高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用课件4 新人教B版选修2-1

1、方向向量方向向量:法向量法向量:如果一个非零向量如果一个非零向量 与直线与直线 平行，平行，则称向量则称向量 为直线为直线 的方向向量的方向向量nana如果一个非零向量如果一个非零向量 与平面与平面 垂直，垂直，则称向量则称向量 为平面为平面 的法向量的法向量 nnann，已知),(),(222111zyxbzyxa，则的夹角为与设bacosbaba222222212121212121zyxzyxzzyyxx例例3如图，已知长方体如图，已知长方体 直线直线 与平面与平面 所成的所成的角为角为 ， 垂直垂直 于于 ， 为为 的中点的中点. 1111,abcdabc d12,1,abaabd11a

2、ab b30aebdef11ab（i i）求异面直线）求异面直线aeae与与bfbf所成角所成角的余弦值。的余弦值。（iiii）求平面）求平面bdfbdf与平面与平面aaaa1 1b b所所成二面角的余弦值。成二面角的余弦值。ca1abd1bf1dec12130o例例3 如图，已知长方体如图，已知长方体 直线直线 与平面与平面 所成的所成的角为角为 ， 垂直垂直 于于 ， 为为 的中点。的中点。1111,abcdabc d12,1,abaabd11aab b30aebdef11ab2abbbaaad11平面30dba与平面与平面 所成的角为所成的角为 11aab bbdo60bda332ad1

3、ae解：如图，以解：如图，以a为原点，建立为原点，建立空间直角坐标系空间直角坐标系a-xyz2130oa1abd1bf1dec1xzya(0,0,0)b(2,0,0)e( , ,0)2321例例3 如图，已知长方体如图，已知长方体 直线直线 与平面与平面 所成的所成的角为角为 ， 垂直垂直 于于 ， 为为 的中点。的中点。1111,abcdabc d12,1,abaabd11aab b30aebdef11ab（i i）求异面直线）求异面直线aeae与与bfbf所成角的余弦值。所成角的余弦值。分析分析:即求即求 与与 夹角余弦值的绝对值夹角余弦值的绝对值aebf)0 ,2321( ，ae) 1

4、, 0 , 1(bff (1, 0,1)x2130oz332a1abd1bf1dec1y（i i）求异面直线）求异面直线aeae与与bfbf所成角的余弦值。所成角的余弦值。 异面直线异面直线ae、bf所成角的余弦值为所成角的余弦值为 42bfaebfaebfae,cos42221)0 ,2321( ，ae) 1 , 0 , 1(bfx2130oz332a1abd1bf1dec1yb(2,0,0) d(0, ,0)332（iiii）求平面）求平面bdfbdf与平面与平面aaaa1 1b b所成二面角的余弦值。所成二面角的余弦值。易知平面易知平面1aab的一个法向量的一个法向量 (0,1,0)m

5、( , , )nx y zbdf设设是平面是平面的一个法向量的一个法向量 2 3( 2,0)3bd ) 1 , 0 , 1(bfxyxz3033220yxzxf (1, 0,1)分析分析:即求该二面角法向量余弦值的绝对值即求该二面角法向量余弦值的绝对值,再观察二面角大小确定其值再观察二面角大小确定其值00nbfn bfnbdn bd x2130oz332a1abd1bf1dec1y令令x=1得得1, 3,1n 所以平面所以平面bdfbdf与平面与平面aaaa1 1b b所成所成二面角的余弦值为二面角的余弦值为515515,cosnmnmnm由图可知平面由图可知平面bdfbdf与平面与平面aaa

6、a1 1b b所成二面角为锐角所成二面角为锐角（iiii）求平面）求平面bdfbdf与平面与平面aaaa1 1b b所成二面角的余弦值。所成二面角的余弦值。易知平面易知平面1aab的一个法向量的一个法向量 (0,1,0)m 思考：若二面角思考：若二面角为钝角则其余弦为钝角则其余弦值为多少？值为多少？x2130oz332a1abd1bf1dec1y如图所示，在正方体如图所示，在正方体abcd-a1b1c1d1中，边中，边长为长为2，m、n分别是分别是a1b1 、b1b的中点，的中点，（1）求异面直线）求异面直线a1b、ac所成的角。所成的角。（2）求二面角）求二面角b1-a1b-c1的余弦值。的

7、余弦值。abcda1b1c1d1mna(2,0,0)a1(2,0,2) b(2,2,0)yxz解解:如图如图,以以d为原点为原点, 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系d-xyzc(0,2,0)如图所示，在正方体如图所示，在正方体abcd-a1b1c1d1中，边中，边长为长为2，m、n分别是分别是a1b1 、b1b的中点，的中点，（1）求异面直线）求异面直线a1b、ac所成的角。所成的角。分析分析:可由可由 与与 夹角余弦值的绝对值求夹角余弦值的绝对值求得得ba1ac)22 , 0(1，ba)0 , 2 , 2(ac41acba221ba22acabcda1b1c1d1mn如图所示，在正方体如

8、图所示，在正方体abcd-a1b1c1d1中，边中，边长为长为2，m、n分别是分别是a1b1 、b1b的中点，的中点，（1）求异面直线）求异面直线a1b、ac所成的角。所成的角。41 acba221ba22ac21,cos111acbaacbaacba2, 0设异面直线设异面直线a1b、ac所成的角为所成的角为3yxzabcda1b1c1d1mn如图所示，在正方体如图所示，在正方体abcd-a1b1c1d1中，边中，边长为长为2，m、n分别是分别是a1b1 、b1b的中点，的中点，yxz（2）求二面角）求二面角b1-a1b-c1的余弦值。的余弦值。易知平面易知平面的一个法向量的一个法向量 bb

9、a11)0 , 0 , 1 (m),(zyxn 设平面设平面a1bc1的法向量为的法向量为)22 , 0(1，ba)20 , 2(1，bc0011bcnbanzxzy令令z=1得：得：) 1 , 1 , 1 (na1(2,0,2)b(2,2,0) c1(0,2,2)abcda1b1c1d1mn 平面平面的一个法向量的一个法向量 bba11)0 , 0 , 1 (m（2）求二面角）求二面角b1-a1b-c1的余弦值。的余弦值。如图所示，在正方体如图所示，在正方体abcd-a1b1c1d1中，边中，边长为长为2，m、n分别是分别是a1b1 、b1b的中点，的中点，yxz) 1 , 1 , 1 (n

10、 平面平面a1bc1的法向量为的法向量为33311,cosnmnmnm二面角二面角b1-a1b-c1的余弦值为的余弦值为33由图可知由图可知:二面角二面角b1-a1b-c1为锐角为锐角abcda1b1c1d1mn1 1、求异面直线所成的角、求异面直线所成的角2 2、求二面角、求二面角今天学习的主今天学习的主要内容是什么要内容是什么?作业：作业：如图，在椎体如图，在椎体p-abcd中，中，abcd是边长为是边长为1的棱的棱形，且形，且dab=60， ,pb=2,e,f分别分别是是bc,pc的中点的中点（1） 证明：证明：ad 平面平面def；（2） 求二面角求二面角p-ad-b的余弦值。的余弦值。 2papd（2011年广东高考）年广东高考）作业：作业：如图，在椎