四年级数学思维能力拓展专题突破系列(三)等差数列

1、四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列-等差数列基础（1）温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。等差数列的认识、通项公式的使用1. 熟悉等差数列通项公式2. 应用等差数列通项公式计算例题1：判断下面哪些是等差数列？ 1、0、1、0、1、0 2、8、14、20、26 1、2、2、3、4、5 95、90、85、80、75 例题2：一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。第一次跳了10厘米，它一共跳了100次，问它第100次跳多高？例题3：一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高2厘米。第5次跳了10厘

2、米，它一共跳了60次，问它第60次跳多高？ 例4：一个等差数列共13项。每一项都比它的前一项大7，并且末项为125。求首项是多少? （即使该课程的课后测试）练习1：判断下面哪些是等差数列，是的画，不是的画×。（1）4、8、12、16、20、24 （ ）（2）1、2、3、5、8、13 （ ）（3）3、3、3、3、3、3、3 （ ）（4）40、38、37、36、34、32 （ ）练习2：在等差数列中4、10、16、22、中，第48项是多少？练习3：求等差数列2、5、8、11的第100项？练习4：求1、5、9、13、这个等差数列的第30项？练习5：一个等差数列共20项。每一项都比它的前一项

3、大3，并且末项为125。求首项是多少？练习1：判断下面哪些是等差数列是的画，不是的画×。（1）4、8、12、16、20、24 （ ） 公差为4（2）1、2、3、5、8、13 （ × ） 相邻两项分别差1、 1、 2 、3 、5（3）3、3、3、3、3、3、3 （ ） 公差为0（4）40、38、37、36、34、32 （ × ） 相邻两项分别差2、1、1、2、2练习2：在等差数列中4、10、16、22、中，第48项是多少？分析：练习3：求等差数列2、5、8、11的第100项？分析：练习4：求1、5、9、13、这个等差数列的第30项？分析：练习5：一个等差数列共20项

4、。每一项都比它的前一项大3，并且末项为125。求首项是多少？分析： 四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列-等差数列基础（2）掌握等差数列的项数和公差公式1. 熟悉等差数列项数公式、公差公式2. 应用等差数列项数公差公式计算例题1：有一公差6的等差数列，a1=12， an=84，求n的值？例题2：体育课上老师指挥大家排成一排，乐乐站排头，哈哈站排尾，从排头到排尾报数。如果乐乐报3，哈哈报25，每位同学报的数都比前一位多2，那么队伍里一共有多少人？如果乐乐报17，哈哈报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？例题3：艳艳老师在黑板上写了一个等差数列，刚写完，老顽童

5、奥大叔就擦去了其中的大部分，只留下第四个数31和第十个数73。能找出这个等差数列的公差吗？例4：在124和245之间插入10个数以后，使它成为一个等差数列。这10个数中，最小的是几？最大的是几？（即使该课程的课后测试）练习1：在数列3、6、9、201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？练习2：在等差数列中4、10、16、22、中，508是这个数列的第几项？练习3：一个等差数列首项是11，末项是91，共9项，公差是多少？练习4：一个等差数列的第5项是46，第16项是167，公差是多少？练习5：在27和76之间插入6个数，使它成为一个等差数列，这6个数中最大是多少，最小是多少？练习

6、1：在数列3、6、9、201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？分析： 项数=（201-3）3+1=67 末项=3+（201-1）×3=603答：共有67项，第201个数是603。练习2：在等差数列中4、10、16、22、中， 508是这个数列的第几项？分析: 项数=（508-4）÷6+1=85答：508是这个数列的第85项。练习3：一个等差数列首项是11，末项是91，共9项，公差是多少？分析: 公差=（末项-首项）÷（n-1） =（91-11）÷（9-1） =10答：公差是10。练习4：一个等差数列的第5项是46，第16项是167，公差

7、是多少？分析：答：公差是11。练习5：在27和76之间插入6个数，使它成为一个等差数列，这6个数中最大是多少，最小是多少？分析：8个数形成等差数列，首项为27，末项为76，则：公差=（76-27）÷（8-1）=49÷7=7 最小数=27+7=34 最大数=76-7=69答： 这6个数中最大是69，最小是34。四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列-等差数列求和掌握等差数列求和公式1. 熟悉等差数列求和公式2. 应用等差数列求和公式计算例题1：(2468102000)(135791999)例题2：134679101213+99100例题3：求1至100内被3整除数的

8、和？例题4：求1到100不能被3整除数的和？例题5：求100以内能被2或3整除数的和？（即使该课程的课后测试）练习1：计算（1+3+5+1991）（2+4+6+1990）练习2：计算5+10+15+20+190+195+200的和。练习3：求自然数中被10除余1的所有两位数的和？练习4：求不超过500的所有不能被11整除的自然数的和？练习5：求297294291963的和。练习1：计算（1+3+5+1991）（2+4+6+1990）分析：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996所以被减数的总和=(1+1991)×996÷2=992016减数的项数=(1990

9、-2)÷2+1=995所以减数的总和=(2+1990)×995÷2=991020所以原式=992016-991020=996练习2：计算5+10+15+20+190+195+200的和。分析：首项=5，末项=200，公差=5项数=(200-5)÷5+1=405+10+15+20+190+195+200=(5+200)×40÷2=4100练习3：求自然数中被10除余1的所有两位数的和？分析：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、91的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算

10、。11+21+31+91=（11+91）×92=459练习4：求不超过500的所有不能被11整除的自然数的和？分析：用1到500的和减去能被11整除数的和。能被11整除最小的数是11，最大的是495，共45项。（1+500）×500÷2（11+495）×45÷2=125250-11385=113865练习5：求297294291963的和。分析：297294291963369291294297，对于重新排列的这列数，首项3，末项297，公差d3项数n（2973）÷3198199s=（3297）×99÷2=300&#

11、215;99÷2=150×99=14850四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列-等差数列提高掌握等差数列中项定理1. 熟练掌握等差数列中项定理公式2. 灵活应用等差中项定理进行计算例题1：(2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011)÷2008例题2：把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？例题3：已知一个等差数列的前15项之和为450，前20项之和为750，问这个数列的公差是多少？首项是多少？例题4：乐乐和哈哈同时开始工作。乐乐第一个月得到1000元工资。以后每月多得60元；哈哈第一个月得到500元

12、工资，以后每月多得45元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？（即使该课程的课后测试）练习1：从小到大连续11个偶数的和为594，求第三个偶数是多少？练习2：一个等差数列一共有13项，公差为11，若已知这个等差数列的和为3926，求在这个数列中最小的数为多少？练习3：从小到大连续12个奇数的和为600，求第三个奇数是多少？练习4：小王看一本书，第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，最后一天看了78页正好看完。这本书共有多少页？ 练习5：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示)，求这堆钢管一共有多少根？ 练习1：从小到大连续11个偶数的和为594，求第三个偶数是多少？分析：（中项定理）5

13、94÷11=54得中间数，即第6项为54。54-2×3=48答：第三个偶数是48。练习2：一个等差数列一共有13项，公差为11，若已知这个等差数列的和为3926，求在这个数列中最小的数为多少？分析：根据中项定理得： 最小的为：302-（7-1）×11=236答：在这个数列中最小的数为236。练习3：从小到大连续12个奇数的和为600，求第三个奇数是多少？分析：因为是连续的奇数，形成公差为2的等差数列。中间两项的和为：600÷12×2=100；第六项：（100-2）÷2=49；第三项：49-2×（6-3）=43答：第三个奇数是

14、43。练习4：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，最后一天看了78页正好看完。这本书共有多少页？分析：先求共看多少天：n=（78-20）÷2+1=30（天） s=（20+78）×30÷2= 98×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。练习5：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示)，求这堆钢管一共有多少根？ 分析：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以10为末项，以1为公差的等差数列， 求钢管一共有多少根，其实就是求3+4+5+9+10的和。项数=(10-3)÷1+1=83+4+5+9+10=(3+10)&

15、#215;8÷2=13×8÷2=52(根)。答：这堆钢管一共有52根。四年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）等差数列-等差数列综合巩固掌握等差数列通项公式、求项数公式、求和公式、中项定理1. 熟练掌握根据各类公式进行计算2. 灵活应用等差数列求和公式和中项定理例题1：（2008年第六届走美杯四年级初赛第2题）(1+2+3+2007+2008+2007+3+2+1)÷2008例题2：盒子中放着两个小球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，把它变成4个小球后放回盒子，第二次又从盒子拿出两个球，将每个都变成4个球后放回盒子第十次从盒子中拿出10个球，将每个都

16、变成4个球后放回盒子。这时盒子里有多少个小球？例题3：已知数列：2、1、4、3、6、5、8、7、问2009是这个数列的第多少项？例题4：已知数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、，试问：（1）15是这个数列中的第几个到第几个数？（2）这个数列中第100个数是几？（即使该课程的课后测试）练习1：1+2+3+499+500+499+3+2+1练习2：在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他人握一次手。那么一共握了多少次手？练习3：有50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？练习4：求下列方阵中所有数的和： 1、2、3、4

17、、49、50； 2、3、4、5、50、51； 3、4、5、6、51、52； 49、50、51、52、97、98；50、51、52、53、98、99。练习5：用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形。如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒，那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒？ 练习1：1+2+3+499+500+499+3+2+1分析：根据1+2+3+4+n+（n-1）+4+3+2+1=n×n 1+2+3+499+500+499+3+2+1=500×500=250000练习2：在一次元旦晚会上，一共有48位同学

18、和5位老师，每一位同学或老师都要和其他人握一次手。那么一共握了多少次手？分析：根据题意，一共有48+5=53（人）参加了这次晚会。所以，一共握手的次数为：52+51+50+3+2+1=（52+1）×52÷2=1378（次）答：一共握了1378次手。练习3：有50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？分析：开第一把锁时，如果不凑巧，试了49把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试49次，同理，开第二把锁至多需要48次，开第三把锁至多需试47次，等打开第49把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和，即：49+48+47+2+1=(49+1)×49÷2=1225（次）答：至多要试1225次。练习4：求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、49、50； 2、3、4、5、50、5