机械工程测试技术(第二章)

1、机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院机械工程测试技机械工程测试技术术主讲教师：谷吉海主讲教师：谷吉海机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院 本章主要内容本章主要内容 2.1 概述概述 2.2 测试装置的静态特性测试装置的静态特性 2.3 测试装置的动态特性测试装置的动态特性 2.4 测试装置对典型输入的响应测试装置对典型输入的响应 2.5 实现不失真测试的条件实现不失真测试的条件 2.6 负载效应负载效应第二章第二章 测试装置的基本特性测试装置的基本特性机械工程测试技术机械工程测试技术2021

2、年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院本节主要内容本节主要内容 2.1.1 测试装置的基本特性测试装置的基本特性 2.1.2 线性系统及主要性质线性系统及主要性质 2.1.3 一阶二阶线性系统简介一阶二阶线性系统简介 2.1.4 代数代数系统及其性质系统及其性质 2.1 概述概述返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院 测试系统测试系统: :是执行测试任务的传感器、仪器和设备是执行测试任务的传感器、仪器和设备 的总称。的总称。 测试装置测试装置: : 既指由众多环节组成的复杂测试系统，既指由众多环节组成的复杂测试系统， 又指测试

3、系统中的某一环节，如：传感又指测试系统中的某一环节，如：传感 器、放大器、各种中间变换器、记录器器、放大器、各种中间变换器、记录器 等。等。2.1.1 测试装置的基本特性测试装置的基本特性返回返回轴承振动信号测试系统轴承振动信号测试系统复杂测试系统的组成复杂测试系统的组成机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院1.1.测试装置的基本特性测试装置的基本特性 是指当信号的性态（静态或动态）确定后，描述输是指当信号的性态（静态或动态）确定后，描述输出与输入之间关系的输出函数出与输入之间关系的输出函数 y(t)=fx(t) y(t)=fx(t) 的特的特

4、性。性。 测试装置的基本特性是在规定的使用条件下测试装测试装置的基本特性是在规定的使用条件下测试装置本身所固有的，由系统的输出函数体现出来，与置本身所固有的，由系统的输出函数体现出来，与信号的具体形式无关。信号的具体形式无关。 2.1.1 测试系统的基本特性测试系统的基本特性返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院2.2.基本要求：基本要求：理想的测试装置应该具有单值的、确定的输理想的测试装置应该具有单值的、确定的输 入输出关系。入输出关系。 即对应每一个输入量，都应只有单一的输出量即对应每一个输入量，都应只有单一的输出量 与之对应。知道

5、其中的一个量，就可确定另一与之对应。知道其中的一个量，就可确定另一 个量。个量。 对动态测试对动态测试: :测试装置的输出测试装置的输出y(t)和输入和输入x(t)必须保持线性关必须保持线性关 系，或在规定的使用条件下保持近似的线性关系，或在规定的使用条件下保持近似的线性关 系。即系。即 y(t)s x(t) 或或 y(t)a+ s x(t)2.1.1 测试系统的基本特性测试系统的基本特性机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院2.1.1 测试装置的基本特性测试装置的基本特性3. 工程测试中的三类问题工程测试中的三类问题（1）若）若h(t)已知，

6、已知，y(t)可观，依可观，依h(t)和和y(t)来推断输入来推断输入x(t) ，这，这 是是 最常见的测量问题。目的是获取测试对象的某种量值。最常见的测量问题。目的是获取测试对象的某种量值。（2）h(t)已知，已知，x(t)是规定的已知量，观测输出是规定的已知量，观测输出y(t)是否是由特是否是由特 性所规定理论的结果，相差多少？是否被规定的误差所允性所规定理论的结果，相差多少？是否被规定的误差所允许？这是常见的测试装置的标定、校准。（计量问题）许？这是常见的测试装置的标定、校准。（计量问题）（3）x(t)已知，已知，y(t)可观，据此来研究系统的特性可观，据此来研究系统的特性h(t) ，或

7、对系，或对系 统的运行状态，特性的变化等作出判断，这是更为复杂的统的运行状态，特性的变化等作出判断，这是更为复杂的 系统辨识问题。系统辨识问题。h(t)x(t)y(t)返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院1. 1. 线性系统的概念线性系统的概念2.1.2 线性系统及主要性质线性系统及主要性质当系统的输入当系统的输入 x(t)x(t) 和输出和输出y(t)y(t) 之间的关系可用常系之间的关系可用常系数线性微分方程式（数线性微分方程式（2-12-1）来描述时，则称该系统为）来描述时，则称该系统为定常线性系统或时不变线性系统。定常线性系统

8、或时不变线性系统。式中：式中：t t为时间自变量；系数为时间自变量；系数a an n,a,an-1n-1, ,，a a1 1,a,a0 0和和b bm m1 1, , , b , b1 1 b b0 0 均为不随时间而变化的常数。均为不随时间而变化的常数。 1)-(2 )()()()()()()()(0111101111txbdttdxbdttxdbdttxdbtyadttdyadttydadttydammmmmmnnnnnn返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院若以若以 x(t)x(t)y(t)y(t)表示定常线性系统输入与输出的对应

9、表示定常线性系统输入与输出的对应关系，则定常线性系统具有以下主要性质：关系，则定常线性系统具有以下主要性质：（1 1）叠加原理）叠加原理（2 2）比例特性）比例特性（3 3）积分特性）积分特性（4 4）微分特性）微分特性（5 5）频率保持特性）频率保持特性2. 线性系统的主要性质线性系统的主要性质2.1.2 线性系统及主要性质线性系统及主要性质机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院(1)(1)叠加原理叠加原理 若若 x1(t) y1(t) x2(t) y2(t) 则则 x1(t) x2(t) y1(t) y2(t) （2-22-2） 即：当几个

10、输入同时作用于线性系统时，则其响应等于各即：当几个输入同时作用于线性系统时，则其响应等于各 个输入单独作用于该系统的响应之和。个输入单独作用于该系统的响应之和。(2)(2)比例特性比例特性 若若a a为任意常数为任意常数, ,必有必有 ax(t) ay (t) (2-3)(2-3)(3)(3)积分特性积分特性 若线性系统的初始状态为零（即当输入为零时，其响应也为若线性系统的初始状态为零（即当输入为零时，其响应也为零）。则对输入积分的响应等于对该输入响应的积分，即零）。则对输入积分的响应等于对该输入响应的积分，即 2.1.2 线性系统及主要性质线性系统及主要性质机械工程测试技术机械工程测试技术2

11、021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院 (4)(4)微分特性微分特性 线性系统对输入导数的响应等于对原输入响应的导数，即线性系统对输入导数的响应等于对原输入响应的导数，即(5)(5)频率保持特性频率保持特性 若线性系统的输入为某一频率的简谐信号，则其稳态响应必若线性系统的输入为某一频率的简谐信号，则其稳态响应必是、也只能是同一频率的简谐信号。是、也只能是同一频率的简谐信号。 即即 2.1.2 线性系统及主要性质线性系统及主要性质ttdttydttx004)-(2 )()( 5)-(2 )()(dttdydttdx)t(0 0)( )( )(cos)( cos)( jtjeyt

12、yextxtbtytatx：则输出或：输出则：若输入返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院2.1.3 一阶和二阶线性系统简介一阶和二阶线性系统简介1. 一阶线性系统一阶线性系统 y(t)和和x(t) 的关系可用一阶定常线性微分的关系可用一阶定常线性微分 方程描述的系统，称为一阶线性系统。方程描述的系统，称为一阶线性系统。(1) rc串联电路串联电路 回路电流回路电流 式中式中 两端求导有两端求导有7)-(2 )()()(001txbtyatya)(tx)(ty8)-(2 )()(rtytxi )()()(cdttictqty9)-(2

13、)()(ctity将式（将式（2-8）代入式（）代入式（2-9），得），得与式与式（2-7）具有相同的形式，称为一阶系统归一化微分方程。具有相同的形式，称为一阶系统归一化微分方程。8)-(2 )()(rtytxi9)-(2 )()(ctity)()()(txtytcry)102( )()()( txtytycr 则上式又写为时间常数，令返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院2.1.3 一阶和二阶线性系统简介一阶和二阶线性系统简介)132( )()()(: , 1s 1/k s 12)-(2 )(s )( )( ,c/k k,11)-(2

14、11)-(2 )()()( txtyty txtytytxtkytcy则得若令系统静态灵敏度。式中则有并令两端除以将式机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院（3 3）液柱式温度计）液柱式温度计输入输入x(t)x(t)是被测温度，输出是被测温度，输出y(t)y(t)是温度示值。是温度示值。若若x(t)x(t)是恒定值时，则是恒定值时，则 x = yx = y。若若x(t)x(t)随时间不断变化，则任意时刻都有随时间不断变化，则任意时刻都有x(t)x(t) y(t), y(t), 示值示值y(t)y(t)的变化总要落后于被的变化总要落后于被测对象的

15、温度测对象的温度x(t)x(t)变化，温差变化，温差x(t)-y(t)x(t)-y(t)的的存存在，才使热量在被测对象和温泡之间来回传在，才使热量在被测对象和温泡之间来回传递。递。设单位时间内传导的热量为设单位时间内传导的热量为dq/dt, dq/dt, 则则2.1.3 一阶和二阶线性系统简介一阶和二阶线性系统简介1. 一阶线性系统一阶线性系统16)-(2 x(t)y(t)(t)y ,rc x(t)y(t)dtdy(t)rc 152142c152 cdqdy(t) r14-2 dt ry(t)-(t)dq )()(mmmmmmmm方程（通式）为得液柱式温度计的微分令），得）代入（将式（温泡的热

16、容量）（温泡的温升为传热介质的温阻。）（或xrtytxdtdqm返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院2. 二阶线性系统二阶线性系统2.1.3 一阶和二阶线性系统简介一阶和二阶线性系统简介系统输出和输入的关系可以用二阶常系数线性微分方程描述时系统输出和输入的关系可以用二阶常系数线性微分方程描述时 图示单自由度振动系统即是一个二阶系统。图示单自由度振动系统即是一个二阶系统。17)-(2 )()()()()(0101 2txbtxbtyatyatya返回返回)(0tz) () (10tztz)(1tz)(1tz机械工程测试技术机械工程测试技

17、术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院 据对系统的使用方法不同，可分为两类据对系统的使用方法不同，可分为两类第一类：输入由基础引入，输出由质量引出，用来测第一类：输入由基础引入，输出由质量引出，用来测 试各种振动参数。试各种振动参数。 （1 1）输出在绝对坐标系即惯性坐标系输出在绝对坐标系即惯性坐标系z z内测取内测取 （2 2）输出在相对坐标系内测取，图）输出在相对坐标系内测取，图b b。第二类：基础固定不动，输入为由质量块引入的外力第二类：基础固定不动，输入为由质量块引入的外力 x(t)x(t)，输出为质量在力作用下产生的位移，输出为质量在力作用下产生的位移y(t)y(

18、t) y(t) y(t)代表所测得的外力，图代表所测得的外力，图c.c. 两类各有自己的描述输入输出关系的微分方程两类各有自己的描述输入输出关系的微分方程2.1.3 一阶和二阶线性系统简介一阶和二阶线性系统简介2. 二阶线性系统二阶线性系统机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院)(0tz)()(10tztz)(1tz)(1tz 第一类二阶系统第一类二阶系统 动态力的平衡方程为动态力的平衡方程为 2.1.3 一阶和二阶线性系统简介一阶和二阶线性系统简介移质量块相对于基础的位的位移质量块在绝对坐标系内位移基础在绝对坐标系内的(t)z-(t)z)(z

19、)(z18)-(2 0)()()()()(100110100tttztzktztzctmz (1) (1)若输入若输入x(t)=zx(t)=z1 1(t)(t)，输出，输出y(t)=zy(t)=z0 0(t),(t), 则据式（则据式（2-182-18）系）系统的微分方程为统的微分方程为19)-(2 )()()()()(tkxtcxtkytcytmy(2)(2)若输入若输入x(t)=zx(t)=z1 1(t)(t)，输出，输出y y1 1(t)=z(t)=z0 0(t)-z(t)-z1 1(t), (t), 则系统的微分则系统的微分方程为方程为此时系统的输出还可表示为此时系统的输出还可表示为于

20、是，得于是，得可见式可见式（2-192-19）是描述这类系统输入输出关系是描述这类系统输入输出关系的基本微分方程，的基本微分方程，20)-(2 )()()()(111tmxtkytcytmy21)-(2 )()()()()(101txtytztzty19)-(2 )()()()()(tkxtcxtkytcytmy)(0tz)()(10tztz)(1tz)(1tz机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院 第二类二阶系统第二类二阶系统 输入为外力输入为外力x(t),x(t),输出为质量块位移输出为质量块位移y(t),y(t), 据动态力平衡条件，系统

21、微分方程为据动态力平衡条件，系统微分方程为 将上式两端同除以将上式两端同除以m, m, 并考虑并考虑 2.1.3 一阶和二阶线性系统简介一阶和二阶线性系统简介22)-(2 )()()()(txtkytcytmy系统静态灵敏度阻尼比。，位置的最小阻尼。到平衡位置后能非周期性返回临界阻尼，即离开平衡s 11 /2222/200nnnsmkkmccmkcmkkmcmcmk机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院 第二类二阶系统第二类二阶系统 若设若设s=1,s=1,则式（则式（2-222-22）可写成通式）可写成通式 同理也可把式（同理也可把式（2-1

22、92-19）和（）和（2-202-20）写成通式）写成通式 以上三式以上三式 左端相同，它取决于系统的硬件参数，而左端相同，它取决于系统的硬件参数，而右端还取决于对系统硬件的使用方法。右端还取决于对系统硬件的使用方法。 2.1.3 一阶和二阶线性系统简介一阶和二阶线性系统简介23)-(2 )()()(2)(22txtytytynnn24)-(2 )()(2)()(2)(22txtxtytytynnnn25)-(2 )()()(2)(1211txtytytynn返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院 1 代数系统的定义代数系统的定义 当测

23、试系统的输出当测试系统的输出y(t)y(t)和输入和输入x(t)x(t)之间的函数可用一般的代之间的函数可用一般的代数形式来描述时，称该系统为数形式来描述时，称该系统为代数系统代数系统。 常见的代数系统其输出函数有以下两种形式：常见的代数系统其输出函数有以下两种形式： 2.1.4 代数系统及其主要性质代数系统及其主要性质返回返回27)-(2 )()( )262( )()( )()(txdtytsxbtytsxty或时不变常数时不变常数静态灵敏度静态灵敏度机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院这种传感器的这种传感器的y(t)y(t)与与x(t)

24、x(t) 保持定比例线性关系，是理想的测试装置。保持定比例线性关系，是理想的测试装置。 2. 代数系统举例代数系统举例 平行极板电容器传感器平行极板电容器传感器 （1 1）面积变化型）面积变化型 当输入水平位移当输入水平位移x(t)引起重合度引起重合度a0变化时，以电容变化时，以电容c为输为输 出的出的y(t)为为 2.1.4 代数系统及其主要性质代数系统及其主要性质abc 0)()()( )(0000tsxctsxsatxabty是原始重合度常数是系统灵敏度00 ;, abs （2）极距变化型）极距变化型 当输入垂直位移当输入垂直位移x(t)引起极距引起极距 变化时变化时，系统输出，系统输出

25、y(t)(电电 容容c)为为 d = 0 ab , 保持常数。保持常数。)()(0txdabty这种传感器的这种传感器的y(t)与与x(t)成反比例关系，成反比例关系，仅适用于微小位移的仅适用于微小位移的测量（测量（0.01 m数百数百 m）。）。机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院 3. 代数系统与线性系统的关系代数系统与线性系统的关系 综上，代数系统的输出要么与输入保持定比例线性综上，代数系统的输出要么与输入保持定比例线性关系，要么与输入保持保持近似线性关系。故可认关系，要么与输入保持保持近似线性关系。故可认为动态测试中实际使用的代数系统

26、，在规定的使用为动态测试中实际使用的代数系统，在规定的使用条件下其条件下其输出一律是输入的线性函数。输出一律是输入的线性函数。 因此可将代数系统视为线性系统的特例，即式（因此可将代数系统视为线性系统的特例，即式（2-1）中中ana1, bmb1均为均为0的系统，即零阶线性系统的系统，即零阶线性系统 2.1.4 代数系统及其主要性质代数系统及其主要性质)()()( )()( 0000tsxtxabtytxbtya或故，代数系统具有线性系统的所有性质，且在频率保持特性上故，代数系统具有线性系统的所有性质，且在频率保持特性上更优越，即对简谐信号的响应无滞后问题，且幅值响应为常数。更优越，即对简谐信号

27、的响应无滞后问题，且幅值响应为常数。返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院1. 线性度线性度 是指测量装置输出与输入之间保持常值比例关系的程是指测量装置输出与输入之间保持常值比例关系的程度。度。或校准曲线接近拟合直线的程度或校准曲线接近拟合直线的程度。 校准曲线校准曲线：在静态测量的情况下，在静态测量的情况下，用实验来确定被测用实验来确定被测 量的实际值与测量装置示值之间的函数关量的实际值与测量装置示值之间的函数关 系的过程称为系的过程称为静态校准静态校准。所得关系曲线称。所得关系曲线称 为为校准曲线。校准曲线。2.2 测试装置的静态特

28、性测试装置的静态特性 返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院 线性误差：线性误差：若在装置标称输出范围若在装置标称输出范围a 内，标定内，标定 曲线偏离拟合直线的最大偏差为曲线偏离拟合直线的最大偏差为b 则定义线性误差为：则定义线性误差为： 线性误差线性误差=b/a100%2.2 测试装置的静态特性测试装置的静态特性 机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院2. 灵敏度灵敏度 输出的变化量与输入变化量的比值。输出的变化量与输入变化量的比值。 当测试装置的输入有一个增量当测试装置的输入有一个

29、增量x x，引起输出产生相应增量，引起输出产生相应增量 y y，则定义灵敏度，则定义灵敏度s s为为 s=s=y/y/x x （2-122-12） 显然，显然，对理想的定常线性系统，其灵敏度为对理想的定常线性系统，其灵敏度为 s=s=y/y/x = y/x = x = y/x = b0/a0 = 常数常数 灵敏度的量纲取决于输入输出的量纲。当输入与输出的量灵敏度的量纲取决于输入输出的量纲。当输入与输出的量 纲相同时，则灵敏度是一个无量纲的数，常称之为纲相同时，则灵敏度是一个无量纲的数，常称之为“放大倍放大倍数数”。2.2 测试装置的静态特性测试装置的静态特性 机械工程测试技术机械工程测试技术2

30、021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院3. 回程误差回程误差 实际装置在同样的测试条件下，当输入量由小增大实际装置在同样的测试条件下，当输入量由小增大和由大减小时，对同一输入量所得到的两个输出量和由大减小时，对同一输入量所得到的两个输出量往往存在差值。把在全测量范围内，两输出量之差往往存在差值。把在全测量范围内，两输出量之差的最大值的最大值h hmaxmax称为称为回程误差或滞后误差。回程误差或滞后误差。 即即 h hmaxmax = y = y2i 2i - y- y1i1i （2-13） 2.2 测试装置的静态特性测试装置的静态特性 机械工程测试技术机械工程测试技术2021

31、年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院4. 稳定度和漂移稳定度和漂移 稳定度稳定度 是指测量装置在规定条件下是指测量装置在规定条件下保持其测量特性保持其测量特性恒定不变的能力。恒定不变的能力。常指装置不受时间变化影响的能力。常指装置不受时间变化影响的能力。 漂漂 移移 是指测试装置在是指测试装置在输入不变输入不变的条件下，的条件下，输出随时间变化的趋势输出随时间变化的趋势。 点点 漂漂 在规定的条件下，对一个恒定输入在规定时间内输出在规定的条件下，对一个恒定输入在规定时间内输出 的变化。的变化。 零零 漂漂 在标称范围最低值处的点漂，称为零点漂移。在标称范围最低值处的点漂，称为零点漂

32、移。 产生原因：产生原因：一是仪器自身结构参数的变化；一是仪器自身结构参数的变化； 周围环境变化（如温度、湿度等）对输出的影周围环境变化（如温度、湿度等）对输出的影 响。响。2.2 测试装置的静态特性测试装置的静态特性 返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院本节主要内容本节主要内容2.3.1 线性系统的频率响应函数线性系统的频率响应函数2.3.2 线性系统的传递函数线性系统的传递函数2.3.3 环节的串联和并联环节的串联和并联2.3.4 一二阶线性系统动态特性分析一二阶线性系统动态特性分析返回返回2.3 测试装置的动态特性测试装置的动态

33、特性 机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院动态特性动态特性 就是测试装置在动态信号就是测试装置在动态信号x(t)x(t)激励下，其输激励下，其输 出函数出函数fx(t)fx(t)的特性。的特性。包包 括：输出括：输出y(t)y(t)与输入与输入x(t)x(t)到底呈什么关系？到底呈什么关系？ 是线性关系？还是微分积分关系？是线性关系？还是微分积分关系？ 其关系到底与什么因素有关等？其关系到底与什么因素有关等？对代数系统：输出对代数系统：输出y(t)y(t)时时刻刻都和时时刻刻都和x(t)x(t)保持确定的比例关系保持确定的比例关系 即即 y(

34、t)y(t)以确定的比例在时域内再现了以确定的比例在时域内再现了x(t)x(t)的变化的变化 历程。历程。对线性系统：描述其输出与输入关系的是微分方程，求解微分对线性系统：描述其输出与输入关系的是微分方程，求解微分 方程繁琐、复杂且困难。可将时域微分方程描述方程繁琐、复杂且困难。可将时域微分方程描述 的关系转化到频域中，用的关系转化到频域中，用稳态输出稳态输出频谱与输入频频谱与输入频 谱之间的简单代数关系来考察。谱之间的简单代数关系来考察。2.3 测试装置的动态特性测试装置的动态特性 机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院1.1.频响函数的定义

35、频响函数的定义对一线性测量系统，其输入对一线性测量系统，其输入x x(t)(t)和输出和输出y y(t)(t)之间的关系可以用之间的关系可以用常系数线性微分方程来描述：常系数线性微分方程来描述：对上式两边分别进行傅里叶变换，得对上式两边分别进行傅里叶变换，得 整理，可得系统输出整理，可得系统输出y y(t)(t)与输入与输入x x(t)(t)的频谱密度函数之比：的频谱密度函数之比： 2.3.1 线性系统的频率响应函数线性系统的频率响应函数14)-(2 )()()()()()()()(01110111txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn15)-(2 )()()()()

36、()()()()()()()(01110111xbxbjxbjxbjyayajyajyajmmmmnnnn16)-(2 )()()()()()()()(01110111aajajajbbjbjbjxynnnnmmmm返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院 令令 称称h( )为线性系统的为线性系统的频率响应函数频率响应函数。 h(h( ) )是系统稳态输出的频谱密度函数与输入的频谱密度函数之比，一般是是系统稳态输出的频谱密度函数与输入的频谱密度函数之比，一般是 实变量实变量 的复函数的复函数, , 即即 h(h( )=a()=a( )e)

37、ej j ( ( ) ) 。 定义其模定义其模 为线性系统的幅频特性函数，简称幅频特性。为线性系统的幅频特性函数，简称幅频特性。 定义其幅角定义其幅角 为线性系统的相频特性函数，简称相频特性。为线性系统的相频特性函数，简称相频特性。 2.3.1 线性系统的频率响应函数线性系统的频率响应函数17)-(2 )()()()()()()()()(01110111aajajajbbjbjbjxyhnnnnmmmm18)-(2 )(im)(re | )(| )(|)()(22hhxyah19)-(2 )(/ )(arctani )()()(mhrhexy返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年1

38、1月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院2.2.脉冲响应函数脉冲响应函数 由由 得得 式中，式中， ，称为系统的，称为系统的脉冲响应函数。脉冲响应函数。 因为，对线性系统输入一单位脉冲函数因为，对线性系统输入一单位脉冲函数 (t)(t)，则在频域内系，则在频域内系统的响应为：统的响应为： 对上式作傅里叶逆变换，有对上式作傅里叶逆变换，有 2.3.1 线性系统的频率响应函数线性系统的频率响应函数)()()(xhy )()()()()(1txthxhfty)()(1hfth)(1)()()()(hhhy)()()(1thhfty由此可见，由此可见，h(t)h(t)是线性系统对单位脉冲函数是线性

39、系统对单位脉冲函数 (t)(t)的响应，故的响应，故称其为称其为脉冲响应函数。脉冲响应函数。h(t)h(t)是在时域内描述系统输出是在时域内描述系统输出y(t)y(t)和输入和输入x(t)x(t)关系的重要函关系的重要函 数，数，即有即有 y(t)=h(t)y(t)=h(t)* *x(t)x(t)返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院1. 拉普拉斯变换的基本概念拉普拉斯变换的基本概念 h( h( ) )分析线性系统动态特性分析线性系统动态特性, , 输出输出y(t)y(t)是系统的稳态是系统的稳态 输出输出, ,不包括暂态部分不包括暂态

40、部分, ,而在控制中暂态量有时不可忽视而在控制中暂态量有时不可忽视. . 傅立叶变换条件较严格傅立叶变换条件较严格, ,许多信号不满足绝对可积条件许多信号不满足绝对可积条件, , 无法用傅立叶变换获得其频谱无法用傅立叶变换获得其频谱, ,使频响函数的适用范围受使频响函数的适用范围受 到限制到限制. . 因此引入传递函数因此引入传递函数h(s)h(s)来描述线性系统来描述线性系统y(t)y(t)和和x(t)x(t)的关系的关系. .设设: : 函数函数 g(t)g(t)定义在定义在t t00的正半轴上的正半轴上, ,且不满足绝对可积条件且不满足绝对可积条件, , 但其组合函数但其组合函数 只要适

41、当选择只要适当选择 ( ( 0)0)就可使就可使f(f(t t) )逐渐衰减逐渐衰减, ,满足绝对可积条满足绝对可积条 件件, ,于是其傅立叶变换为于是其傅立叶变换为: :2.3.2 线性系统的传递函数线性系统的传递函数返回返回tetutgtf )()()(机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院因因t0t0m0及及c c00，使得，使得 成立，则成立，则g(s)g(s)在半复平面在半复平面re(s)cre(s)c上上( (即即 cc时）时）一定存在。一定存在。 t0 ,)(ctmetg机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时5

42、7分 哈尔滨商业大学轻工学院2. 拉普拉斯变换的主要性质拉普拉斯变换的主要性质（1 1）线性性质）线性性质（2 2）微分性质）微分性质 2.3.2 线性系统的传递函数线性系统的传递函数 21)-(2 sbfsaftbftaf ),()( ba,21212211则有且是常数，若sftfsftf 22)-(2 )()( )( 0)0()0()()()0()0()0()()( )0()( 1121sfstf lssf(t)flffoftf-f-f-sf-ssfstf l-fssf(t)f lsftfnnnn-n-n-nn时及其各阶导数的初始值当则有若（3）积分特性）积分特性（4）卷积特性）卷积特性

43、tsfsdttf lsftf 0)232( )(1)( )()( 则有若24)-(2 )()()()( )()()()( )()()()( 2121121212211tftfsfsf lsfsftftf lsft, fsft f-则有若机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院3. 传递函数的定义传递函数的定义线性系统的输入线性系统的输入x x( (t t) )和输出和输出y y( (t t) )之间的关系可以用常系数线性微分方程来描之间的关系可以用常系数线性微分方程来描述：述：对上式两端取拉普拉斯变换，得对上式两端取拉普拉斯变换，得gy(s),g

44、x(s)是与初始条件及输入有关的多项式，定义是与初始条件及输入有关的多项式，定义为该线性系统的为该线性系统的传递函数传递函数。2.3.2 线性系统的传递函数线性系统的传递函数25)-(2 )()()()()()()()(01110111txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn26)-(2 (s) )()()()()(01110111xmmmmynnnngsxbsbsbsbsgsyasasasa27)-(2 )(01110111asasasabsbsbsbshnnnnmmmm机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院若系统初始

45、条件全为若系统初始条件全为0 0， 即即便有便有 在初始条件为零的情况下，系统的传递函数是输出在初始条件为零的情况下，系统的传递函数是输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。2.3.2 线性系统的传递函数线性系统的传递函数, 0)0()0()0(mxxx, 0)0()0()0(nyyy)()()(sxsysh28)-(2 01110111asasasabsbsbsbnnnnmmmm机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院4. 由传递函数求频响函数由传递函数求频响函数 在拉普拉斯变换中，在拉普拉斯变换中，

46、s = +j+j ，令，令 =0，则有，则有 s = j，将其代入，将其代入h(s)的表达式的表达式，即得到，即得到 2.3.2 线性系统的传递函数线性系统的传递函数)()( )()()()()()()(01110111xyaajajajbbjbjbjjhnnnnmmmm机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院)()()()()()()()()(21shshszsysxszsxsysh（1）两环节串联）两环节串联(图图a) 两个传递函数各为两个传递函数各为h1(s)与与h2(s)的环节，若它们之间无能量的环节，若它们之间无能量交换，则串联后系统的

47、传递函数为（初始条件为零）：交换，则串联后系统的传递函数为（初始条件为零）： 类似地，对类似地，对n个环节串联组成的系统，其传递函数为个环节串联组成的系统，其传递函数为 2.3.3 环节的串联和并联环节的串联和并联返回返回（2 2）两环节并联（图两环节并联（图b)b) 因因 则有则有 类似地，由类似地，由n n个环节并联组成的系统，其传递函数为：个环节并联组成的系统，其传递函数为： 图2-9 测试环节的串联和并联测试环节的串联和并联 )()()(21sysysyniishsh1)()()(1sy)(2sy)()()()()()()()()()()()(212121shshsxsysxsysxs

48、ysysxsysh机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院(3) (3) 环节串并联的频响函数环节串并联的频响函数 令令s=js=j , ,代入上式则得到代入上式则得到 n n个环节串联的频率响应函数为个环节串联的频率响应函数为 其幅频、相频特性分别为其幅频、相频特性分别为 n n个环节并联系统的频响函数为个环节并联系统的频响函数为 2.3.3 环节的串联和并联环节的串联和并联niihh1)()(niniiihaa11| )(|)()(nii1)()(niihh1)()(机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业

49、大学轻工学院(4) n(4) n阶线性系统传递函数阶线性系统传递函数 可以改写为（推导过程略）可以改写为（推导过程略） 上式说明，任意一个上式说明，任意一个n 3的高阶线性系统都可以看作是若干个的高阶线性系统都可以看作是若干个一阶、二阶线性系统的并联。因此分析一、二阶系统的传递一阶、二阶线性系统的并联。因此分析一、二阶系统的传递特性是分析高阶系统传递特性的基础。特性是分析高阶系统传递特性的基础。2.3.3 环节的串联和并联环节的串联和并联)()()(sxsysh28)-(2 01110111asasasabsbsbsbnnnnmmmm为实常数。式中niiiiiirirnininiiiii, ,

50、qpssspsqsh ,)2()( 12/ )(122数是二阶线性系统传递函数，是一阶线性系统传递函222niniiiiiissspsq返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院 1. 1.一阶线性系统的频响函数一阶线性系统的频响函数 一阶线性系统输出和输入的关系可用一阶定常线性微分方程一阶线性系统输出和输入的关系可用一阶定常线性微分方程来描述来描述 对上式作傅里叶变换，得对上式作傅里叶变换，得 整理，得系统的频率响应函数为整理，得系统的频率响应函数为 2.3.4 一二一二阶阶线性系统动态特性分析线性系统动态特性分析返回返回)292( )(

51、)()( txtyty)()()(xyyj30)-(2 )(1)(11 )(1111)()()(222jjjjxyh机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院其幅频特性函数为其幅频特性函数为其相频特性函数为其相频特性函数为 2.3.4 一二阶一二阶线性系统动态特性分析线性系统动态特性分析31)-(2 )(11)()(2 ha32)-(2 )()(re/ )(im)(arctghharctg机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院若纵坐标若纵坐标 缩放尺度缩放尺度a(a( ) ) 用分贝表示，横坐标用分

52、贝表示，横坐标 用对数用对数lglg 表示，则得到一阶系统的波德图表示，则得到一阶系统的波德图(bode)(bode)（图（图2-18a).2-18a).若将若将h(jh(j ) )的实部的实部p(p( ) )和虚部和虚部q(q( ) )分别作为横坐标和纵坐标，分别作为横坐标和纵坐标，画出它们随画出它们随 变化的曲线，则得到系统的奈奎斯特（变化的曲线，则得到系统的奈奎斯特（nyquist)nyquist)图。图。2.3.4 一二阶一二阶线性系统动态特性分析线性系统动态特性分析机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院2. 一阶系统的动态特性分析（借

53、助伯德图）一阶系统的动态特性分析（借助伯德图）(1)(1) a(a( ) )曲线可用两段直线近似。曲线可用两段直线近似。 1/1/1/ 区段用斜率为区段用斜率为-20db/10-20db/10倍频程的斜倍频程的斜线近似。两段直线相交于线近似。两段直线相交于 = = 0 0= 1/= 1/ 处，处， 0 0称为转折频率称为转折频率。 a(a( 0 0)=1/2)=1/2，两段直线近似的代替曲线，两段直线近似的代替曲线a(a( ) )所产生的最大所产生的最大误差为：误差为：2.3.4 一二阶一二阶线性系统动态特性分析线性系统动态特性分析293. 0707. 012/11 3)2/1lg(200或d

54、b（2 2）曲线）曲线 ( ( ) )变化于变化于0 00 0-90-900 0之间之间 可用三段直线近似，可用三段直线近似， 0.10.1 0 0 , , ( ( ) )0 00 0 ; ; 1010 0 0 , , ( ( ) )-90-900 0 ; ; 0.1 0.1 0 0 1010 0 0, , 用斜率为用斜率为-45-450 0/10/10倍频程的斜线近倍频程的斜线近似。似。 （3）当当1/1/ 时时( (0.20.21/1/ ) ), ,a(a( )1,)1,输出输入幅值几乎相等。输出输入幅值几乎相等。此时因此时因 很小，很小，tg(tg() ), , 故故 ( ( )=)=-

55、 -arctg(arctg( ) ) ; ; 因此，可认为系统基本上无失真。因此，可认为系统基本上无失真。 故一阶系统在测试中作为传感器使用时，适宜测试缓变信号。故一阶系统在测试中作为传感器使用时，适宜测试缓变信号。 时间常数时间常数 是一阶系统的重要参数，是一阶系统的重要参数， 越小，系统反应越快，越小，系统反应越快，转折频率越高，不失真的工作频宽越宽，故转折频率越高，不失真的工作频宽越宽，故 越小越好。越小越好。（4 4）当当 (2(23)/3)/ ，即即 11时时， h(h( ) ) 1/j1/j , , 因因 y(y( )=h)=h ( ( ）x(x( ） x( x( ）/j/j 由傅

56、立叶变换的积分特性由傅立叶变换的积分特性 知，此时线性系统的微分方程应为：知，此时线性系统的微分方程应为： 输出与输入的积分成正比，系统相当于一个积分器。输出与输入的积分成正比，系统相当于一个积分器。 tfxfjdttx0)(21)(tdttxty0)(1)(（5 5） 很低时，很低时， a(a( ) ) 1,1, 很高时，很高时， a(a( ) ) 0,0,表明表明一阶系统对信号的频率成分有明显的选择性，系统一阶系统对信号的频率成分有明显的选择性，系统几乎无衰减地使输入信号的低频成分通过，对高频几乎无衰减地使输入信号的低频成分通过，对高频成分却给予很大衰减，故成分却给予很大衰减，故一阶系统又

57、可作为低通滤一阶系统又可作为低通滤波器来使用。波器来使用。机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院3. 3. 二阶线性系统频响函数二阶线性系统频响函数 以基础固定二阶系统为来分析其动态特性，系统微分方程为以基础固定二阶系统为来分析其动态特性，系统微分方程为 上式两边做傅里叶变换上式两边做傅里叶变换 于是系统的频响函数为于是系统的频响函数为 2.3.4 一二阶一二阶线性系统动态特性分析线性系统动态特性分析 )()()(2)(22txtytytynnn )()()()(2)()(222xyyjyjnnn33)-(2 )(2)(1 1 )(2)()()

58、()(2222nnnnnjjjxyh机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院 幅频特性和相频特性函数分别为幅频特性和相频特性函数分别为相应的幅频、相频特性曲线如图相应的幅频、相频特性曲线如图2-132-13所示。所示。2.3.4 一二阶一二阶线性系统动态特性分析线性系统动态特性分析34)-(2 )(4)(1 1)(2222nna35)-(2 )/(1)/(2)(2nnarctg机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院2.3.4 一二阶一二阶线性系统动态特性分析线性系统动态特性分析4. 二阶二阶线性系

59、统动态特性分析线性系统动态特性分析机械工程测试技术机械工程测试技术2021年11月24日3时57分 哈尔滨商业大学轻工学院(3) (3) 二阶系统的二阶系统的bodebode图可用两条图可用两条 折线来近似。折线来近似。 在在 0.522 n n段段，可用斜率为，可用斜率为-40db/10-40db/10 倍频的直倍频的直线近似。线近似。 在在 =(0.=(0.52) ) n n区间区间, ,折线偏离实折线偏离实际曲线较大际曲线较大(4) (4) 在在 n n段段， ( ( ) )趋近于趋近于1801800 0， 即即: :信号的输出与输入几乎反相。信号的输出与输入几乎反相。 在在 靠近靠近

60、n n区间区间, , ( ( ) )变化剧烈变化剧烈2.3.4 一二阶一二阶线性系统动态特性分析线性系统动态特性分析 二阶系统在动态测试中作传感二阶系统在动态测试中作传感器或测量仪表使用时，为尽量器或测量仪表使用时，为尽量减小失真减小失真, , 要恰当选择固有频要恰当选择固有频率和阻尼比的组合，一般选取：率和阻尼比的组合，一般选取： （0.60.8） n = 0.65-0.7 以使以使a(a( ) )曲线在低于曲线在低于 n n 区段区段尽量平坦尽量平坦, , 接近接近a(a( )=1)=1的理想的理想条件条件, , ( ( ) )曲线尽量与曲线尽量与 成近成近似线性关系似线性关系。返回返回机