“22”高等数学B试卷及答案

1、浙江省普通高校“2+2”联考高等数学 B试卷一、填空题： （ 8*3）x(2xt)ln(1t )dt1若 lim 0xnk0, 则自然数 n=.x02 lim 1()31( )51()7( 1) n 1( )2 n 1.n23!25!27!2(2n1)!23 .2 sin 10 xcos10 x dx.0 1sin x cosx4.已知y(32x)e2 x4ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y ' 'ay 'byce 2 x的一个特解，则该方程的通解是1005已知A013*为 A的伴随阵，则* 122 ， AA=01526已知三元非齐次线性方程组 A b ，A 的秩 r

2、 (A) = 1 ； 1 、 2 、 3 是该线性方程组的三个解向量，且112 1 20， 2 3 3， 3 11 该非齐次线性方程组的通解1527设方程x 2x0 中的和分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的点数，则此方程有实根的概率为.8已知男性中有 5 为色盲患者，女性中有 0.25 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为二选择题 .（8*3 ）1设函数f ( x)x1得分阅卷人x, 则正确的结论是（ A ） x1是f ( x)的极值点，但(1,0)不是曲线yf (x) 的拐点；（ B） x1不是f ( x) 的极值点，但(1,0) 是曲线y

3、f (x) 的拐点；（ C） x1是f ( x)的极值点，且(1,0)是曲线yf ( x) 的拐点；（ D）x1 不是f ( x) 的极值点，(1,0)也不是曲线yf ( x) 的拐点 .2. 设二元函数f ( x, y) 在点( 1,1 ) 处可微，f (1,1)f 'x (1,1) f ' y (1,1) 1 ，又知zf ( x, f ( x, x ) ，则dzdx x 1 =（） .4（A）1（B ）2（C）3（ D）3下列命题中正确的结论是() .（ A ）若un 发散 ，则(1) n 1u n 必发散 ；n 1n 1B）若( 1)n 1 un 发散 ，则un 必发散

4、；n 1n 1C）若un4发散，则un 必发散n 1n1(D ）若limun 11 , 则un4 必发散 .nunn 14下列等式成立的是（） .0（ A ）若f ( x)dx0（ B）若f ( x)dx0（ C）若f ( x)dx0和f (x) dx 均发散，则f ( x)dx 必发散；和g(x)dx 均发散，则 f ( x)g (x) dx 必发散；00和g(x)dx 均发散，则 f ( x) g( x) dx 必发散；00（ D）若f ( x)dx收敛，g( x)dx发散，则 f ( x)g(x)dx必发散 .0005设二次型 fx124 x 224 x322x1 x 22 x1 x34

5、 x2 x3为正定二次型，则的取值范围为（）.（ A ）1（B ）2（ C）22（ D）216设随机变量 N（ ， 52），N （ ， 42），概率值 P1P(5),P2P(4)，则下式（）是正确的 .（ A ）对任意均有 P1P2（ B）对任意均有P1P2（ C）对任意均有P1P2（D ）只对的个别值有 P1P27一个复杂的系统由100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（）.（( x) 为标准正态分布函数）（A） (1)（B）1(1)（ C）( 4)（ D）(5 )338已知

6、随机向量（， ）的联合密度函数为f ( x, y)1( 6 x y)， 0x 2 ， 2 y 480其它则概率值P（4 ）（）（A） 1（B） 2（C） 3（D） 32384三计算题： （ 9*7 ）1 计算极限2(1x sin1.得分阅卷人lim x)xxax4b( x 0) 与y3ba ln x在x1 处垂直2. yxa 与 b相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数值 .x13. 计算二重积分I() 3 d，其中D为直线xy 1， x0D xy和 y0所围成的平面区域 .4设函数yx2 sin xa 在 (0, )内有且仅有 1 个零点， 求正数a的取值范2围 .5设函数f ( x)

7、在 (,) 上可导 ，且满足1xf ( xt )dtx 1f ( x1)f (t)dt， 求f ( x)的表达式 .000111006已知矩阵A 101 ，B110 ，且矩阵P 满足110111APABPBAPBBPAE，其中E为单位阵，求 P28x7已知矩阵A 220相似于对角阵，试求常数x ，并求可逆阵P ，使006P1AP.28设随机变量的密度函数为f ( x)ax0x1 ， 求（ 1）常数 a ；0 其它（ 2）的期望E和方差 D ；（ 3）2的概率密度函数； （ 4）概率值 P(2) ，其中表示对的三次独立重复观察中事件1出现的次数 .29已知随机向量（，） 的联合分布律为112 1

8、0.250.10.320.150.150.05求（ 1）的分布律；（ 2）在 1 条件下的分布律（ 3）期望值E().得分阅卷人四应用题： （ 3*8 ）1为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为x 和100 x72 yy （万元）时，销售量为5x10y（吨） . 若该产品每吨销售价为2000 元 . 问：1） 如要使总广告费不超过10 万元，应如何分配电视与电台广告费使广告产生的利润最大？最大利润是多少？2）如总广告费恰好是4.8 万元，又应如何分配电视与电台广告费，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少11ka2设11， 2k ， 31，b； 问：211c（

9、1）在什么条件下，可由1 ，2 ，3 线性表示，且表法唯一？（ 2）在什么条件下，可由1 ，2 ，3 线性表示，表法不唯一并写出不同的表示式 .（ 3）在什么条件下 ，不能由1 ，2， 3 线性表示 ？3设自动生产线加工的某种零件的内径 N (, 1) ；内径小于 10或者大于12 的为不合格品 ，其余为合格品，销售每件合格品可获利20 元 ，销售每件不合格品要亏损，其中内径小于10 的亏1 元，内径大于12的亏 5元 ，求平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大?得分阅卷人五证明题：（ 8*7）1 证明：（ 1） 若级数(1)n 1 an ( an0)绝对收敛 ，则级数a2n 1是收敛级

10、数；n 1n 1（ 2） 若级数(1)n 1an ( an0)条件收敛，则级数a2 n 1 是发散级数 .n 1n12 设向量1， 2， ,， r是线性方程组AX0 的一个基础解系，向量不是 AX0的解向量证明向量组，1 ，2 ，,，r 线性无关 .浙江省普通高校“ 2 + 2 ”联考 高等数学 B 试卷一、填空题： （ 8*3，共24 分）得分阅卷人31函数y( 2 x) 2的渐近线有x2设f (x)lim(n2)( x 2x2)，则f (x)的第一类间断点是.n( x23x2)1nsin(xy)tan( xy)( y 1)exz3 . 设 zln(12x)ey， 则y( 0,1).4.二阶

11、常系数非齐次线性微分方程y' ' y'2 yx特解猜想的试解形式是ex5 袋中有 10 个新球和2 个旧球，每次取一个，取后不放回，则第二次取出的是旧球的概率 p =。6.随机变量XN（-2 ，1）， YN（2， 2），且 X 和 Y 相互独立 ，则X 2Y+7 .x1x2x307.若齐次线性方程组x1x2x30仅有零解 ,则应满足的条件是x1x2x308. 设(1,0, 1)T, A=T , n 为正整数, E 为单位矩阵, 则 E An=二选择题 . （ 8*3，共 24分）得分阅卷人1下列积分中，收敛的广义积分是().ln xdx （ B）dx1（ A（C）2ln

12、 xdx （ D）1sin xdx2 x2 x ln x0x0x2. 设函数f ( x) 连续，f ' ( 0)0，则存在0 ，使得（） .（ A ） f ( x)在( 0 ,)内单调递增（ B）f ( x) 在( 0,)内单调递减（ C）对任意（ D）对任意x( 0 ,) ，有f ( x)f (0) ；x( 0 ,) ，有f ( x)f (0) 。3设 an 0 , ( n 1, 2,)，则 () .（ A ）若an11，则级数an必收敛 ；ann 1（ B）若 an11，则级数an必发散 ；ann 1（ C）若(1) n1 an收敛 ，则数列an必定递减；n 1（ D）若级数an发

13、散,则必定有an1 .n 1n4已知二元函数f ( x , y )在点(0,0)某邻域内连续， 且limf ( x, y)xy1， 则（） .x0x2y22y0（ A ）点 (0,0)不是二元函数f ( x, y )的极值点；（ B） 点 ( 0,0) 是二元函数（ C） 点 ( 0,0) 是二元函数f (x , y )的极大值点；f (x , y )的极小值点；（ D）无法判断点( 0 ,0 ) 是否是二元函数f (x , y )的极值点 .5. 若随机事件A B，AC，p（ A ） = 0.8 , p ( BC ) = 0.4 , 则 p (A BC) =（A）0.2（B ） 0.4（ C

14、） 0.5（ D）0.76 设随机变量X 与 Y 相互独立，且X01Y01,12p12,P3333则下列各式中成立的是（）。（A） X=Y（ B） p (X = Y) = 0.5（ C） p (X = Y) = 1（ D） p (X = Y) = 597 设两个随机变量X 与 Y 同分布 ,概率密度函数为f ( x)2x 20x1, 若 E c (X+2Y) =1则 c = ()0,其它（A） 2（ B）1（ C）（D ）128.设 A为 3阶矩阵 ,A= 2 ,其伴随矩阵为A*, 则 (A*)*=()（A）2 A（B）4A（C16 A（ D）32 A三计算题： （ 9*7，共 63 分）得分

15、阅卷人1 已知极限limf ( x)4ln(1 3x)存在 ，求 limf ( x) .xsin x2x 0xx02 求二元函数zx3y 33x 23y 2（ 1）在闭区域D( x, y)x2y 216 0内的极值点 ；（ 3 分）（ 2）在闭区域D( x, y)x2y 2160上的最大值。（ 4分）21et 23. 计算定积分If (x) dx的值 ，其中f ( x)3 xdt 。114（ 1）将函数f ( x)ln( 32xx2 )展开成x的幂级数；并求出收敛域；（ 2）说明级数1是收敛的，并利用（1）的结果，求出该级数的和 .n 1 n 3n5已知函数 f ( x)在 0,1上连续 ，f

16、 (0)2 ，f (1)0. 在 0,1 内f ' ' ( x)0 .若对任意x 0,1， 点 ( x, f (x) )和点(1, 0) 连接而成的直线与曲线yf (x)所围的平面图形面积都是S( x)1 (1x) 3 ， 求 f (x)的表36. 设随机变量 X 的概率密度函数为Ax1f ( x)10,x 20其它求 (1)A(2)p (1X1 )(3)X 的分布函数F( x ) .227. 设随机变量Z U-2,2,X =1Z11Z11Z, Y =1Z,11求 (1)X和 Y 的联合概率分布(2)X = 1条件下Y 的条件概率分布.1308. 已知3 阶矩阵 A 和 B 满

17、足 A+B=AB,且B= 210,求A .00200a9.A= 11b 有三个线性无关的特征向量,求 a b 满足条件 .100得分阅卷人四应用题：（ 3*8，共 24 分）1 对 a 取不同的值，讨论函数3 2xx2, a 上是否有最大f ( x)在区间 (2x2值和最小值？若存在最大值或最小值，求出相应的最值点和最值。2. 某厂自动生产线上加工的螺丝帽内径X (毫米 ) N ( ,1) , 内径小于 10 或大于 12的为不合格品, 其余为合格品. 销售合格品盈利, 销售不合格品亏损. 销售利润L (元 )与内径X 的关系为1X10L2010X12, 当取何值 , 销售一个螺丝帽的平均利润

18、最大?5X123.已知1=(1,0,2,3),2= (1, 1, 3, 5) ,3= (1,- 1, a + 2, 1) ,4 = (1, 2, 4, a + 8) ,= (1, 1, b + 3, 5) ,1)a 、 b为何值时不能由1 、2、3、4线性表2）a 、b 为何值时可由1 、2、3 、4线性表出且表达式唯一, 写出该表达式 .五证明题：（ 8+7 ，共 15 分）得分阅卷人1设函数f ( x) 在 0 ,1上连续 ， 在 (0,1)内可导 ，f (0)1， f (1)e .证明：至少存在一点( 0,1) ， 使得f ' ( )f ( ) .2.设向量1 ,2,t是齐次线性

19、方程组AX = 0 的一个基础解系，向量不是AX=0的解，证明,1 ,2 ,t线性无关 .高等数学（ B）答案及评分标准：一.填空题(每题3分)1.32. sin213.04.C1e2 xC2ex2xe2 x40023050266k13k2 117 19/368 20/210410411二选择题(每题3分)1 C2.C3.D4.A5 D6 A7D8 B三计算题( 每题7分 )1 lim x 2 (1x sin 1 )xx1ttsin tx3 分limt 0t31c o sts i nt1分l i m3t2l i m567t 0t 0 6t62 a 1 4b3b aln 1ab ；2 分1ax

20、4b)' x 1(3b a ln x)' x 1(x4ba1aba124bab1121a2或2b2123 解法一画出区域D 的示意草图1x2cos sin1Id(cosrdr3d) 3Dxy00cossin1 2cos11() 3sin ) 2d2 0cossin(cos4分5 分6 分7分1 分3分4分cos1costcos11 2cos sin1 03() 3d ()t 3dt2 0cossincossin2 18解法二 画出区域 D 的示意草图1 分11 x1I3xddx( x ) 3 dy4 分Dxy00x y11211x 33 ( x y) 310x dx3 ( x3

21、x)dx6 分3022 084 f ( x)x2 sin xa, x 0,2f ( 0)a 0 , f ( )22 a1分2f ' ( x) 12 c o sx 0x02分4f '( x)0, 0x4f ( x)递减,0x3分0,递增 ,4xx4242a)当 a22时， f ( )2 a 04分22f (x)x2 sin xa 在 （0,）内无零点；5分2b)当 0 a22 时， f ( )2 a06分22f ( x)x2 s i nx a 在 （0,）内有且只有一个零点；2所以本题答案是： 0 a2 。7分21x t u x 15f ( xt )dtf (u)du1分0xx

22、1x(f (u)dux1)'( f ( x1)f (t)dt )'x0f ( x1)f ( x)1f ' ( x1)f (x)f ' ( x1)f ( x1)13分f (x) cex14分1f (u)du 1 f (1)5分01(ceu1)du1ce1c16分0f (x) ex17分6 APA APB BPB BPAEAP（ A B） BP（ A B） E（ AP BP）（A B） E（ A B） P（A B） E,2 分111AB011,3 分001112（ A B） -1011,5 分0012125P (AB) 1 012,7 分00128x7EA220(6

23、)2(2)006EA0126,32,3分48x1206时，6E A2 4000x000000A r (6EA)1x 0,4 分02基础解系10, 21104801202 时， 2E A= 2400010080002基础解系 31,6 分0022600001取P=0 1 10 6 0P11101000024211042P1 AP,7 分8. (1).1=1ax 2 dxaa=3,1 分0331(2).E=3x3 dx,2 分04213E3x4 dx05D393,3 分51680(3).令 T=2F T(y)P (Ty) P(2y )当 y0时， F T （ y） =0当 y1时， F T （y）

24、 =1当 0<y<1 时，F T(y) P(Ty) P (2y ) P（0y ） F( y ) F(0)f T (y)=f(y )113=3y =y2y2 y2即 f T (y)=3yoy120其它111(4). P() =2 3x2 dx208P(2 ) =C32 (1)2 (7)=21885129. (1)可能取值为： 2， 0， 1， 3， 4P(=2) P(1,1)= 0.25P(=0) P(1,1)= 0.1P(=1) P(1,2)+P(2,P(3)=P(2,1) = 0.15P(4)=P(2,2) = 0.05,5 分,7 分1)=0.45-20134,3 分P0.25

25、0.10.450.150.05(2) P(11)P(1,1)=5P(1)8P(21)P(2,1)=3P(1)8 12,5 分53P8823（3） Exi y j piji 1j 1 0.25-0.1-2× 0.3-2×0.15+2×0.154× 0.05 =0.25,四、 1（1）利润函数 L( x, y) 0.2(100x72 y) x y5 x10y1001 ， L' y (x, y)1441L' x ( x, y)2(10 y)2(5 x)L 'x (x, y)05 (万元）x0L ' y (x, y)y02 (万元）0x0y0710 (万元） , 符合要求 ,为所求解L最大L( x0 ,