2022年常微分方程试题库试卷库2

1、精品资料欢迎下载常微分方程期终考试试卷1一、填空题（ 30%）1、方程m x, ydxn x, ydy0 有只含 x 的积分因子的充要条件是（）；有只含 y 的积分因子的充要条件是 ；、称为黎卡提方程，它有积分因子 ；、称为伯努利方程，它有积分因子 ；、如x1t,x 2t, x n t为 n 阶齐线性方程的 n 个解， 就它们线性无关的充要条件是；'、形如的方程称为欧拉方程； 、 如t和t 都 是 xat x 的 基 解 矩 阵 ， 就t和t 具 有 的 关 系 是 ；、当方程的特点根为两个共轭虚根是，就当其实部为 时，零解是稳固的，对应的奇点称为；二、运算题（）1、 ydx xy3

2、dy0、 xxsin tcos2ta、如2114 试求方程组 xax 的解t ,012并求 expat dy 34xy dy8 y20dyxy2、 dxdx、求方程似解dx经过（ 0， 0）的第三次近dxxy1,dyxy56. 求dtdt的奇点 , 并判定奇点的类型及稳固性.三、证明题（）、 n 阶齐线性方程肯定存在n 个线性无关解；常微分方程期终试卷 2一、填空题 30%1、 形如的方程，称为变量分别方程，这里.续函数；f x. y 分别为 x.y的连2、 形 如的 方 程 ， 称为 伯 努 利 方 程， 这 里p x.qx为x的 连 续 函数.n0.1是常数；引入变量变换，可化为线性方程；

3、3、 如 果 存 在 常数l0,使得不等式 对 于 所有（ x, y1 , x, y2 r都成立，l称为利普希兹常数；函数 fx, y 称为在 r上关于y 满意利普希兹条件；4、 形如- 的方程，称为欧拉方程，这里a1 , a2 ,是常数；5、 设t 是xax的基解矩阵，t 是 xat xf t 的某一解，就它的任一解t可表为- ；一、运算题 40%dy1. 求方程 dx6 yxy 2的通解；xdy2. 求程 dxyexyx的通解；3. 求方程x' '6 x' 5 xe 2t 的隐式解；dy4. 求方程 dxxy 2通过点（0、0）的第三次近似解；二、证明题 30%t

4、2t01x2211. 试验证t =2t'1是方程组x=t 2tx,x=x2，在任何不包含原点的区间atb上的基解矩阵；2. 设t 为方程'x=ax（ a 为 nn 常数矩阵）的标准基解矩阵（即（ 0 ） =e），证明 :t1 t0 =t- t0 其中 t 0 为某一值 .常微分方程期终试卷 3一 .解以下方程 10%*8=80%dy2.dxy=6 x -x y 2y3.y' =2x2 2y1'24. xy =xy 22+y6.y-xxy 2+dx-xdy=08. 已知 fxxf tdt0=1,x0, 试求函数 fx的一般表达式；二 证明题 10%*2=20%9.

5、 试证： 在微分方程 mdx+ndy=0中，假如 m、n 试同齐次函数， 且 xm+yn0, 就 xm是该方程的一个积分因子；1yn 常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（）称为变量分别方程 , 它有积分因子 ；、当（）时，方程微分方程；m x, ydxn x,y dy0 称为恰当方程，或称全、函数f x,y 称为在矩形域上关于y 满意利普希兹条件，假如（）；、对毕卡靠近序列，k xk 1 x ；、解线性方程的常用方法有（）；、如x i t i1,2, n 为齐线性方程的 n 个线性无关解，就这一齐线性方程的全部解可表为（）；、方程组 xat x （）；、如t 和t 都是 xat x 的基解

6、矩阵， 就t 和t 具有关系：（）；、当方程组的特点根为两个共轭虚根时，就当其实部（）时，零解是稳固的，对应的奇点称为（）；、当方程组的特点方程有两个相异的特点根时，就当（）时，零解是渐近稳固的，对应的奇点称为（）；当（）时，零解是不稳固的，对应的 奇点称为（）； 、 如t 是 xat x的 基 解 矩 阵 ， 就 xat xf t 满 足xt0 的 解（）；二、运算题求以下方程的通解；dy、 dx4e y sin x1；y 2 1、 dy 21dx；dy、求方程 dxxy 2通过0,0的第三次近似解；求解以下常系数线性方程；、 x、 xxx0 ；xet ；试求以下线性方程组的奇点， 并通过变

7、换将奇点变为原点， 进一步判定奇点的类型及稳固性：dx、dtxy. , dy dtxy5；三、证明题；0、设t 为方程 xax （为 nn 常数矩阵）的标准基解矩阵（即0e ，证明 t 1t tt0 其中 t 0 为某一值；常微分方程期终考试试卷（5） 一 填空题（ 30 分）dy1 dxp x yqx称 为 一 阶 线 性 方 程 ， 它 有 积 分 因 子p x dxe， 其 通 解 为 ；2. 函数f x, y 称为在矩形域 r 上关于 y 满意利普希兹条件，假如 ；3. 如 x为毕卡靠近序列n x的极限，就有 xn x ；dy4. 方程 dxx 2y 2定义在矩形域r :2x2, 2y

8、2 上，就经过点（ 0， 0）的解的存在区间是；5. 函数组et ,et ,e2t的伏朗斯基行列式为 ；6. 如xi t i1,2, n 为齐线性方程的一个基本解组，xt 为非齐线性方程的一个特解，=是就非齐线性方程的全部解可表为 ；7. 如tx 'at x 的基解矩阵，就向量函数t x 'at xf t 的满是足初始条件t 0 0 的解；向量函数t = x是'at xf t 的满意初始条件t0 的解；'8. 如矩阵a 具有 n 个线性无关的特点向量v1, v2 ,vn ，它们对应的特点值分别为1,2 ,n ，那么矩阵t = 是常系数线性方程组xax 的一个基解

9、矩阵；9. 满意的点*x , y ，称为驻定方程组；3二运算题（ 60 分）10. 求方程4x y dx22dy2 x y1dy0 的通解；dy11. 求方程 dxe dxx0的通解；12. 求初值问题dyx 2y2dxy 10r : x11, y1的解的存在区间， 并求其次次近似解，给出在解的存在区间的误差估量；13. 求方程x ''9 xt sin 3t 的通解；'14. 试求方程组 x1axf1t 的解2t.te0, a1, f t 431dx15. 试求线性方程组dt性；2x7 y19, dydtx2 y5的奇点， 并判定奇点的类型及稳固三证明题（ 10 分）1

10、6假如t 是 x 'ax 满意初始条件t 0的解， 那么t expatt0 常微分方程期终考试试卷6三 填空题（共 30 分， 9 小题， 10 个空格，每格 3 分）；1、 当时，方程 mx,ydx+nx,ydy=0称为恰当方程，或称全微分方程；2、称为齐次方程；dy dx3、求=fx,y满意 x0 y0 的解等价于求积分方程 的连续解；dy4、如函数 fx,y在区域 g内连续， 且关于 y 满意利普希兹条件，就方程 dxf x, y的解y= x, x0, y0 作为x, x0 , y0 的函数在它的存在范畴内是 ；5、如x1 t , x2 t ,.x3 t为 n 阶齐线性方程的n

11、个解，就它们线性无关的充要条件是/ ；/6、方程组 xat x的称之为 xat x 的一个基本解组；7、如t 是常系数线性方程组x /ax 的基解矩阵，就 expat =；8、满意的点（x* , y*），称为方程组的奇点；9、当方程组的特点根为两个共轭虚根时，就当其实部 时，零解是稳固的，对应的奇点称为；二、运算题（共 6 小题，每题 10 分）；1、求解方程：dyxdx = xy1y232、 2、解方程： 2x+2y-1dx+x+y-2dy=0dy3、争论方程 dx312 y 3 在怎样的区域中满意解的存在唯独性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：x/2 x/3

12、xet costat12/5、试求方程组 xax 的一个基解矩阵，并运算e,其中a为43dx6、试争论方程组 dtac0；axby ,dycy dt（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且三、证明题（共一题，满分10 分）；试证：假如（t）是x/ax 满意初始条件t0 的解，那么tea tt0 常微分方程期终试卷 7一、挑选题1 n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个（ a） n（b） n -1（c） n +1（ d） n +2 2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件（a）充分（b）必要（c）充分必要（ d）必要非充分dy3. 方程 dx1y 2过点 2,1共

13、有（）个解（ a）一（ b）很多（ c）两（ d）三dy4. 方程 dxyxx（）奇解（a）有一个（ b）有两个（ c）无（ d）有很多个dy5. 方程 dxy的奇解是（）（ a） yx二、运算题'221.x y =xy+y（b） y1（ c） y1（ d） y02.tgydx-ctydy=03. x2 ydxxdy0dyy14. dxxydx5. x y 3ln xdy0三、求以下方程的通解或通积分y dy1. dxdy2. dxx1 yx2y y 2xdy3. dx3 ye2x四证明1. 设y1 x ，y2 x 是方程yp x yqx y0的解，且满意y1 x0 = y2 x0 =

14、0 ，y1 x0 ，这里p x, qx 在 , 上连续，x0, 试证明：存在常数c 使得y2 x =c y1 x 2. 在方程 yp x yqx y0 中，已知px， qx 在 , 上连续求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与 x 轴相切常微分方程期终试卷 8一、填空（每空 3 分）1、称为一阶线性方程， 它有积分因子， 其通解为；2、函数f x, y 称为在矩形域 r上关于 y 满意利普希兹条件，假如；3 、如x1 t , x2 t , xn t 为 n 阶齐线性方程的n 个解，就它们线性无关的充要条件是；4、形如的方程称为欧拉方程；5、如t 和t 都是 x'at x 的基解矩

15、阵， 就t 和t 具有的关系：；6 、 如 向 量 函 数dyg t ; y在 域 r 上， 就 方 程 组gt;dty,t 0 ; t0 ,y0 y0的解存在且惟一；7、当方程组的特点根为两个共轭虚根时，就当其实部，零解是稳固的， 对应的奇点称为；二、求以下方程的解1、 y3x 2 dx4 yxdy0（6 分）3、2、ydx y 2 y'xdy 1 x 22y 2 dxy' 2（8 分）（8 分）dy4、dx5、x' 'x' 'yx6 x'xexy5xe2t 1（ 8 分）（ 6 分）6、x' 'sin 3 t1（ 8

16、分）7、2x'（ 8 分）三、求方程组的奇点，并判定奇点的类型和稳固性（8 分）dx2x dt7 y19, dy dtx2 y5常微分期中测试卷2'22一 .解以下方程 10%*8=80%1. 1.xy = xy+y2. 2.tgydx-ctydy=03. 3.y-xx2 +2ydx-xdy=04. 4.2xylnydx+x2y21y 2dy=0+dy5. dxy2=6 x -x yyy'6.=2x2 2y17. 已知 fxxf tdt0=1,x0, 试求函数 fx的一般表达式；8. 一质量为 m质点作直线运动， 从速度为零的时刻起， 有一个和时间成正比 （比例系数为的

17、力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2 ）；试求此质点的速度与时间的关系；二 证明题 10%*2=20%1. 证明：假如已知黎卡提方程的一个特解，就可用初等方法求得它的通解；k1）2. 试证：在微分方程 mdx+ndy=0中，假如 m、n 试同齐次函数， 且 xm+yn0, 就 xm是该方程的一个积分因子；1yn m y xmynm xm ynyn yn x xmynn xm xmy n x xmyn 2xmyn2常常微分方程期终试卷 9一、填空题（每道题5 分，此题共 30 分）dy1. 方程 dxy sin xxe的任一解的最大存在区间必定是2. 方程

18、 y4 y0 的基本解组是3. 向量函数组y1 x, y2 x, yn x 在区间 i上线性相关的条件是在区间 i 上它们的朗斯基行列式w x0 4. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件5. n 阶线性齐次微分方程的全部解构成一个维线性空间6. 向量函数组y1 x, y2 x, yn x 在其定义区间i 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式w x0 ， xi 二、运算题（每道题8 分，此题共 40 分）求以下方程的通解dy2x3 ye7. dx x8.3xy 2 dx x2 yy3 dy0eyx0y910. 求方程 y5ysin 5x 的通解11. 求以下方程组的通解dxxy

19、dtdy4xy dt三、证明题（每道题15 分，此题共 30 分）12. 设 y1 x 和 y2 x 是方程 yqx y0 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式w xc ，其中 c 为常数13. 设x在区间 , 上连续试证明方程的全部解的存在区间必为dy x sin y dx, 常常微分方程期终试卷 10一、填空（ 30 分）dy1、dxyg xdy称为齐次方程， dxpx y2q x yrx称为黎卡提方程；dy2、假如f x, y 在 r 上连续且关于 y 满意利普希兹条件，就方程f x, ydx存在唯独的解 yx， 定 义 于 区 间 xx0h 上 ， 连 续 且 满 足 初 始 条 件

20、x0 y0 ， 其 中hm in a , b mmax f x, ym， x, y r；3、如 xi t i1，2， n 是齐线性方程的 n 个解， wt为其伏朗斯基行列式，就 wt满意一阶线性方程w' t a1 t wt0 ；ml k 1k4、对逼卡靠近序列，k xk 1 xxx0 k.；'5、如t 和t 都是 xat x的基解矩阵，就t 和t 具有关系mtntc ；6、方程m x, ydxn x,ydy0 有只含 x 的积分因子的充要条件是yx xn；mnyx有只含 y 的积分因子的充要条件是m y；dy7、方程 dxy212经过0,0 点的解在存在区间是, ；二、运算（

21、60 分）1、 求解方程xdy yx 2 y4 dx0 ；24解：所给微分方程可写成 xdyydxx y dx0即有d xy4x 2 y 4 dx0d xy41 dx02上式两边同除以xy ，得xyx11c由此可得方程的通解为即13x 2 y 3cx3 y333xy c1x3c1 2、 求解方程 yp22 p 3解：所给方程是关于y 可解的，两边对 x 求导，有（1） 当 p0 时，由所给微分方程得p2 p y0 ；6 p 2 dpdx（2） 当 dx 26 pdp 时，得 x2 p3p 2c ；223因此，所给微分方程的通解为x2 p3 pc， yp2p（ p 为参数）而 y0 是奇解；3、

22、 求解方程x''4 x'4 xete 2t12解：特点方程440 ，1, 22 ，故有基本解组e2t ， te 2t ，对于方程x''4 x'4 xet，由于1不是特点根，故有形如x1taet的特解，2ta1将其代入x''4 x'4 xe2 t ，得2 ae2te，解之得2 ，对于方程x ''4 x'4 x1 ，由于0 不是特点根，故有形如x3 ta的特解，a1t将其代入x ''4 x'4 x1 ，得4，所以原方程的通解为xt e2 t cc2t e1 t 2 e 2t124

23、14、 试求方程组 x'ax 的一个基解矩阵，并运算2exp1at ，其中a12解： pdet ea0 ，13 ， 23 ，均为单根，设1 对应的特点向量为1v1v1 ，就由 1 eav1v10 ，得21v23,0取23，同理可得1 对应的特点向量为23 ，就 1 t 3tve1 ， 2(t) e13t v2 ，均为方程组的解，令1t 1 t ,2 t ，w0又det0230323，所以t 即为所求基解矩阵e 3t 23 e 3te3t；23 r3t5、 求解方程组dxx dtdyxdty1y5的奇点，并判定奇点的类型及稳固性；x解：令xy10x y50 ，得 y23 ，即奇点为（ 2

24、， -3 ）xx令yy1123 ，代入原方程组得dxxydtdyxydt，112由于 112020，又由11，解得 12 ， 22 为两个相异的实根，所以奇点为不稳固鞍点，零解不稳固；dy6、 求方程 dx2xy经过（ 0， 0）的其次次近似解；解：0 x0 ，x1 x0f x,0dx0x1 x22，2 x0f x,01 x22dx1 x 221 x 520；三、证明（ 10 分）假设 m 不是矩阵 a 的特点值，试证非齐线性方程组有一解形如其中 c ， p 是常数向量；x'axtcemtpemt证：设方程有形如tmtpep的解，就是可以确定出来的；事实上，将mtpe代入方程得mpem

25、tapemtcemt，由于 emt0 ，所以mpmeapec ，a) pc（ 1）又 m 不是矩阵 a 的特点值，detmea0所以 mea存在，于是由（ 1）得 p mea 1 c 存在； 1故方程有一解tmea) 1 cemtpemt常微分方程期终试卷 11一填空1称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为；2称为黎卡提方程，如它有一个特解yx,就经过变换，可化为伯努利方程；3如（ x）为毕卡靠近序列；n x的极限，就有（ x）n x4. 如xi t （ i=1,2, ,n）是齐线形方程的n 个解， wt 为其伏朗斯基行列式，就wt满意一阶线性方程；5. 如xi t （ i=1,2, ,n）

26、是齐线形方程的一个基本解组，xt为非齐线形方程的一个特解，就非齐线形方程的全部解可表为；6. 假如 at 是 n×n 矩阵， ft是 n 维列向量，就它们在atb 上满意时，方程组x = at x+ ft满意初始条件 x（ t 0 ）=的解在 atb 上存在唯独；7如（ t ）和（ t ）都是 x = at x的 基解矩阵，就（ t ）与（ t ）具有关系：；8. 如（ t ）是常系数线性方程组xax 的 基解矩阵 , 就该方程满意初始条件的解t = t0 9. 满意的点（x* , y*），称为方程组的奇点；10 当方程组的特点根为两个共轭虚根时，就当其实部 时，零解是稳固的，对应的

27、奇点称为 ；二运算题（ 60 分）1. ydx dy3 xy3 dy4xy dy08y202. dxdxdyxy23. 求方程 dx经过（ 0，0）的第三次近似解4. xxasin tcos2t21t,015. 如1 4 试求方程组 xax 的解2 并求 expatdxxy1,dyxy56. 求dtdt的奇点 , 并判定奇点的类型及稳固性.三. 证明题 10 分f设 f x,y) 及y 连续 , 试证方程 dy-fx,ydx=0为线性方程的充要条件是它有仅依靠与x的积分因子 .常微分方程期终测试卷12一、填空题（ 30%）1 如 y=y1 x ， y=y2 x 是一阶线性非齐次方程的两个不同解

28、，就用这两个解可把其通解表示为dy2 方程 dxx2y 2满意解的存在唯独性定理条件的区域是3 f y x,dyy 连续是保证方程dxf x, y初值唯独的条件一条积分曲线 .4.线性齐次微分方程组d ya xydx的一个基本解组的个数不能多于个，其中 xr ， yr n 5 二阶线性齐次微分方程的两个解是y1 x , y2 x 成为其基本解组的充要条件dy6 方程 dxsin xcos y满意解的存在唯独性定理条件的区域是dy7 方程 dxx2 tan y的全部常数解是8 方程x sinydxy cosxdy0 全部常数解是9 线性齐次微分方程组的解组y1 x, y2 x, yn x 为基本

29、解组的条件是它们的朗斯基行列式w x0 10 n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、运算题（ 40%）求以下方程的通解或通积分：dy1.dxyytanxxdycos y2 dxcos x sin 2 ysin y3 2xydx dtcosxdxy x21dy0dy4 dtdx dt2xyxydy5 dt2x3y三、证明题（ 30%） 1试证明：对任意x0 及满意条件 0y01的y0 ，方程dydx1y y1x 2y 2的满意条件y x0 y0 的解 yy x 在 lim,f x 上存在0dyyf x2设f x 在 0, 上连续，且x，求证：方程dx的任意yy xlimy x0解均有

30、 xdy3设方程 dxx 2 f y中， f y 在 , 上连续可微， 且yf y0 ， y0 求证：该方程的任一满意初值条件y x0 y0 的解yx 必在区间 x0 , 上存在常微分方程期终试卷 13一、填空题（ 30 分）1、方 程 mx,ydx+nx,ydy=0有 只 含 x的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是mn（yx mn（yxnxm y）， 有 只 含 y的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是）；dy2、求 dx=fx,y满意 x0 xy0 的解等价于求积分方程（y=y 0 + x0f x, ydx）；dy3、方程 dxx 2y 2定义在矩形域r:-2x2, 2y2 上，

31、就经过点（ 0，0）的即位存在区间是（1x144 ）；4、如 x i ti=1,2,n 是齐线性方程的 n个解， wt 为伏朗斯基行列式，就wt满意一阶线性方程（w t+a1 twt=0）；5、如 x1 t, x2 t ,xn t为 n 阶齐线性方程的 n 个解，就它们线性无关的充要条件是（ wx1 t, x2 t ,x n t0）；6、在用皮卡逐步靠近法求方程组tx ' =a（ t ） x+fx,xt0 =的近似解时，就k t ast0k 1 sf sds）；7、当方程的特点根为两个共扼虚根时，就当其实部（为零）时，零解是稳固的，对应的奇点称为（稳固中心） ；8、满意（ xx,y=0

32、,yx,y=0）的点（ x * , y* ） ,称为方程组的奇点；9、如t 和t 都 是x' =atx的 基 解 矩 阵 ， 就t 和t具 有 关 系 ：（t tcc为非奇特矩阵） ）；dydynn 1nn 110、 形如（ xdx n+a 1 xdx n 1 +an y0 的方程称为欧拉方程；二、运算题3求以下方程的通解（）、（ xy+x2 yy dx 3 x2y2dy0m2 xx2y 2 , n2 x解：由于又由于yxmnnyx所以方程有积分因子： ux=ex方程两边同乘以ex 得：y3x22ex 2 xyx2 ydxe3 xydy0x2x2x y3x2e 2 xyx ydxe x dy edxe y dy03x2x y3也即方程的解为e x yec3x3y 33xy、0 ydy dx解：令，dyyptxdx，就x3tx3t 3x3