力学竞赛辅导讲义4.8

1、力学竞赛辅导讲义碰撞一、内容要点精讲一、碰撞的概念两个或两个以上相对运动的物体在刹时接触，速度发生突然改变的力学现象称为 碰撞。2、碰撞现象的大体特点碰撞进程时刻极短碰撞物体在这一进程中的位移可略去不计，但速度可产生有限转变。碰撞时产生的碰撞力可能极大并发生急剧转变，难以测量。通经常使用碰撞力在碰撞进程中的冲量来气宇碰撞的强弱，碰撞冲量为式中，v和u别离是物体作为质点在碰撞开始瞬时和碰撞终止瞬时的速度。3、研究碰撞问题的两点大体假设(1) 在碰撞进程中，一般力（非碰撞力）的冲量忽略不计；(2) 在碰撞进程中，物体的位移忽略不计。4、碰撞进程的两个时期(1) 变形时期。从两个物体开始接触到二者接

2、触点处沿公法线方向无相对速度为止，这时变形取得最大值。(2) 恢复时期。从两个物体接触点处在公法线方向取得分离速度到两个物体离开接触为止。在这时期中物体的变形取得部份或全数恢复。五、碰撞的分类碰撞时两物体间的彼此作使劲，称为碰撞力。（1）按物体的相处位置分类对心碰撞与偏心碰撞：假设碰撞力的作用线通过两物体的质心，称为对心碰撞，不然称为偏心碰撞。见下图(a), 图(b) 正碰撞、斜碰撞 ：假设两物体碰撞时各自质心的速度均沿着接触处的公法线，称为正碰撞；不然称为斜碰撞。下图中，aa表示两物体在接触处的公切面， bb为其在接触处的公法线(2) 按其接触处有无摩擦，分为滑腻碰撞 与非滑腻碰撞 。(3)

3、 按物体碰撞后变形的恢复程度( 或能量有无损失 ) ，可分为 完全弹性碰撞、弹性碰撞与塑性碰撞。 （1k，完全弹性碰撞；0k，非弹性碰撞或塑性碰撞；01k, 弹性碰撞）6、恢复因数k 恢复因数k 表示物体在碰撞后速度的恢复程度，也表示物体变形恢复的程度，并反映出碰撞进程中机械能损失的程度。（1）正碰撞 k 式中和别离表示碰撞开始和碰撞终止时质心的速度。（2）斜碰撞 k 式中和别离是入射角和反射角（3）两物体彼此碰撞式中别离为两物体的碰撞点在碰撞终止和碰撞开始时沿接触面法线方向的相对速度。7、解决碰撞问题的大体定理一样采纳动量定理和动量矩定理的积分形式，来确信力的作用与运动转变的关系。（1）用于

4、碰撞进程的动量定理冲量定理上式用于碰撞进程的质点系动量定理，又称为冲量定理 : 质点系在碰撞开始和终止时动量的转变，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢（公式中不计一般力的冲量）或式中和别离是碰撞开始和终止时质心的速度。上式称为碰撞时的质心冲量定理。（2）用于碰撞进程的动量矩定理冲量矩定理或上式用于碰撞进程的动量矩定理，又称为冲量矩定理 : 质点系在碰撞开始和终止时对任一点o （或轴z）的动量矩的转变，等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点（或轴z）的矢量和（或代数和） 。关于刚体统定轴z转动的情形，上式可写为式中o和别离表示刚体在碰撞终止瞬时和开始瞬时的角速度，zj是刚体对轴z的转动惯量。当外碰

5、撞冲量对某点或某轴)的矩的矢量和 (或代数和 )等于零时，那么质点系对该点 ( 或该轴) 的动量短守恒。（3）刚体平面运动的碰撞方程( 用于刚体平面运动碰撞进程中的大体定理 ) 式中12和别离为平面运动刚体碰撞前后的角速度。八、撞击中心如下图，假设刚体具有与转轴垂直的对称面，欲使其在外碰撞冲量作用下， 转轴处不产生碰撞冲量，那么外碰撞冲量i必需作用在物体的对称平面内，且垂直于质心c与转轴的连线，i的作用线到转轴的距离为那么称 点 k称为撞击中心。即：当外碰撞冲量作用于物体质量对称平面内的撞击中心，且垂直于轴承中心与质心的连线时，在轴承处不引发碰撞冲量。二、知识结构图解三、习题分类解题步骤一、习

6、题分类(1) 含有对心碰撞或正碰撞的动力学问题。(2) 含有平面偏心碰撞或平面斜碰撞的动力学问题。2、解题步骤和要点(1) 第一应明确运动进程可能显现的3 个时期即碰撞前时期、碰撞时期和碰撞后时期。依照题意，恰被选取各时期的研究对象。关于碰撞前时期和撞后时期，应依照动力学的常规方式处置；而关于碰撞时期，应依照碰撞的特点、假设和大体定理、恢复因数公式等进行特殊的分析和计算。(2) 撞前时期。分析撞前时期有关物体的受力情形和运动精况，按动力学常规方式计算物体碰撞开始瞬时的力学要素( 如：物体的角速度，质心的速度，碰撞接触点的速度等)。(3) 碰撞时期的力学分析。(a) 第一应明确是研究碰撞的哪个时

7、期：变形时期，恢复时期，仍是碰撞的全进程。(b) 对碰撞物体进行受力分析和运动分析。第一要分清平常力和碰撞力，并忽赂碰撞进程中物体的位移和平常力的冲量，还要分清内碰撞冲量和外碰撞冲量，只考虑外碰碰撞冲量。(c) 把有关力学要索 ( 如：碰撞冲量，物体的角速度及其质心速度和碰撞接触处的的速度等 ) 画在研究对象上，最好能别离画出碰撞开始和终止两瞬时的力学要素图。(4) 成立碰撞时期的力学方程。四、重点与难点1重点(1) 碰撞现象的特点。(2) 恢复因数的物理意义和计算。(3) 碰撞时期的大体定理及其应用。(4) 撞击中心。2难点(1) 正确划分包括碰撞的动力学问题的不同时期，一样可能显现撞前时期

8、，碰撞时期和撞后时期。(2) 刚体平面运动的碰攫方程及其应用。典型例题举例例 1：恢复系数测定法：质量别离为m和 mz的小球用等长的绳索挂起来，将其中一球拉过偏角，然后无初速度地释放，它撞击另一球，使它产生的最大偏角为，设与已由实验测出，求恢复因数k。例 2：匀质细杆 ab的质量是m，对证心c的回转半径是c，由水平位置无初速释放，下落高度h后扦上的 d点碰在桌子边缘上，点d到质心c的距离是d，如图 (a) 所示, 假定是完全塑性碰撞, 0k，求碰撞终止瞬时质心c的速度cu，杆的角速度及碰撞冲量di。练习题一、如图一所示，用打桩机打入质量为50kg的桩柱，打桩机的质量为450kg，由高度h=2m

9、处落下，其初始速度为零。如恢复因数k=0，通过一次锤击后，桩柱深切1cm，试求桩柱进入土地时的平均阻力。图一图二图三二、如图二所示， 带有几个齿轮的凸轮绕水平的轴o转动，并使桩锤运动。设在凸轮与桩锤碰撞前桩锤是静止的，凸轮的角速度为。假设凸轮对轮o的转动惯量为oj，锤的质量为m，而且碰撞是非弹性的， 碰撞点到轴的距离为r，求碰撞后凸轮的角速度、 锤的速度和碰撞时凸轮与锤间的碰撞冲量。3、一均质杆的质量为1m，长为l，其上端固定在圆柱铰链o上，如图三所示。杆由水平位置落下，其初始速度为零。杆在铅直位置处撞到一质量为2m的重物，使后者沿着粗糙的水平面滑动，动摩擦因数为f，如碰撞是非弹性的，求重物移

10、动的路程。4、球 1 速度v=6m/s ，方向与静止球2 相切，如图四所示，两球半径相同、质量相等，不计摩擦。碰撞的恢复因数k=，求碰撞后两球的速度。/ 图四提示5、小球a的质量amkg，悬线长lm，自图五 (a) 所示水平位置无初速释放，当悬线转到图五(b) 所示铅直位置时，小球a与质量bm=kg的静止物块 b发生弹性碰撞。 碰撞终止后悬线可摆回到与铅直线成偏角15o的位置，而物块 b沿水平面向前移动了距离sm而停止。试求小球与物块碰撞的恢复因数，和物块与水平面间的摩擦因数。图五（ a）图四（ b）提示六、如图六所示，在测定碰撞恢复因数的仪器中，有一均质质杆可绕水平轴o转动，杆长为l，质量为

11、1m。杆上带有效实验材料所制的样块，质量力m。杆受重力作用由水平位置落下，其初角速度为零在铅直位置时与障碍物相碰。如碰撞后杆回到与铅直线成角处，求恢复因数k。又问：在碰撞时欲使轴承不受附加压力，样块到转动轴的距离应为多大？7、如图七所示，质量为m、长为l的均质杆ab ，水平地自由下落一段距离 h 后与支座 d碰撞(4lbd)。假定碰撞是塑性的， 求碰撞后的角速度和碰撞冲量i。图六图七八、图八所一均质圆柱体，质量为m，半径为r，沿水平面作无滑动的转动。原先质心以cv等速运动， 突然圆柱与一高为h(hr) 的凸台碰撞。 设碰撞是塑性的，求圆柱体碰撞后质心的速度cv、柱体的角速度和碰撞冲量。图八提示九、均质细杆 ab置于滑腻的水平