利用导数判断函数的单调性(理)

1、利用导数判断函数的单调性(理)利用导数判断函数的单调性知识要点梳理1. 函数的导数与函数的单调性的关系：（1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。那么在这个区间内0。2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：确定函数的定义域；计算导数，令，解此方程

2、，求出它们在定义域区间内的一切实根；把函数的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把的定义域分成若干个小区间；确定在各个开区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小区间的增减性（若>0,则f(x)在相应区间内为增函数；若<0,则f(x)在相应区间内为减函数。）疑难点、易错点剖析：1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)>0（或f(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是，x恒成立，且f(

3、x)在（a,b） 的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由，x恒成立解出的参数的取值范围确定。2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：求函数f(x)的导数f(x). 令f(x)0，解不等式得x的范围就是递增区间；令f(x)0，解不等式得x的范围，

4、就是递减区间。3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论。直击考点考点一 求不含参数的函数的单调区间考例1.求函数y=x2(1x)3的单调区间.思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。解：y=x2(1x)3=2x(1x)3+x2·3(1x)2·(1)=x(1x)22(1x)3x=x(1x)2·(25x)令x(1x)2(25x)0，解得0x. y=x2(1x)3的单调增区间是(0，)令x(1x)2(25x)0，解得x0或x且x1.为拐点，y=x2(1x)3的单调减区间是(，0)，(，+)其函数的大致图像如下图：锦囊妙

5、计：本题中，有一个特殊之处，当x=1时,f(1)=0,但在x=1邻近的左右两侧的导数值同号（均为负），因此该函数的一个单调递减区间是，而1。举一反三：1.函数的单调递减区间是（ ）abcd答案：c2.(05年广东高考题)函数是减函数的区间为( )（）（）（）（）答案：d解析：考点二 求含参数的函数的单调区间考例2 （06山东卷）设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。解：由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上

6、单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.锦囊妙计:求含字母参数的函数的单调区间时要注意对字母参数进行分类讨论.举一反三： （06山东卷）设函数f(x)= ()求f(x)的单调区间；() 讨论f(x)的极值.解：由已知得 ，令，解得 .（）当时，在上单调递增 当时，随的变化情况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增.（）由（）知， 当时，函数没有极值. 当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值.考点三 利用导数证明不等式考例3. 当x0时，证明不等式：1+2xe2x.思路分析：假设构造函数f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0,

7、如果能够证明f(x)在(0，+)上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以得到证明.证明：令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0，e2xe0=1，2(e2x1)0, 即f(x)0f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函数.f(0)=e010=0.当x0时，f(x)f(0)=0，即e2x12x0.1+2xe2x锦囊妙计：通过构造函数, 利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将x赋值, 利用单调性证明一个不等式。这也是证明不等式的一个种方法.举一反三:1.已知x>1，证明不等式x>1n(1+x)思路分析： 构造函数，利用导数知识讨论的单调性,从而证得.

8、解：令，则，在（1，上为增函数 ,当x>1时,f(x)>f(1),即x-1n(1+x) >1-1n2>0, x>1n(1+x).2.证明不等式提示:构造函数,利用导数证明函数是增函数。考点四 利用导数讨论（求）函数中的参数的取值范围考例4（06全国ii）设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， (i)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有

9、g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax (ii)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立综上，a的取值范围是（，1 解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 当x ea11时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数， 所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为e

10、a110由此得a1，即a的取值范围是（，1 举一反三：（06湖南卷）已知函数.（）讨论函数的单调性；（）若曲线上两点a、b处的切线都与y轴垂直，且线段ab与x轴有公共点，求实数a的取值范围.解（）由题设知.令.当（i）a>0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（i i）当a0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数.（）由（）的讨论及题设知，曲线上的两点a、b的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段ab与x轴有公共点，所以.即.所以

11、.故.解得1a0或3a4.即所求实数a的取值范围是-1，0)3，4.误区警示：例已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d满足以下3个条件： 在，0上为增函数 在0，2上为减函数 f(2)=01）求c的值；2）求f(1)的范围。常见错误：由f(x)在0，2上为减函数，f(2)=0,得，导致b的范围缩小，进而导致求f(1)的范围出错。正解：由条件知，x=0为y=f(x)的极值点 又 由于c=0 则f(x)=x3+bx2+d从而f(1)=1+b+d又知：f(2)=8+4b+d=0d=-8-4b则f(1)=-3b-7由知，f(1)(-3)×(-3)-7=2故f(1)2。紧扣考纲大演练 一.单

12、项选择题1. （原创题）函数的单调递减区间是abcd答案：b2.3. 已知函数,()上任一点( ,)处的切线斜率为k=，则该函数的单调递减区间为( )a b c 和（1 2） d 答案：b4设函数在定义域内可导，的图像如图，则导函数的图像可能是（ c ）5已知函数 ，下面四个图象中 的图象大致是（ c ） 6已知函数，其导函数的图象如右图，则：a在(-，0)上为减函数b在x=0处取得最大值c在（4，+）上为减函数d在x=2处取得最小值6c 思路分析：由导函数的性质知，递增，递减。从图像上知，当x>4时，在（4，+）上递减。二.填空题7（改编题）函数的单调减区间是_.答案：解析：首先考虑定义域及知，8. (原创题)函数在r内是减函数，则k的取值范围是_ 答案：k<0 9如图，函数的图象在点p处的切线方程是，则= 。10（改编题）设分别是定义在r上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是答案：三.解答题11.（06安徽卷）设函数，已知是奇函数。（）求、的值。（）求的单调区间与极值。解析：（），。从而是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。13（07佛山市质检）已知函数(1) 若在上单调