高等量子力学-chapter3

1、第三章第三章: : 角动量理论角动量理论空间转动及角动量算符对易关系刚体的转动，若绕着同一个轴转动是彼此对易的，而绕着不同轴转动彼此不对易数学上，三维空间转动用实正交矩阵表示考虑矢量，转动后为),(zyxVVVVV33zyxzyxVVVRVVV其中为实正交矩阵R33IRRRRTT显然222222zyxzyxVVVVVV例：绕z轴转动角1000cossin0sincos)(zR绕z轴的无穷小转动100021021)(22zR同理210210001)(22xR210010021)(22yR先绕y轴转动，再绕x轴转动，则2222121021)()(yxRR忽略项)(2o先绕x轴转动，再绕y轴转动，则

2、2222121021)()(xyRR因此IRRRRRzxyyx)(0000000)()()()(222因为IRany)0(所以)0()()()()()(2anyzxyyxRRRRRR上式说明经典力学中矢量空间转动的不可对易性量子力学中的无穷小空间转动转动前状态为 , 转动后为 , 则|R| )(|RDR转动算符 是幺正算符)(RD由前面空间平移及时间演化算符的讨论, 类比可推知, 与转动对应的力学量算符应为角动量算符考虑绕方向轴 的无穷小转动, 则dnJidnD)(1), (n 例: 绕z轴转动角22221)exp()(1lim)(zzzNzzJiJiJNJiDN前面证明绕y轴转动再绕x轴转动

3、，与先绕x轴再y轴，两者之差等价于绕z轴转211)21)(21 ()21)(21 (2222222222222zxxyyyyxxiJJiJJiJJiJJiJ推出zyxJiJJ,同理可证：xzyJiJJ,yxzJiJJ,即kijkjiJiJJ,角动量的基本对易关系结论：(1). 为绕x, y, z轴转动的生成元；(2). 角动量算符的基本对易关系说明了绕不同轴的转动并不对易 zyxJJJ,自旋1/2粒子的空间转动自旋1/2粒子的自旋算符满足角动量对易关系zyxSSS,kijkjiSiSS,表示矩阵为2S为Pauli矩阵0110 x00iiy1001z考虑绕z轴转动角，则态矢量| )(|zRD其中

4、)exp()(zziSD算符的期待值xS| )()(|zxzRxRxDSDSS需计算)exp()exp(zxziSSiS利用Baker-Hausdorff公式, , ,!)(, ,! 2)(,)exp()exp(2ABBBBniABBiABiABiABinsincos)! 3()! 21 ( , ,)(! 31, ,)(! 21,)()exp()exp(32,32yxyxxzzzxzzxzxzxzSSSSSSSSiSSSiSSiSiSSiS则所以sincos|yxRxRxSSSS同理cossinyxySSS而 与 对易zS)(zDzzSS在转动变换下, 自旋算符的期待值构成三维空间的一个矢量l

5、lklkSRS 即为描述该转动的 实正交矩阵的矩阵元klR33 下面分析态矢量的变化任意态 可表示为|其中 为 本征态, 则| ,|zS| )exp(2/2/iizeeiS相因子出现 产生一个有趣的性质:2/当空间转动 角, 即 时,22|)2(zR态矢量出现一个负号!中子干涉实验研究转动2PRL35, 1053(1975)角动量算符的本征态和本征值由角动量对易关系kijkjiJiJJ,可导出有关角动量的所有性质定义算符2222zyxJJJJ则0,2iJJ),(zyxi Proof: 例如0)()()()(,2222yxxyxyyxyzyzyyxzxzxxzzyxzJJiJiJJJiJiJJJ

6、JJJJJJJJJJJJJJJJ彼此不对易，只能选择其中之一与具有共同本征态zyxJJJ,2J设 与的共同本征态为，本征值分别为ba,|2JzJba ,baabaJ,|,|2babbaJz,|,|引入算符yxiJJJ为升降算符JJJJJJJzz,2,而0,2JJ考虑的物理意义？J),|)(,|),(),|(baJbbaJJJJbaJJzzz即作用于的本征矢，仍为的本征矢，本征值增加或减少，这是称为升降算符的原因JzJzJJ作用于态矢量上不改变的本征值J2J),|(,|),|(22baJabaJJbaJJ所以态矢量为的共同本征态，本征值分别为和baJ,|zJJ,2abbacbaJ,|,|系数待定

7、c的本征值谱zJJ ,2 作用于态 次，将使的本征值增加，而本征值不变，但这个系列不是无穷的，对确定的本征值，的本征值存在一个上限，即Jba,|nzJna2JazJ2baProof:)(2122JJJJJJz0| ),|( | ),|(|21,|,|,21,|,2222baJbaJbaJJbabaJJbabaJJbaz因此存在 , 使maxb0,|maxbaJ0,|maxbaJJ而zzyxxyyxJJJJJJJiJJJJ2222)(所以0,|)(max22baJJJzz)(0maxmaxmax2maxbbabba同理:0,|minbaJzzJJJJJ22)(minminbba比较两式得:max

8、minbb取 为正值, 则 取值范围为maxbbmaxmaxbbb显然 由 作用于 次得到max,|baJmin,|bannbbminmax 为正整数n2maxnb定义，则为整数或半整数2/maxnbjj 的最大本征值为zJj2J的本征值为2)1(jj定义，取值范围为mb mjjjjm,1,1,共个12j因此 的本征值与本征态为zJJ ,2mjmmjJmjjjmjJz,|,|,|)1(,|22下面考虑角动量算符的矩阵表示mmjjzmmjjmmjJmjjjmjJmj22,| , ) 1(,| , 而 的矩阵元J) 1(,|,|,2222mmjjmjJJJmjmjJJmjzz令1,|,|mjCmj

9、Jjm) 1)()1() 1(|222mjmjmmjjCjm因此1,|) 1)(,|mjmjmjmjJ同理1,|)1)(,|mjmjmjmjJ所以矩阵元1, ) 1)(,| , mmjjmjmjmjJmj转动算符的矩阵表示及Euler转动绕方向轴 转动 角所对应的转动算符n )exp()(nJ iRD其矩阵元mjnJ imjRDjmm,| )exp(| ,)()(称为Wigner函数注意两边值相同，因为不同时,矩阵元为0jj因为 仍为 本征矢,本征值为mjRD,| )(2J2) 1(jj),|)()1(,|)(,|)(222mjRDjjmjJRDmjRDJ 构成 矩阵, 称为转动算符的 维不可

10、约表示)()(RDjmm) 12 () 12 (jj12 j事实上 构成一个群, 其恒等元为无转动情况 , 为 恒等矩阵, 逆为0)()(RDj) 12 () 12 (jj两个转动 和 的乘积, 等价于转动 1R2R21RR21)(2)(1)()()()(mjmmjmmjmmRRDRDRD转动算符是幺正算符)()(*1RDRDmmmm考虑一个状态 , 转动后mj,|mjRDmj,|)(,|)(RD不改变 值, 但一般改变 值jm)()(,|,| )(| ,|,| )(mjmmmRDmjmjRDmjmjmjRD 即为态 转动后处于 的几率幅)()(RDjmmmj,|,|mj表示空间转动的另一种方

11、式是采用欧拉角将转动分为三步:欧拉转动(1) 绕z轴转 角；（y轴u轴）(2) 绕u 轴转角； ( z 轴z轴）(3) 绕z轴转动角（u轴y轴）xyzuzyx用 实正交矩阵表示33 )()()(),(zuzRRRR由于u 轴是y 轴绕z轴转动 角得到, )()()()(1zyzuRRRR而z 轴是z 轴绕u 转动 得到, 所以)()()()(1uzuzRRRR推出)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(11zyzzzzyzzzuzuuzuzuzRRRRRRRRRRRRRRRRRRR所以三维空间转动可表示为)()()(),(zyzRRRR对应转动算符)exp(

12、)exp()exp()()()(),(zyzzyziJiJiJDDDD其 维矩阵表示12jmjiJmjmmimjiJiJiJmjDyzyzjmm,| )exp(| ,)(exp,| )exp()exp()exp(| ,),()(算符中只剩下关于y轴的转动算符定义mjiJmjdyjmm,|)exp(| ,)()(例如时，2/1jyyJ2mmdymm,21| )2exp(| ,21)()2/1(2cos2sin2sin2cos)()2/1(d角动量耦合和CG系数设有角动量和，彼此对易1J2J定义21JJJ容易证明它满足角动量的对易关系kijkjiJiJJ,称为总角动量设的本征态为zJJ121,11

13、,|mj的本征态为zJJ222,22,|mj对于确定的和，本征态共有个，由这些本征态可以构造的本征态1j2j21212211,;,|,|,|mmjjmjmj) 12)(12(21jjzJJ,2由于0,2222122221JJJJJJJJzz所以和具有共同本征态zJJ,22221, JJ对具有确定的不变子空间，的本征态可表示为21, jjzJJ ,2mjjjmmjjmmjjmjjjmm,;,|,;,;,|,;,|212121,21212121变换矩阵 称为Clebsch-Gordon系数它确定了耦合表象与无耦合表象基矢之间的关系.mjjjmmjj,;,|,;,212121将 CG系数简记为mjm

14、mmjjjmmjj,|,;|,;212, 1212, 1将作用于等式两边，得zzzJJJ2121,2121,|,|,)(,|21mmmjmmmmmjmmm即21,2121210,|,|,)(mmmmmjmmmmm由于线性独立，所以21,|mm0,|,)(2121mjmmmmm即21mmm0,|,21mjmm仅当下面考虑CG系数的递推关系将作用于等式两边21JJJ, 21212222, 212111112121,| , 1, | ) )(1(,| , , 1| ) )(1(1,| )(1(mmmmmjmmmmmjmjmjmmmmmjmjmjmjmj所以mjmmmjmjmjmmmjmjmjmmmj

15、mj,| 1,) 1)(,|, 1) 1)(1,|,)(1(21222221111121称为关系式J),(21mm) 1,(21mm), 1(21mm J同样，将作用，有Jmjmmmjmjmjmmmjmjmjmmmjmj,| 1,) 1)(,|, 1) 1)(1,|,)(1(21222211111212称为关系式JJ),(21mm), 1(21mm ) 1,(21mm利用上述递推关系式，可以将所有CG系数都用来表示jjjjj,|,11而系数不为零的条件：jjjjj,|,11212jjjj即2121jjjjj当然CG系数也可以表示成对的表达式，因此给出条件：jjjjj,|,222112jjjjj

16、所以2121|jjjjj耦合表象中基矢的数目为:) 12)(12() 12(21|2121jjjjjjj这是因为耦合表象与无耦合表象空间维数相同通常CG系数都取实数，它们满足正交归一化条件2121,2121,2121, |,|, |,|,mmmmmmjjmjmmmjmmmjmmmmmjjmjmmmmmmjmmmjmmmmmjmjmm,|,| , ,|,| , 212121212211利用正交归一化条件及递推关系可以将所有CG系数都确定下来例如：对于，经计算得到2/12j1221,21|21,211221,21|21,21111111jmjmjmjmjmjm即21,21|2121,21|2112

17、1,21|1111mmjmmjjmjj21,21|2121,21|21121,21|1111mmjmmjjmjj从转动算符的角度考虑两个角动量相加可以证明转动算符矩阵元与CG系数之间存在一个重要的关系式)(,;,| , ;,;,|,;,)()()(212121212121)()(222111RDmjjjmmjjmjjjmmjjRDRDjmmjmmjmmjmm其中2121|jjjjjProof:等式左边为在无耦合表象中的表示)(RD)()(,| )(|,| )(|, ;,| )(|,;,)()(2222111121212121222111RDRDmjRDmjmjRDmjmmjjRDmmjjjmm

18、jmm而在耦合表象中, ;,| , ;,)(,;,|,;, ;,| , ;, ;,| )(|,;,;,|,;, ;,| )(|,;,212121)(212121212121212121212121212121mjjjmmjjRDmjjjmmjjmmjjmjjjmjjjRDmjjjmjjjmmjjmmjjRDmmjjjjjmmjmjmjmjm)(,;,| , ;,;,|,;,)(212121212121RDmjjjmmjjmjjjmmjjjmmjmm应用举例：利用,*)(0| ),(124)0,(mllmYlD及上面的公式，可以得到公式mlllmmllllllllllYYYdmlmlml,;,|

19、,;,0 ,;,| 0 , 0 ;,) 12 (4) 12)(12 (),(),(),(212121212121*2211角动量耦合最简单的例子：两个自旋1/2粒子的自旋耦合21, SS总自旋21SSS可证kijkjiSiSS,在无耦合表象中，共同本征态为zzSSSS212221,21,|mm即| ,| ,| ,|在耦合表象中的共同本征态为zSSSS,22221Triplet态|1, 1|)|(|210, 1|1, 1|msmsmsSinglet态)|(|210,0|msEPR佯谬和Bell不等式考虑两个自旋1/2电子构成的自旋单态)|(|21|S其中代表电子1的z方向自旋向上，电子2的z方向

20、自旋向下，反之。|测量任意一个电子的z方向自旋， 向上的几率为50,向下的几率也为50%若先测量电子1， 得到自旋向上， 则|S进一步测量电子2，测量值肯定为向下考虑两个相反方向运动的自旋1/2粒子观察者A测量粒子1，观察者B测量粒子2A测量值为Sz为+ B测量值为Sz为-； 若A不测量，则 B测量值 Sz50%为+， 50%为-；尽管A与B可能相距遥远，但似乎B的测量结果依赖于A有没有测量！自旋量子化也可以按x轴方向)|(|21|)|(|21|zzxzzx自旋单态可表示成：)|(|21|xxxxS与z方向量子化完全类似，说明对自旋单态， 空间各个方向是各向同性的考虑A测量粒子1的Sz或Sx，

21、B测量粒子2的Sx若A测量Sz为+， 则B测量Sx为50%+, 50%-;若A测量Sx为某一确定值，则B测量Sx也得到一个确定值;若A不测量， 则B的测量Sx为50%+, 50%-;上述分析说明B的测量结果取决于A如何测量，是测量Sz还是测量Sx.尽管A与B之间空间上分离且没有相互作用。这反映了量子力学某种程度上的非定域性。Einstein是不承认非定域的理论的，他认为:假如系统A和B在空间上是分离的（类空间隔），则对A的操作不应该影响到B的性质。Einstein, Podolsky and Rosen 在1935年写了一篇文章来讨论量子力学中的定域性问题，认为量子力学描述是不完备的，对量子力

22、学提出质疑，现称为 EPR佯谬。(PR47, 777(1935)EPR分析两个粒子组成的一维量子系统每个粒子的坐标和动量算符不对易0,0,2211pxpx但坐标算符差和动量算符之和对易0,2121ppxx因此存在两粒子态是算符和的共同本征态|21xx 21pp 0|)(|)(2121ppaxx若两粒子空间上分离，且没有相互作用测量粒子1的坐标为, 就可得到粒子2的坐标为,0 xax 0测量粒子2的动量为, 则粒子1的动量为,0p0p这样就可以同时得到两个粒子的坐标和动量的确定值，与量子力学中坐标与动量不对易，不能同时有确定值矛盾。所以EPR认为量子力学的描述是不完备的。Bohm的隐参数理论Bo

23、hm提出隐参数理论认为量子力学中的测量仍然是经典决定论的，但由于某些自由度我们不知道才表现出概率性.当测量电子自旋态时，例如状态, 它是由参数（）来描述，其中是隐参数，对我们现在的技术无法测量z|, z)10(如果我们测量在偏离z轴角度方向上的自旋，结果是|1coscos022因此如果知道的值，则测量结果有确定的值。因为我们不知道的值，所以测量才表现出概率性， 与量子力学结果一致。Bell不等式J.S.Bell（在1964年）提出一个不等式，他从隐参数理论和定域论出发，导出两个空间分离系统的测量结果相互关联程度必须满足的一个不等式。设, 是沿空间任意两个方向的单位矢量测量粒子1沿方向的自旋分量

24、, 测量值为测量粒子2沿方向的自旋分量, 测量值为ba,aa)(aAbb)(bB按隐参数理论，是隐参数的函数取值只有两种可能性：)(),(bBaA1),(1),(bBaA由定域论，不存在相互超距作用，对粒子1的沿方向的测量结果，与无关；对粒子2的沿方向的测量结果与无关；a),(aAbb),(bBa设为隐参数的归一化概率分布函数)( 1)(d则粒子1在方向自旋分量与粒子2在方向自旋分量的关联函数为aabbdbBaAbaC),(),()(),(设是另外两个任意方向的单位矢量， 则有, badbBaAbBaAdbBaAbBaAdbBaAbBaAbaCbaC),(), (1), (),()(), ()

25、, (1),(),()(), (),(),(),()() ,(),(因为, 所以1| ),(| , 1| ),(|bBaA), () , (2),(), (1)(), (), (1)(|) ,(),(|baCbaCdbBaAdbBaAbaCbaC即有2| ), () , (| ) ,(),(|baCbaCbaCbaC称为推广的Bell不等式也可推出2| ) ,() , (), (),(|baCbaCbaCbaC称为CHSH(Clauser-Horne-Shimony-Holt)不等式在自旋单态中，粒子1和粒子2沿同一方向的自旋总是相反，即对任意方向的 ,恒有：a),(),(aBaA因此有 ,

26、即处在自旋单态的两个粒子自旋在同方向是100%负关联1),(aaC令 , 则ba2| ), (1| ) ,(),(|bbCbaCbaC即), (1| ) ,(),(|bbCbaCbaC这是Bell给出的Bell不等式的原来的形式。下面说明Bell不等式和量子力学结果不相容当 为自旋单态时S|0| )()2()1(S所以关联函数abiiiSjiSjijiSSSSbabababababaCcos| )( | )( |),(,)1()1()2()1(其中 为 与 的夹角abab当 时， , 完全负相关ba1),(baC代入Bell不等式， 有cos1|coscos|baabab 但此式并不是总能满足

27、的。例如取 , 与 夹角都为 时，有 )90(oabbabba,o4522122上式显然不成立。因此量子力学的结果不满足Bell不等式光子纠缠态实验上检验Bell不等式是否成立， 是利用光子的纠缠态，而不是自旋1/2粒子的纠缠态设 和 是光子的两个相互垂直的线偏振态H|V|)|(|21|)|(|21|ViHLViHR对应右旋和左旋圆偏振光两个向相反方向运动的光子可以处在量子纠缠态)|(|21|)(BABAABHVVH利用光子的EPR对可以研究量子纠缠现象，最著名的是Aspect的实验（PRL49, 91(1982)6. 密度矩阵和约化密度矩阵对不是孤立体系来说，例如孤立的量子系统中的某一部分，

28、则可能发生下列情况：1. 状态不能用量子力学中的一个态矢量来描述;2. 随时间的演化可能不是幺正的；考虑最简单的一个例子：两个量子位的系统量子位A和B,量子位A我们可以测量，而量子位B远离我们。它们的基矢分别是 和AA1| ,0|BB1| ,0|设它们处在量子态：BABAABba1 |1 |0 |0 |显然量子位A和B是关联的测量A得到 的概率为 A0 |2| aBAAB0|0|测量A得到 的概率为 A1 |2| bBAAB1 |1 |以上两种情况，测量后B都在确定的状态测量A得到 态，则B为 态测量A得到 态，则B为 态A0|B0|A1 |B1 | 在状态 两个量子位的状态是完全相关的AB|

29、 只观测A量子位的任意力学量可以表示为BAIM而 测量的期待值AAAAAABABABABABAABBAABMbMabaIMbaIM1 |1|0|0|)1 |1 |0|0|()|)(1|1|0|0(|22*可表示为)(AAAMtrM其中|11|00|22BBAAAba称为量子位A的密度矩阵或密度算符 具有性质：(1) 是厄米算符， (2) 是正定的，所有本征值大于等于零；(3)AAAAA1)(Atr 可理解为存在一组量子态，其中每一个量子态以确定的概率出现，即混合系综的密度算符A上式表示： A量子位有两个可能的量子态， 量子态 的概率为 量子态 的概率为AA1 | ,0|A0|20|ap A1

30、|21|bp 注意此时 表示的状态与线性叠加态是不同的!A复合系统的密度算符考虑可以分解为两个子系统A和B的复合量子系统(the bipartite quantum system)，Hilbert空间为BAHH 其中 的正交基矢组为 的正交基矢组为 AH|AiBH|B则， 的正交基矢组为 BAHH |BAi复合系统的任意量子态可以展开为,|iBAiABia其中,21|iia子系统A的观测量 的期待值为BAIM)(|)| ()|)(|(|,*,*AAAAAjiijBAiiBABvjAjvABBAABAMtriMjaaiaIMjaIMM这里,|)(|jiAAjiABABBAjiaatr 是复合系统

31、AB的密度矩阵对子系统B求迹后得到的关于子系统A的密度矩阵，称为约化密度矩阵A密度算符的性质1. 是厄米算符， ;AAA2. 是正定的，对任意态 , 有 AA|0|AAA3. , 因为1Atr,21|iiAatr可以将密度矩阵对角化，其所有本征值都是实数且大于等于0, 本征值之和为1aaaaAp|其中 ,10apaap1如果上式中包含至少两项，则子系统A处于混合态，有AA2 表示 态是非相干叠加Aa|任意关于子系统A的力学量的期待值aaAaaAAAMpMtrM|)(如果 中只包含一项， 即A|AAA则有 , 子系统A处于纯态，状态可以用态矢量描述AA2张量算符及Wigner-Eckart定理前面讨论了状态在转动变换下的变换)(,|)(,|)(| ,|,|)(,|mjmmmmjRDmjRDmjmjmjRDmj现设有一组算符共个kkq