第一节 平面向量的基本概念及线性运算

1、第一节 及线性运算平面向量的基本概念夯实双基1【最新考纲】1 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和 两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的 运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两 个向量共线的含义4了解向量线性运算的性质及其几何意义.教材回归i固本強基©i基础梳理1.向量的有关概念向量:量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量,其方向是任意的.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线 向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相

2、等且方向相反的向量.2.向量的线性运算数乘求实数入与向 量a的积的 运算(1) i aa = | a | a ;(2) 当 a > 0 时ja的方向 与a的方向相 同；当a < 0 时ma的方向 与q的方向相 反，当a = 0 时 jd =0入(pa ) “a ; (a +/z) a = aa +皿；入(a + b) = aa +入方3.共线向量定理向量a(aho)与b共线的充要条件是存在唯个实数儿使得b=心©i学情自测1. (质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“v” ,错误的打 “ x ”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()(2) 若

3、ab, bc,贝!)ac()(3) ab是a=zb(xer)的充要条件.()(4)aabc 中，d 是 bc 的中点，则ab=|(at+a).()答案：xxx （4）72. d是zxabc的边ab±的中点，则向量cb等于（）a. 一就+片応b. 一就一c.就一扣xd.bt+|bx解析：。是厶abc的边ab上的中点，cb=c+bx=b+|bx 答案：a3（2014-课标全国i卷）设d, e, f分别为zabc的三边bc, ca, ab 的中点，则efe+ft = （）a. abb.abc.btd斗就解析：由于d, e, f分别是bc, ca, ab的中点，所以e + ft =(bx +

4、 bt：)(cx + c)= (bx + cx)=(a + at!)=x 2荷=尬答案:a4如右图，已知d, e, f分别是zkabc的边bc, ab, ac 的中点，则下列说法正确的是（）a. afe=ab. e=cbc. e=bbd. d=dt解析：向量菇与向量就）方向相同，且模相等，答案:c5. （2015课标全国ii卷）设向量a, b不平行，向量入a+b与a +2b平行，则实数入=解析：vka + b 与a+2b 平行，a x a+b=t（a+2b）,入=t,则 za + b=ta+2tb, al=2t 解得九=t=-名师微博通法领悟条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个

5、向量起点指向最:后一个向量终点的向量.三个结论1.若p为线段ab的中点，o为平面内任一点，则o=|（ox + ofe）.2.0x=x0h+g0t（z, u 为实数），若点 a, b, c 共线，贝！u+m = l-3.若a, b, c是平面内不共线的三点，则p+pfe+pt=0< p为zabc的重心.三个防范1. 向量共线的充要条件中要注意“aho” ,否则入可能不存在, 也可能有无数个.2. 进行向量减法运算时，一定将向量平移至同一起点.3证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共isas线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出 三点共线.分层集训i单独成

6、册i養扁型高效提能i一、选择题1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（）a. 一条线段b. 一段圆弧c.两个孤立点d. 个圆解析：由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1,所有 的终点构成的图形是一个圆.答案：d2. 设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使磊=侖成立的充分条件是（）b a/bc a=2bd ab 且|a|=|b|解析：表示与a同向的单位向量，侖表示与b同向的单位向量, 只要a与b同向，就有磊=洽，观察选项易知c满足题意.答案:c3. （2015-佛山一中期中考试）如下图，一直线

7、ef与平行四边形abcd的两边ab、ad分别交于e、f两点，且交其对角线ac于k,71其中，a=gafe,必ak=xat,则九的值为（a.彳b7匕5di解析=2 ; vafe=ga,应pat),则a=|a1, ab=2a,vat = a + at）, 入砸+2入应，52由e, f, k三点共线可得，入+2入=1,解得入=亍答案：a4.设p是zabc所在平面内的一点，bt+bx=2bl>,则（）a.p + pfe=0b.p+pt=0c.pt+px=0d.px+pb+pt=0解析：由向量加法的平行四边形法则易知，ex与就的和向量过 ac边中点，长度是ac边中线长的2倍.结合已知条件可知p为

8、ac边中点，做p+pt = 0.答案：c5. 设a是已知的平面向量且ah0关于向量a的分解，有如下四个命题： 给定向量b,总存在向量c,使a=b+c； 给定向量b和c,总存在实数入和卩，使a=zb+pc； '给定单位向量b和正数0总存在单位向量c和实数儿使a=xb+pc；给定正数入和总存在单位向量b和单位向量c,使a=）tb上述命题中的向量b, c和a在同平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）a1 b2 c3 d4解析：显然命题，正确.对于，给定向量b,则入b可以 确定方向，不妨设如图所示，作応丄xb, b为垂足.当正数g<|ab| = |a|sin <a, b时，不存在

9、单位向量c,使a=kb+gc,因此错对 于，根据向量的三角形法则，必有|xb| + |gc|=x+p|a|.若入=»=1, |a|>2时，与|a|=|b+c|w|b|+|c|=2矛盾，则不正确.答案：b6. （2016 郑州质检）若点m是abc所在平面内的一点， 且满足5 am=乔+ 3入乙则aww与abc的面积 比为（）33a. 4-b2 c. 3d.2zoa解析：设ab的中点为6由5 am = ab+3 疋得 3 am-3 ac=2 ad- 2 am,即3 cm=2就.如右图所示， 故cmd三点共线，且md = 4-cd,03则abm与zaec的面积比为2.5答案：e二、填

10、空题7. 在口abcd 中，afe = a, al）=b,品=3就，m 为 bc 的中点,则尬4=佣a, b表示）.解析：由品=3武，得4品=3£t=3（a+bj,曲=°+尹，所昴=討+坊_卜+対=_弟+扣答案：-a+|b8（2015-北京卷）在厶abc中，点m, n满足如=2叼匕b5| =武若m = xafe+yat,则乂=； y=.2解析:vai=2mfc, aal=atvfin = nt, aa=|(afe+at),又皿=xafe+yat：, ax=|, y=答案：19.设a, b是两个不共线向量，a=2a +pb, bt： = a+b, c& =a-2b,若

11、a, b, d三点共线，则实数p的值为解析:vbb=bt4-cb=2a-b,又 a, b, d 三点共线,*-2=2x,存在实数人使砸=几劭，即 a ap=-1.lp=-x,答案：-i三、解答题10.设两个非零向量引和e2不共线.(1)如果afe=eje2，bc=3ei+2e2，.cl)= 8ei2e2, 求证：a, c, d三点共线； (2)如果砸=ei+e2，bt=2e!-3e2, cb = 2e!-ke2,且 a, c,d三点共线，求k的值.证明:vafe = e1-e2,就=3ei+2e2,cb=8ei_2e2,a a!=afe + bt!=4ei + e2=(8ei 2e2)=|cb, a at：与cb共线.又at与cb有公共点c, a, c, d三点共线.解：(2)at=a+bt = (ei+e2) + (2e1-3e2)=3e1-2e2,va, c, d三点共线，at与cb共线，从而存在实数入使得则 3ei22=x(2ejke2)=2入e】一kke2,3=2 入，34得一2=心解得入=k=yuc(1) 用a和表示向量况，万5;(2) 若oe=aq4,求实数入的值.2