概率论与数理统计习题集及答案

1、概率论与数理统计习题集及答案Company number ： 0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108概率论与数理统计作业集及答案第1章概率论的基本概念§1.1 随机试验及随机事件1. (1)一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S 二 ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S 二 ；2. (1)丢一颗骰子.A ：出现奇数点，则A二； B ：数点大于2,则B 二 .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A二 ；B ：两次出现同一面，贝卜 ； C ：至少有一次出现正面，则C= .§1.2 随机事件

2、的运算1 .设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为：. (2)A与B都发生,而C不发生表示 为：-(3) A与B都不发生,而C发生表示为：. (4) A、B、C中最多二个发生表示 为：-(5)A、B、C中至少二个发生表示为：. (6)A、B、C中不多于一个发生表示 为：-2. = x:0< a <5),A = x: 1 <x<3),B = x:2<<4:则(1) AkjB=.(2) AB= .(3)AB=.(4) A>B= , (5) 71= o(5) 3概率的定义和性质1 .已知 P(A = 8)

3、= 0.8, P(A) = 05P(8)=0.6,贝lj(1) P(AB) = , (2)(P(A B)= . (3) P(A<jB)=.2 .已知 P(A) = 0.7, P(AB) = 0.3,则 P(AB)=.§1.4 古典概型1 .某班有30个同学,其中8个女同学，随机地选10个,求：正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率，(3)至少有2个女同学的概率.2 .将3个不同的球随机地投入到4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§1.5 条件概率与乘法公式1 .丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是 O2 .已知 P(A)

4、= l/4, P(8IA) = l/3,P(AI8) = l/2,则 P(Au8)= 。§1 .6全概率公式1 .有10个签，其中2个“中二第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一 个签，说明两人抽“中的概率相同。2 .第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从 中随机地取一个球，求取到红球的概率。§1.7贝叶斯公式1 .某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求(1)该厂产品能出厂的概率，(2)任取一出厂产品,求未经调试的概率。2 .将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概

5、率为,B被误收作A的概率为，信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2,若接收站收到 的信息是A,问原发信息是A的概率是多少§1 .8随机事件的独立性1 .电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的 概率均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。 八/BLR C D 2 .甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为，和，是否命中，相互独立， 求下列概率：(1)恰好命中一次，(2)至少命中一次。第1章作业答案§1.1 1 ： (1) S = HHH、HHT,HTH、THH、HTT、THT'TTH、TTT)；(2) S = 0,

6、1, 2, 3)2 ： (1) A = 1, 3, 5) 8 = 3, 4, 5, 6；(2) A = 正正，正反,8 = 正正，反反,。= 正正，正反，反正。§1.2 1 ： (1) ABC ； (2) ABC ； (3) ABC ； (4) A B C ； (5) ABACBC ；(6) AB<jAC<jBC 或 ABC + ABC + ABC + ABC ；2 ： (l)Au8 = x:l vxv4 ； (2)AB = x:2<x<3 ； (3)= x: 3 < x < 4；(4)=或2«x«5 ； (5) AB =x:

7、1 <a-<4o§1.3 1 ： (1) P(AB)=, (2) P(AB)= , (3) P(A<jB) = 0.7. 2 ： P(AB) =§i .4 i ： cK，(c；+c；%+c：，)/c(，1-(。分+c；q)/c，2 ： P/4§1.5 1 ： . 2/6 ；2 ： 1/4O§1.6 1 ：设A表示第一人“中”,则P(A) = 2/10p P(X=2,YW2)； (2)P(YW2)； (3)已知 YW2,求 X=2 的概率。§贝努里分布1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为，计算

8、机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少2设每次射击命中率为，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率 不小于§随机变量的分布函数 0x<-1设随机变量X的分布函数是：F(x)= 0.5 -1<x<11x>(1)求 P(XWO)； P(O<X<1) ; P(Xl). (2)写出 X 的分布律。r Ax2设随机变量X的分布函数是：F(x)=1tV7 ">°，求(

9、1)常数A,(2)P(1<XW2).0x<0§连续型随机变量k x 0Vx v 1设连续型随机变量X的密度函数为"0具他(1)求常数k的值；(2)求X的分布函数F(x),画出F(x)的图形，(3)用二种方法计算P(- <X<.0x<2设连续型随机变量口的分布函数为：F(x)=hix1 x>e(1)求X的密度函数画出/*)的图形，(2)并用二种方法计算P(X>.§均匀分布和指数分布1设随机变量K在区间(0, 5)上服从均匀分布,求方程4x2+ 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。2假设打一次电话所用时间(单位：分)

10、X服从= 0.2的指数分布，如某人正好在你前 面走进电话亭，试求你等待：(1)超过10分钟的概率；(2) 10分钟到20分钟的 概率。§正态分布1 随机变量 X N (3, 4), (1)求 P(2vX W5), P(- 4vXW 10), P(IXI>2), P(X>3)；(2)确定 c,使得 P(X>c) = P(X<c)o2某产品的质量指标X服从正态分布，u=160,若要求P(120<X<200)N,试问。最多取 多大§随机变量函数的分布1设随机变量X的分布律为；X 01 2PY = 2X-1,求随机变量X的分布律。2设随机变量X的

11、密度函数为:/“)= VLf ,I 0 具他r = x2 ;求随机变量y的密度函数。3.设随机变量X服从(0, 1)上的均匀分布，K = -21nX t求随机变量Y的密度函第2章作业答案§ 1 ： X 3 4 5P2 ： 12345P X XX XXX XXXX1§ 1 ： (1)P(X= 1) = P(XN1) - P(XN2)= 一 二,(2) P(XN1) 二 ,(3) P(XW 1)= 1 - P(XN2) = 1 - = o2 ： (1)由乘法公式：P(X=2,Y W 2) = P(X=2) P(Y W 2 I X=2)= x (e" + 2b2 + 2

12、e" )= 2 e”(2)由全概率公式:P(YW2) = P(X=2) P(YW2 I X=2) + P(X=3) P(Y W2 I X=3)=x5(3)由贝叶斯公式：P(X=2IYW2)二P(X =2,y W2)P(Y < 2)0.27067-0.52458=0.516§ 1 ：设x表示在同一时刻被使用的台数，则XB(5,(1)P(X = 2) = C；0.620.43(2) P(X N3)= C/0.630.42 + C0.640.4 + 0.65(3) P(X W 3 ) = 1 - C； 0.640.4 - 0.65(4)P(X N 1 ) = 1 - 0.4

13、52 ：至少必须进行11次独立射击.§ 1 ： (1) P(XW0)= ； P(0 < X < 1) = ； P(XN1) 二 ,(2) X的分布律为：X J 1P2 ： (1) A= 1, (2)P(1<X <2)=1/60x<0§ 1 ： (1) k = 2,(2) F(x) = x2 0<x<1;1x>z、/fO.5r0 裨.5|(3) P(- <X< = Lj*Mx = L阳X + £ 2xdx = n ；或二 F(0, 5) - F = -0 = -o44,、Mx l<x<e ,、2

14、：(1) /W= n . .(2) P(X>2) = l ln20 具他§ 1 ：3/52 ： I (2)厂一小§ 1 ： (1)；(2)c = 3f 2 : oW。3 :§ 1 ： Y 113y>0 . /y <0J1fY(y = 2e0第3章多维随机变量§二维离散型随机变量1.设盒子中有2个红球，2个白球,1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律°2.设二维随机变量(X)的联合分布律为7 |Y 012试根幅下列条件分别求a和b的值； 00.2 a(l

15、)P(X =1) = 0.6 ；1 b(2)P(X =117 = 2) = 0.5 ；(3)设尸)是丫的分布函数,一(1.5)=0.5。§二维连续型随机变量L (X、丫)的联合密度函数为：/Uy) =尸k(x +y) 0<x<l,0<y<l求 常数 k ； (2) P(X<l/2,Y<l/2) ； (3) P(X+Y<1) ； (4) P(X<1/2)O2 .(X、y)的联合密度函数为：/3,，)=kxy 0<x<l, 0<y<x求 常数 k； (2) P(X+Y<1) ； (3) P(X<l/2)e

16、§边缘密度函数1 .设(x.y)的联合密度函数如下，分别求x与y的边缘密度函数。2 .设(x,Y)的联合密度函数如下，分别求x与丫的边缘密度函数。§随机变量的独立性1. (X,Y)的联合分布律如下， X Y 1 2 3试根幅下列条件分别求a和b的值；11/6 1/9 1/18(1) P(r = l) = l/3 ；2 a b 1/9(2) P(X >117 = 2) = 0.5 ；(3)已知 X 与 丫相互独立。2. (X,Y)的联合密度函数如下，求常数c,并讨论X与丫是否相互独立*§多个随机变量的函数的分布*§几种特殊随机变量函数的分布 第3章作

17、业答案§ 1 ： X Y 2 2 ： (l)a= b=1 (2) a= b=2S 0.3(3) a= b=1§ 1 ： (l)k = 1 ； (2) P(X<l/2, Y<l/2) = 1/8 ； (3) P(X+Y<1) = 1/3 ； (4) P(Xvl=3/8。2 ： (l)k = 8 ； (2) P(X+Y<1) = 1/6 ； (3) P(X<l/2) = l/16o1 : fx M = J-X，八 八八 不办=/r(i+x-)(i + y )2- -oo < x < -Ho ；4(1 +尸)i /、 L1i 2/y(y)

18、 =-Zx =- -oo< y <+oo ;J-xjr2(l + x2)(l + y2) 乃(1 + y )xex x > 00x<0fy(y)= <§ 1 ： (1) a=l/6 b=7/18 ； (2) a=4/9 b=l/9 ； (3) a= 1/3, b = 2/9o2 ： c = 6, X与Y相互独立。第4章随机变量的数字特征§数学期望1 .盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX 是：(A) 1 ；(B) ；(C) ；(D) 2.3r2 2<x<4i2,设X有密度函数：/(x)= =,求

19、E(X), E(2X-1),凤7),并求X大于0 其他X -数学期望E(X)的概率。3 .设二维随机变量(XI)的联合分布律为7 |Y 012已知 E(XY) = 0.65,00.2 a贝IJ a和b的值是：1b(A) a=, b= ；(B) a=, b= ；(C) a=, b= ；(D) a=, b=o4 .设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下：求EX,Ey,E(XY + l)。§数学期望的性质1 .设X有分布律：X () 123则国X?2X+3)杲：P(A) 1 ；(B) 2 ；(C) 3 ；(D) 4.5,2 .设(x.y)有/ A试验证 E(xy)= E(x)E(y),但x

20、与丫不。其 他相互独立。§方差I .丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求石X, OX.(x + l)/4 0<x<22. X有密度函数：/(x)=,求D(X).0只§常见的几种随机变量的期望与方差1 .设X"2) ,y8(3, 0.6)，相互独立，则E(X-2Y), D(X-2丫)的值分别是： (A)和；(B) -1 和 4 ；和；(D)和.2.设XU(“，办 YN(4, 3), X与丫有相同的期望和方差，求”，。的值。(A) 0 和 8；(B) 1 和 7；(C) 2 和 6；(D) 3 和 5.§协方差与相关系数1 .随机变量(x,y)的联

21、合分布律如下：试求协方差c,p(x,y)和相关系数A.X Y -Y2 .设随机变量(X, Y)有联合密度函数如下：试求协方差Cou(X,y)和相关系数§独立性与不相关性矩1 .下列结论不正确的是()(a) x与丫相互独立，则x与丫不相关；(B) x与丫相关，则x与y不相互独立；(c) E(xr)= E(x)E(y),则x 与丫相互独立；(D) /(x,y) = /x(x)/r(y),则X 与丫不相关；2 .若cov(x,y)= o,则不正确的是()(A) E(XY) = E(X)E(Y) ； (B) E(X + Y) = E(X) +E(Y)；(C) D(XY) = D(X)D(Y)

22、 ； (D) D(X +Y) = D(X) +D(Y)；3 . (X,r)有联合分布律如下，试分析X与y的相关性和独立性。XY01-11/81/81/801/801/811/81/81/84 .凤xr）= f（x）4y）是x与丫不相关的（）（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。5 . E（xr）= 4x）石（丫）是x与丫相互独立的（）（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。6 .设随机变量（X,Y）有联合密度函数如下：试验证X与丫不相关，但不独立。第4章作业答案§1 ： B ；2 ： 3/2, 2, 3/4,37/

23、64 ；3 ： D ；4 ： 2/3, 4/3, 17/9 ；§1 ： D；§1：7/2,35/12 ；2 ： 11/36 ；§1：A ；2 ：B ；§1：,； 2 ： -1/144, - 1/11；§1：C ；2 ： C ；3 ： X与丫不相关，但X与丫不相互独立；4 ： C ； 5 ： A ；第5章极限定理*§大数定理§中心极限定理1 . 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为的指数分布，现有元件30只，一只在用， 其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30 只元件至少能使用一年（8760小

24、时）的近似概率。2 .某一随机试脸，“成功”的概率为，独立重复10。次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。第5章作业答案【理统计基础§数理统计中的几个概念1 .有11=10的样本；，则样本均值x=,样本均方差S =,样本方差S? =o2 .设总体方差为必有样本X|,X2,X”，样本均值为了,则Cov(XI,5)=。§数理统计中常用的三个分布1 .查有关的附表，下列分位点的值：Z0-9=Zo,l(5)=一，().9 (10)= o2 .设七,乂2,X”是总体/(”?)的样本，求E(T), D(X)O§ 一个正态总体的三个统计量的分布I .

25、设总体乂样本X”X2,X”,样本均值G,样本方差§2,则X-/ X-/b / yfn* S / yn_1 /IfZ(XX)2 , fZ(X,4)2b /-1b /-I*§二个正态总体的三个统计量的分布 第6章作业答案§ 1 . 7 = 1.57, 5 = 0.254. 52 = 0.0646 ； 2. Cov(XX) = h2 /n ;§ 1 . , , ；2 . E(X) = m, D(X) = 2m/n ；§ L N(0, 1),1), z2(/?-l), Z2(n)；第7章参数估计§矩估计法和顺序统计量法L设总体X的密度函数为：

26、:""I 有样本七小,X"，求未知 0 其 他参数e的矩估计。2.每分钟通过某桥量的汽车辆数XWX),为估计4的值，在实地随机地调查了 20次，每次1分钟，结果如下：次数：2 3 4 5 6量数：9 5 3 7 4试求Z的一阶矩估计和二阶矩估计。§极大似然估计1 .设总体X的密度函数为：/(幻=卜历+ 1)一有样本XrX,x“，求未 0其 他知参数夕的极大似然估计。§估计量的评价标准L设总体X服从区间(“，1)上的均匀分布，有样本X1,X.,X”，证明£ = 2又-1是“ 的无偏估计。2 .设总体X 万(4),有样本,X”,X"，证明aG + (l-a»2是参数九的无偏估计 (0<«<