锐角三角函数与解直角三角形

1、(学P112)第28讲锐角三角函数与解直角三角形第五章基本图形(二)第二篇图形与几何1锐角三角函数的意义，RtABC中，设C90，为RtABC的一个锐角，则：的正弦sin ；的余弦cos ；的邻边的对边斜边斜边的正切tan 230、45、60的三角函数值，如下表：333212322232221的对边的邻边.3.函数的增减性：(090)(1)sin，tan的值都随 ；(2)cos的值随 4直角三角形中的边角关系：在RtABC中，C90，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则：(1)边与边的关系： ；(2)角与角的关系： ；(3)边与角的关系： 增大而增大增大而减小a2b2c2AB90,cossi

2、ncaBA,sincoscbBA,tanbaAabB tan5三角形面积公式：S ah 6直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题21Cabsin21(1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；(2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；(3)坡角：坡面与水平面的夹角；(4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即 tan，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；lhi(5)方向角：指北或指南的方向线与目

3、标方向线所成的小于90的锐角叫做方向角转化思想：(1)在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾股定理若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型(直角边还是斜边)，再运用定义求解；也可以直接通过字母来判断边的位置和类型，即A的对边为BC，B的对边为AC，C的对边为AB.(2)在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题注意在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况1(2

4、013聊城)河堤横断面如图所示，堤高BC6米，迎水坡AB的坡比为1 ，则AB的长为( )A12米B4 米C5 米D6 米 A33332(2013德阳)如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30，看这栋高楼底部C的俯角为60，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为( ) A40 m B80 m C120 m D160 m【解析】过A作ADBC于D，则BAD30，CAD60，AD120.BCBDCD120tan30120tan60160 .D33333 (学P113页)3(2013衢州)如图，小敏同学想测量一棵大树的高度她站在B处仰望树顶，测得仰角为30，再

5、往大树的方向前进4m，测得仰角为60，已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为_(结果精确到0.1m， 1.73)( )D A3.5m B3.6m C4.3m D5.1m3【解析】解答本题关键是构造直角三角形设CDx，在RtACD中，CDx，CAD30，则AD x，在RtCED中，CDx，CED60，则ED x， 由题意得，ADED x x4，解得：x2 ，则这棵树的高度2 1.65.1m.333333335(2013湘西)钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时

6、，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求钓鱼岛C到B处距离 (结果保留根号)4(2013湖州)如图，已知在RtACB中，C90，AB13，AC12，则cosB的值为 .135【答案】(1)根据垂线段最短知B点应是过C点所作南北方向的垂线的垂足，如图(2)在RtABC中，利用三角函数的知识求BC即可AB300.515(海里)，BCABtan3015 5 (海里) 答：钓鱼岛C到B处距离为5 海里3333【问题】如图，在ABC中，AC2 ，BC2.3(1)若CRt，求sinA；(2)若A30，

7、求AB；(3)通过(1)(2)解答，请你总结解一般三角形的思路，以及解直角三角形的方法【解析】(1)AB2AC2BC2，AB4，sinA ，sinA ；(2)作CDAB，交AB于点D.A30，CDACsin30 ，ADACcos303，CDBD，BD1，ABADBD4.3ABBC21(3)解一般三角形的思路：一般三角形转化为直角三角形；解直角三角形的方法：利用方程思想，借助勾股定理、三角函数等关系求解【归纳】学习三角函数的定义，以及解直角三角形的方法类型一锐角三角函数的概念例1(2013温州)如图，在ABC中，C90，AB5，BC3，则sinA的值是()A. B. C. D. 43345354

8、【思路分析】利用正弦函数的定义即可直接求解 【答案】sinA ，故选C.【解后感悟】本题是锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边ABBC531(2013杭州)在RtABC中，C90，AB2BC，现给出下列结论：sinA ；cosB ；tanA ；tanB ，其中正确的结论是 (只需填上正确结论的序号)【解析】先根据题意画出图形，再由三角函数定义求值设BCx，在RtABC中，C90，AB2BC，AC x.sinA ，故错误；cosB ，故正确；tanA ，故正确；tanB ，故正确也可以由直角三角形的性232133332121333【

9、解后感悟】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合准确地记住一些特殊角的三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记质求出各角的度数，再由特殊角的三角函数值即可得出结论类型二特殊角的三角函数值例2 (2013孝感)式子2cos30tan45的值是() A2 2 B0 C2 D2332)60tan1 (【思路分析】将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案【答案】原式2 1( 1) 1 10. 故选B.233332(2013重庆)计算6tan452cos60的结果是( ) A4 B4 C5 D5D【解析】6tan452cos60612 5.3(2013邵阳)

10、在ABC中，若|sinA |(cosB )20，则C的度数是( )A30 B45 C60 D90(学P114页)332121D21类型三解直角三角形的几何应用例1(2013荆门)如图，在半径为1的O中，AOB45，则sinC的值为()A. B. C. D. 2222222242【思路分析】首先过点A作ADOB于点D，在RtAOD中，AOB45，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值【答案】过点A作ADOB于点D，在RtAOD中，AOB45，ODADOAcos45 1 ，BDOBOD1 ，AB ，AC是O的直径，ABC90，AC2，sinC .

11、故选B.【解后感悟】此题是解直角三角形的应用、圆周角定理以及勾股定理注意掌握辅助线的作法来构造直角三角形，解直角三角形，注意数形结合和转化思想的应用2222222222 BDAD222【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，ADDC，ADC90，CFDE，CFDCFG90，AGCF，AGDCFG90，AGDCFD，又ADGCDEADC90，4(2013曲靖)如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连结DE，过点C作CFDE于F，过点A作AGCF交DE于点G.(1)求证：DCFADG.(2)若点E是AB的中点，设DCF，求sin的值DCFCDE90，ADGDCF，在DCF和ADG中，DCFADG(

12、AAS)；(2)设正方形ABCD的边长为2a，点E是AB的中点， AE 2aa，在RtADE中，DE sinADGADGDCF，sin .AGDCFD,AD=DC,ADGDCF,21aaaAEAD5)2(222255555aaDEAE类型四解直角三角形的实际应用例4(2013绍兴)如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm(1)求AM的长(2)当BAC104时，求AD的长(精确到1cm) 备用数据：sin520.788，cos520.6157， tan521.2799

13、.【思路分析】(1)根据AMAEDE求解即可；(2)先根据角平分线的定义得出EAD BAC52，再过点E作EGAD于G，由等腰三角形的性质得出AD2AG，然后在AEG中，利用余弦函数的定义求出AG的长，进而得到AD的长度【答案】(1)由题意，得AMAEDE363672(cm)故AM的长为72cm；(2)AP平分BAC，BAC104，EAD BAC52. 过点E作EGAD于G，2121AEDE36， AGDG，AD2AG. 在AEG中，AGE90， AGAEcosEAG36cos52 360.615722.1652，AD2AG222.165244(cm) 故AD的长约为44cm.【解后感悟】本题

14、是解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形；注意把实际问题转化为数学问题5(2014宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位( 1.4)172【解析】如图，根据三角函数可求BC，CE，则BEBCCE可求，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数(56BE)EF1，列式计算即可求解6(2013青岛)如图，马路的两边CF、DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市CD与AB所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽2

15、0米，A，B相距62米，A67，B37.(1)求CD与AB之间的距离；(2)某人从车站A出发，沿折线ADCB去超市B，求他沿折线ADCB到达超市比直接横穿马路多走多少米(参考数据：sin67 ，cos67 ，tan67 ，sin37 ，cos37 ，tan37 )1312135512535443【答案】(1)CD与AB之间的距离为x，则在RtBCF和RtADE中， ， BF x，AE x，又AB62，CD20， x x2062，故CD与AB之间的距离为24米(2)在RtBCF与RtADE中，BC 40，AD 26，ADDCCBAB4020266224(米)532437sinCF13122467

16、sinDE341253412537tanCF67tanDE37tanBFCF67tanEADE【课本改变题】教材母题浙教版八下，第82页【试题】(2013舟山)某学校的校门是伸缩门(如图1)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60(如图2)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60缩小为10(如图3) (学P115页)问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin50.0872，cos50.9962，sin100.1736，cos100.9848)如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD. 根据题意，得BAD60，AB0.3米 在菱形AB

17、CD中，ABAD， BAD是等边三角形， BDAB0.3米，大门的宽是：0.3206(米)；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得B1A1D110，A1B10.3米【分析与解】先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可在菱形A1B1C1D1中，A1C1B1D1，B1A1O15，在RtA1B1O1中，B1O1sinB1A1O1A1B1 sin50.30.02616(米)，B1D12B1O10.05232米，伸缩门的宽是：0.05232201.0464米；校门打开的宽度为：61.04644.95365(米)故校门打

18、开了5米【方法与对策】解应用题的基本思路是构建数学模型解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要涉及三角形的实际问题，把它抽象到解直角三角形中进行解答，之后再还原成实际问题这种题型是中考常用的考查方式把一般三角形认为直角三角形来解【问题】如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得ABC，使B与C重合，连结AB，则tanABC的值为_【分析】错误答案 .ABC不是直角三角形，因此不能有tanABC .4242221BCCA【正解】 过A作ADBC于点D，则BDAD.设ABa，则ACa，BC a，所以ADACsin45a a.所以BD a.故BDBCBD a.所以在RtABD中，tanABC .2223122322aaBDDA2222223311在RtABC中，C90，若AB4，sinA ，则斜边上的高等于( )A. B. C. D.