评：本题考查的是二次函数的最值求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法本题是利用公式法求得的最值对应训练1 （2012?兰州）已知二次函数y=a（x+1）2-b（a

22、0 ）有最小值 1，则 a，b 的大小关系为（）aab ba b ca=b d不能确定考点二：确定二次函数关系式例 2 （2012?珠海）如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与 y 轴交于点c，点 b 是点 c 关于该二次函数图象的对称轴对称的点 已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点a（1，0）及点 b（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b （x-2）2+m 的 x 的取值范围思路分析：（1）将点 a（1，0）代入 y=（x-2）2+m 求出m 的值，根据点的对称性，将y=3 代入二次函数解析式求出 b 的横坐标，再根据待定系数法求出一次函

23、数解析式；（2） 根据图象和a、 b的交点坐标可直接求出kx+b （x-2）2+m 的 x 的取值范围解： （1）将点 a（1，0）代入 y=（x-2）2+m 得，（1-2）2+m=0，1+m=0，m=-1，则二次函数解析式为y=（ x-2）2-1当 x=0 时， y=4-1=3 ，故 c 点坐标为（ 0，3） ，由于 c 和 b 关于对称轴对称，在设 b 点坐标为 （x，3） ，令 y=3，有（ x-2）2-1=3，解得 x=4 或 x=0则 b 点坐标为（ 4，3） 设一次函数解析式为y=kx+b ，将 a（ 1，0） 、 b（4，3）代入 y=kx+b 得，0 43kbkb，解得11kb

24、，则一次函数解析式为y=x-1；（2） a、b 坐标为（ 1，0） ， （4，3） ，当 kx+b （x-2） 2+m 时， 1x4 点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出 b点坐标是解题的关键对应训练2 （2012?佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c 经过坐标原点，并与x 轴交于点a（2，0） （1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3） 若抛物线上有一点b， 且 soab=3， 求点 b 的坐标a b c o x y 7 考点三：二次函数与x 轴的交点问题例 3 （ 2012?天津）若关于 x 的一元二次方程 （

25、x-2）（x-3）=m 有实数根x1、x2，且 x1x2，有下列结论：x1=2，x2=3； m14；二次函数y=（x-x1） （x-x2）+m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（ 3，0） 其中，正确结论的个数是（）a0 b 1 c2 d3 思路分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可对选项进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0 时才能成立，故选项错误；将选项中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=

26、0，得到关于x 的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x 轴的交点坐标，即可对选项进行判断点评：此题考查了抛物线与x 轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题对应训练3 （2012?株洲）如图，已知抛物线与x 轴的一个交点a（1，0） ，对称轴是x=-1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是（）a （-3， 0） b （-2，0） c x=-3 dx=-2 考点四：二次函数的实际应用例 4 （ 2012?绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-112（x-4）2+3，由此可知

27、铅球推出的距离是m思路分析： 根据铅球落地时，高度 y=0，把实际问题可理解为当 y=0 时，求 x 的值即可解：令函数式y=-112（x-4）2+3 中， y=0，0=-112（x-4）2+3，解得 x1=10， x2=-2（舍去），即铅球推出的距离是10m故答案为： 10点评：本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键例 5 （2012?重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，

28、该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行1至 6 月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1 x6，且 x 取整数）之间满足的函数关系如下表：月份 x 1 2 3 4 5 6 输送的污水 量y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 2000 7 至 12 月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7x12 ，且x 取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a 0)其图象如图所示1 至 6 月，污水厂处理每吨污水的费用： z1（元） 与月份 x 之间满足函数关系式：z1=12x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份 x 之间满足函数关系

29、式：z2=34x-112x2；7 至 12 月，污水厂处理每吨污水的费用均为2 元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5 元（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与 x 之间的函数关系式；（2） 请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用w（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12 月份的基础上增加（ a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政

30、对企业处理污水的费用进行50%的补助若该企业每月的污水处理费用为18000 元， 请计算出a的整数值（参考数据：231 15.2 ，419 20.5 ，809 28.4 ）8 思路分析：（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与 x 之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：图象过（7，10049） ， （12，10144）点，求出解析式即可；（2）利用当1x6 时，以及当7x12 时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案；（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12 月份的基础上增加 （a 一 30）%，得出等式120

31、00 （1+a%） 1.5 1+（a-30）%（1-50%） =18000，进而求出即可解： （1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与 x之间的函数关系为反比例函数关系：y1=kx，将（ 1，12000）代入得：k=1 12000=12000，故 y1=2000 x（1x6，且 x 取整数）；根据图象可以得出：图象过（7，10049） ， （12，10144）点，代入 y2=ax2+c(a 0)得：100494910144 144acac，解得：1 10000ac，故 y2=x2+10000（ 7 x 12，且 x 取整数）；（2）当 1x6，且 x 取整数时：w=y1?z1+ （12

32、000-y1） ?z2=12000 12xx+ （12000-12000 x）?（34x-112x2） ，=-1000 x2+10000 x-3000 ，a=-10000，x=2ba=5，1 x6，当 x=5 时， w最大=22000（元），当 7x12 时，且 x 取整数时，w=2 （ 12000-y2） +1.5y2=2 （ 12000-x2-10000 ） +1.5（x2+10000） ，=-12x2+1900，a=-120，x=2ba=0，当 7x12 时， w 随 x 的增大而减小，当 x=7 时， w最大=18975.5（元） ，2200018975.5，去年 5 月用于污水处理的

33、费用最多，最多费用是22000元；（3） 由题意得：12000 （1+a%） 1.5 1+ （a-30） % （1-50%）=18000，设 t=a%，整理得： 10t2+17t-13=0，解得： t=1780920，809 28.4 ，t1 0.57 ，t2 -2.27（舍去），a57 ，答： a 的值是 57点评：此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识此题阅读量较大，得出正确关于a%的等式方程是解题关键对应训练4 （2012?襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位： m）与滑行时间x（单位： s）之间的函数关系式是y=60 x

34、-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m 才能停下来9 5 （2012?益阳）已知：如图，抛物线y=a（x-1）2+c 与 x轴交于点a（1-3，0）和点b，将抛物线沿x 轴向上翻折，顶点p 落在点 p（ 1，3）处（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5 班的小明在解答此题时顿生灵感： 过点 p作 x 轴的平行线交抛物线于c、d 两点， 将翻折后得到的新图象在直线cd 以上的部分去掉， 设计成一个 “w ” 型的班徽，“5”的拼音开头字母为w，“ w ” 图案似大鹏展翅，寓意深远； 而且小明通过计算惊奇的发现这个 “w ” 图案的高与宽（cd）的比非常接近黄金分割比512（

35、约等于0.618） 请你计算这个“w ” 图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：5 2.236 ，6 2.449 ，结果可保留根号）考点五：二次函数综合性题目例 6 （ 2012?自贡）如图，抛物线l交 x 轴于点a（ -3，0） 、b（1，0） ，交 y 轴于点 c（0，-3） 将抛物线l沿 y轴翻折得抛物线1l（1）求1l的解析式；（2）在1l的对称轴上找出点p，使点 p 到点 a 的对称点a1 及 c 两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线1l于 e、 f 两点，若以 ef 为直径的圆恰与x 轴相切，求此圆的半径思路分析：（1）首先求出翻折变换后点a、b 所

36、对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线1l的解析式；（2）如图 2 所示， 连接 b1c 并延长， 与对称轴x=1 交于点 p， 则点 p 即为所求 利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论 为求点 p 的坐标，首先需要求出直线b1c 的解析式；（3）如图 3 所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏解题要点是利用圆的半径表示点f（或点 e）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径解： （1）如图 1 所示，设经翻折后，点a、b 的对应点分别为 a1、b1，依题意， 由翻折变换的性质可知a1（3，0） ，b1（-1，0） ，c 点坐标不变，

37、因此， 抛物线1l经过 a1（ 3，0） ，b1（ -1，0） ，c（0，-3）三点，设抛物线1l的解析式为y=ax2+bx+c ，则有：9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3 ，10 解得 a=1，b=-2， c=-3，故抛物线1l的解析式为：y=x2-2x-3（2）抛物线1l的对称轴为：x=2ba=1，如图 2 所示，连接 b1c 并延长，与对称轴x=1 交于点 p，则点 p 即为所求此时， |pa1-pc|=|pb1-pc|=b1c设 p 为对称轴x=1 上不同于点p 的任意一点，则有：|p a -p c|=|p b1-p c|b1c （三角形两边之差小于第三边），故|pa -pc

38、| |pa1-pc|，即 |pa1-pc|最大设直线 b1c 的解析式为y=kx+b ，则有：03kbb，解得 k=b=-3 ，故直线 b1c 的解析式为： y=-3x-3 令 x=1，得 y=-6，故 p（1，-6） （3）依题意画出图形，如图3 所示，有两种情况当圆位于x 轴上方时，设圆心为d，半径为r，由抛物线及圆的对称性可知，点d 位于对称轴x=1 上，则 d（1，r） ，f（1+r， r） 点 f（ 1+r，r）在抛物线y=x2-2x-3 上，r=（1+r）2-2（1+r）-3，化简得： r2-r-4=0 解得 r1=1712，r2=1712（舍去），此圆的半径为1712；当圆位于x

39、 轴下方时，同理可求得圆的半径为1712综上所述，此圆的半径为1712或1712点评：本题考查内容包括二次函数的图象与性质、待定系数法、翻折变换、轴对称的性质、三角形三边关系、圆的相关性质等， 涉及考点较多， 有一定的难度 第 （2）问中，注意是 “ 两线段之差最大” 而不是 “ 两线段之和最大” ，后者比较常见，学生们已经有大量的训练基础，而前者接触较少，但二者道理相通；第（3）问中，首先注意圆有 2 个，不要丢解，其次注意利用圆的半径表示点的坐标，运用方程的思想求出圆的半径对应训练6 （2012?遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c （a0 ）的图象经过原点o，交 x 轴于点 a，其

40、顶点b 的坐标为（3，3） （1）求抛物线的函数解析式及点a 的坐标；（2）在抛物线上求点p，使 spoa=2saob；（3） 在抛物线上是否存在点q， 使 aqo 与 aob 相似？如果存在，请求出q 点的坐标；如果不存在，请说明理由11 6分析：（ 1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，3）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点a 的坐标（2） 根据题意可得点p 到 oa 的距离是点b 到 oa 距离的 2 倍，即点 p的纵坐标为23，代入函数解析式可得出点 p 的横坐标；（3）先求出 boa的度数，然后可确定q1oa= 的度数，继而利用

41、解直角三角形的知识求出x，得出q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出q2 的坐标【课前练习 】1. 下列函数中，不是二次函数的是（）a.222yxx；b.213xyx；c.221yxx； d.22yxxx2. 函数2yxpxq的图象是 (3， 2） 为顶点的抛物线，则这个函数的解析式是（）a.2611yxx；b.2611yxx；c.2611yxx；d.267yxx3. 二次函数y=16x3x2的顶点坐标和对称轴分别是（）a顶点（ 1，4） ， 对称轴x=1；b顶点（ 1， 4） ，对称轴x=1 c顶点（ 1，4） ， 对称轴 x=4；d顶点（ 1， 4） ，对称轴x=4 4.把二次函数

42、245yxx化成2yxhk的形式为，图象的开口向，对称轴是，顶点坐标是；当x时y随着x的增大而减小，当x时，y随着x的增大而增大；当x= 时函数有值，其值是；若将该函数经过的 平 移 可 以 得 到 函 数2yx的图象。5. 直 线2yx与 抛 物 线22yxx的 交 点 坐 标为。二： 【经典考题剖析】1.下列函数中，哪些是二次函数？2222211132731524225yxsstttyxyaxbx c：；：；：；：；：2. 已知抛物线2yaxbxc过三点（ 1，1） 、 （0，2） 、 （1，l） （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；12

43、（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？3. 当 x=4 时，函数2yaxbxc的最小值为 8，抛物线过点（ 6，0） 求：（1）函数的表达式；（2）顶点坐标和对称轴；（3）画出函数图象（4） x 取什么值时， y 随 x 的增大而增大； x 取什么值时，y 随 x 增大而减小4.已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，试判断abc、 、的符号5. 已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n 为常数 ). (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设 a 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、 且在对称轴左侧的一个动点，过a 作 x

44、 轴的平行线，交抛物线于另一点 d，再作 ab x 轴于 b，dcx 轴于 c. 当 bc=1 时，求矩形abcd 的周长；试问矩形abcd 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时a 点的坐标；如果不存在，请说明理由 . 三： 【课后训练】1. 把抛物线y=12（x2）2 1 经平移得到（）a向右平移2 个单位，向上平移1 个单位；b向右平移2 个单位，向下平移1 个单位c向左平移2 个单位，向上平移1 个单位；d向左平移2 个单位，向下平移1 个单位2. 某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与 x 的函数关系

45、是（）ay=x2+a；by= a（x1）2；cy=a（1x）2；dya（l+x）23. 设直线y=2x3，抛物线y=x22x，点 p （1，1） ，那么点 p（1， 1） （）a在直线上，但不在抛物线上；b在抛物线上，但不在直线上c既在直线上，又在抛物线上；d既不在直线上，又不在抛物线上4. 二次函数y=2（x3）2+5 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）a开口向下，对称轴x=3，顶点坐标为（3,5）b开口向下，对称轴x3，顶点坐标为（3，5）c开口向上，对称轴x=3，顶点坐标为 (3,5) d开口向上，对称轴x=3，顶点坐标为(3,5）5.已知y （a3） x2+2xl 是二次函数

46、； 当 a_时，它的图象是开口向上的抛物线，抛物线与 y 轴的交点坐标（6 题）6.抛物线2yaxbxc如图所示， 则它关于 y 轴对称的抛物线的解析式是7.已知抛物线的对称轴为直线x=2，且经过点 （ l，1） ， （ 4，0）两点（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？xyo13 8.已知抛物线与x 轴交于点 （ 1，0）和(2，0)且过点(3，4)，（1）求抛物线的解析式（2）顶点坐标和对称轴；（3）画出函数图象（4） x 取什么值时， y 随 x 的增大而增大； x 取什么值时，y 随 x 增

47、大而减小9.已知函数268yxx（1）用配方法将解析式化成顶点式。（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） x 取什么值时， y 随 x 的增大而增大； x 取什么值时，y 随 x 增大而减小（4）求出函数图象与坐标轴的交点坐标10.阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化例 如 ： 由 抛 物 线22221yxmxmm ， 有y=2()21xmm，所以抛物线的顶点坐标为（m，2m1） ，即21 xmym当 m 的值变化时，x、 y 的值随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化，将代人，得y=2x1可见，不论m 取任何实数，

48、抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式y=2x1， 回答问题：（ 1） 在 上 述 过 程 中 ， 由 到 所 用 的 数 学 方 法 是_，其中运用了 _公式，由得到所用的数学方法是_；（ 2 ） 根 据 阅 读 材 料 提 供 的 方 法 ， 确 定 抛 物 线222231yxmxmm顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式. 1. 直线 y=3x3 与抛物线y=x2x+1 的交点的个数是（）a0 b1 c2 d不能确定2. 函数2yaxbxc的图象如图所示， 那么关于x 的方程20axbxc的根的情况是（）a有两个不相等的实数根；b有两个异号实数根c有两个相等实数根；d无实数根3

49、. 不论 m 为何实数，抛物线y=x2mxm2（）a在 x 轴上方；b与 x 轴只有一个交点c与 x 轴有两个交点；d在 x 轴下方4. 已知二次函数y =x2x6（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；（2）画出函数图象；（3）观察图象，指出方程x2x6=0 的解；（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积. 二： 【经典考题剖析】1. 已知二次函数y=x26x+8 ，求：（1）抛物线与x 轴 j 轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：方程 x26x8=0 的解是什么？x 取什么值时，函数值大于0？x 取什么值时，函数值小

50、于0？2. 已知抛物线yx22x8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为a、b，且它的顶点为p，求 abp 的面积14 3.如图所示，直线y=-2x+2 与x轴、y轴分别交于点a、b，以线段ab 为直角边在第一象限内作等腰直角abc ，bac=90o，过 c 作 cdx轴，垂足为d （1）求点 a、b 的坐标和ad 的长（2）求过 b 、a、d 三点的抛物线的解析式4.如图，在矩形abcd中， ab=6cm ， bc=12cm，点p从点 a 出发，沿 ab 边向点b 以 1cm/s 的速度移动，同时点q 从点 b 出发，沿 bc 边向点 c 以

51、2cm/s 的速度移动，回答下列问题：（1）设运动后开始第t（单位： s）时，五边形apqcd 的面积为s （单位： cm2） ，写出s 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围（2）t 为何值时s 最小？求出s 的最小值5. 如图，直线334yxk(0)k与x轴、y轴分别交于a 、 b 两点，点p 是线段ab的中点，抛物线283yxbxc经过点 a、p、o（原点）。（1）求过 a、p、o 的抛物线解析式；（2）在（ 1）中所得到的抛物线上，是否存在一点q，使qao 450，如果存在，求出点q的坐标；如果不存在，请说明理由。三： 【课后训练】1.已知抛物线25(1)yxmxm与x轴两

52、交点在y轴同侧，它们的距离的平方等于4925， 则m的值为（）a.2 b.12 c.24 d.2 或 24 2.已知二次函数21yaxbxc（a0）与一次函数2ykxm（k 0）的图像交于点a（ 2，4） ，b （8，2） ， 如图所示，则能使12yy成立的x的取值范围是 （）a.2xb.8xc.28xd.2x或8x3.如图，抛物线2yaxbxc与两坐标轴的交点分别是 a、b、 e，且 abe 是等腰直角三角形，aebe，则下列关系：0ac；0b；1ac；2abesc其中正确的有 （）a.4 个b.3 个c.2 个d.1 个dobacabdcqpyx第 2 题图pbaoyx2 题图baoyx3

53、 题图ebao15 4.设函数22(1)1yxmxm的图像如图所示，它与x轴交于 a、b 两点，线段 oa 与 ob 的比为 13，则m的值为（）a.13或 2 b.13c.1 d.2 5.已知二次函数235yaxxa的最大值是2，它的图像交x轴于a、 b 两点，交y轴于c 点，则abcs。6.如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面宽度为8 米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 米，则校门的高度为。（精确到0.1 米）7.已知二次函数2yaxbxc（a0）的图像过点e（2，3） ，对称轴为1x，它的图像与x轴交于两点a（1x，0） ，b（2

54、x，0） ，且12xx，221210 xx。（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（ 1）中抛物线上是否存在点p，使 poa 的面积等于 eob 的面积？若存在，求出点p 的坐标；若不存在，请说明理由。8.已知抛物线2(4)24yxmxm与x轴交于点 a（1x，0） ，b（2x，0）两点，与y轴交于点c，且12xx，1220 xx， 若点 a 关于y轴的对称点是点d。（1）求过点 c、b、d 的抛物线解析式；（2）若 p 是（ 1）中所求抛物线的顶点，h 是这条抛物线上异于点c 的另一点，且hbd 与 cbd 的面积相等，求直线ph 的解析式；9.已知如图， abc 的面积为2400cm2，底

55、边bc 长为80cm，若点 d 在 bc 边上， e 在 ac 边上，f 在 ab 边上， 且四边形bdef为平行四边形，设bd=xcm ，sbdef=y cm2求： （1）y 与 x 的函数关系式； （2）自变量x 的取值范围；（3）当 x 取何值时， y 有最大值？最大值是多少？10.设抛物线2yaxbxc经过 a（ 1，2） ，b（2，1）两点，且与y轴相交于点m。（1）求b和c（用含a的代数式表示） ；（2）求抛物线21yaxbxc上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；（3）在第（ 2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线2yaxbxc上，试判断直线am 和x轴的位置关系，并说明理由。6 米

56、4米8 米题图bao第 3 题图16 【备考真题过关】一、选择题1 （2012?白银）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示， 则函数值y0 时 x 的取值范围是（）ax -1 bx3 c-1x3 dx-1 或 x3 2 （ 2012? 兰 州 ） 二 次 函 数y=ax2+bx+c （a0 ）的图象如图所示，若 |ax2+bx+c|=k（k0 ）有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是（）ak -3 bk-3 ck3 dk3 3 （2012?德阳）设二次函数y=x2+bx+c ，当 x1时，总有 y0 ， 当 1x3 时， 总有 y0 ， 那么 c 的取值范围是 （）ac=3 bc

57、 3 c1 c 3 d c34 （2012?北海）已知二次函数y=x2-4x+5 的顶点坐标为（）a （-2， -1）b （2，1）c （2，-1）d （ -2，1）5 （ 2012?广元）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b 为常数）的图象如图， 则 a的值为 （）a 1 b2c -2d-2 1 （2012?西宁）如同，二次函数y=ax2+bx+c 的图象过（ 1，1） 、 （2，1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）a 当 x=0 时，y 的值大于1 b 当 x=3 时，y 的值小于0 c 当 x=1 时，y 的值大于1 d y 的最大值小于0 6 （2012?巴中）对于

58、二次函数y=2（x+1） （ x-3） ，下列说法正确的是（）a图象的开口向下b当 x1 时， y 随 x 的增大而减小c当 x1 时， y 随 x 的增大而减小d图象的对称轴是直线x=-1 7 （2012?天门）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别为（-1，0） ， （3，0） 对于下列命题： b-2a=0； abc 0；a-2b+4c0； 8a+c0其中正确的有（）a3 个b2 个c1 个d0 个8 （2012?乐山）二次函数y=ax2+bx+1 （a0 ）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0） 设 t=a+b+1，则 t 值的变化范围是（）a0

59、t1 b0t2 c1t2 d-1t1 9 （2012?扬州）将抛物线y=x2+1 先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）ay=（ x+2）2+2 by=（x+2）2-2 cy=（x-2）2+2 dy=（ x-2）2-2 10 （ 2012?宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3 先向右平移3 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）a （-2，3）b （-1，4）c （1，4）d （4， 3）11（2012?陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使

60、平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）a1 b2 c3 d6 二、填空题12 （2012?玉林）二次函数y=-（x-2）2+94的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析） 17 13 （2012?长春）在平面直角坐标系中，点a 是抛物线y=a（ x-3）2+k 与 y 轴的交点，点b 是这条抛物线上的另一点，且ab x 轴，则以ab 为边的等边三角形abc的周长为14 （2012?孝感）二次函数y=ax2+bx+c（ a，b， c 是常数，a0 ）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示对于下列说法：