全等三角形的经典模型(一)

1、全等三角形的经典模型(一)全等三角形的经典模型（一）3满分晋级三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短秋季班第三讲秋季班第二讲漫画释义 作弊？知识互联网 题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：利用特殊边特殊角证题（ac=bc或）.如图1；常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 典题精练【例1】 已知：如图所示，rtabc中，ab=ac，o为bc的中点，写出点o到abc的三个顶点a、b、c 的距离的关系（不要求证明）如果点m、n分别在线段ac、ab

2、上移动，且在移动中保持an=cm.试判断omn的形状，并证明你的结论.如果点m、n分别在线段ca、ab的延长线上移动，且在移动中保持an=cm，试判断中结论是否依然成立，如果是请给出证明【解析】 oa=ob=oc连接oa,oa=oc an=cmanocmo on=om omn是等腰直角三角形onm依然为等腰直角三角形，证明：bac=90°，ab=ac，o为bc中点bao=oac=abc=acb=45°，ao=bo=oc，在ano和cmo中，anocmo（sas）on=om，aon=com，又comaom=90°，omn为等腰直角三角形【例2】 两个全等的含，角的三

3、角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连接，取的中点，连接，试判断的形状，并说明理由【解析】是等腰直角三角形证明：连接由题意，得 为等腰直角三角形.，又，是等腰直角三角形【例3】 已知：如图，中，是的中点，于，交于，连接求证：【解析】 证法一：如图，过点作于，交于，在和中，在和中，证法二：如图，作交的延长线于，在和中，在和中，【例4】 如图，等腰直角中，为内部一点，满足，求证：【解析】 补全正方形，连接dp，易证是等边三角形，【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，

4、再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，rtabc中，bac=90°，ab=ac，m为ac中点，连结bm，作adbm交bc于点d，连结dm，求证:amb=cmd【解析】 作等腰rtabc关于bc对称的等腰rtbfc，延长ad交cf于点n，anbm，由正方形的性质，可得an=bm，易证rtabm rtcan，amb=cnd，cn=am，m为ac中点，cm=cn，1=2，可证得cmdcnd，cnd=cmd，amb=cmd【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，rtabc中，bac= 90

5、°，ab=ac，ad=ce，anbd于点m，延长bd交ne的延长线于点f，试判定def的形状【解析】 作等腰rtabc关于bc对称的等腰rtbhc，可知四边形abhc为正方形，延长an交hc于点k，akbd，可知ak=bd，易证:rtabdrtcak，adb=ckn，ck=ad，ad=ec，ck=ce，易证ckncen，ckn=cen，易证edf=def，def为等腰三角形【探究三】利用等积变形求面积【备选3】如图，rtabc中，a=90°，ab=ac，d为bc上一点，deac，dfab，且be=4，cf=3，求s矩形dfae【解析】 作等腰rtabc关于bc的对称的等腰r

6、tgcb，可知四边形abgc为正方形，分别延长fd、ed交bg、cg于点n、m，可知dn=eb=4，dm=fc=3，由正方形对称性质，可知s矩形dfae=s矩形dmgn=dm·dn=34=12【探究四】求线段长【备选4】如图，abc中，adbc于点d，bac=45°，bd=3，cd=2，求ad的长【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但bac=45°，若分别以ab、ac为对称轴作rtadb的对称直角三角形和rtadc的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直

7、角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形【解析】 以ab为轴作rtadb的对称的rtaeb，再以ac为轴作rtadc的对称的rtafc可知be=bd=3，fc=cd=2，延长eb、fc交点g，bac=45°，由对称性，可得eaf=90°，且ae=ad=af，易证四边形afge为正方形，且边长等于ad，设ad=x，则bg=x3，cg=x2，在rtbcg中，由勾股定理，得，解得x=6，即ad=6【探究五】求最小值【备选5】如图，rtabc中，acb=90°，ac=bc=4，m为ac的中点，p为斜边ab上的动点，求pm+pc的最小值【解析】 将原图形通过引辅助线化

8、归为正方形，即作rtacb关于ab对称的rtadb，可知四边形acbd为正方形，连接cd，可知点c关于ab的对称点d，连接md交ab于点p，连接cp，则pm+pc的值为最小，最小值为:pm+pc=dm=题型二：三垂直模型思路导航常见三垂直模型例题精讲【引例】 已知abbd，edbd，ab=cd，bc=de，求证：acce；若将cde沿cb方向平移得到等不同情形， 其余条件不变，试判断acc1e这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由. 【解析】 abbd，edbd 在与中（sas）,即acce 图四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似，只要证明 acc1e典题精练【例5】

9、 正方形中，点、的坐标分别为，点在第一象限求正方形边长及顶点的坐标（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）【解析】 过点c作cgx轴于g，过b作bey轴于e，并反向延长交cg于f点、的坐标分别为，be=8， ae=6，ab=10四边形abcd是正方形，ab=bc aebbfccf=be=8，bf=ae=6 cg=12 ef=14c(14，12)，正方形的边长为10【点评】 此题中三垂直模型：【例6】 如图所示，在直角梯形中，是的中点， 求证：； 求证：是线段的垂直平分线； 是等腰三角形吗？请说明理由 【解析】，是中点，由得：，由等腰三角形的性质，得：即是线段的垂直平分线

10、是等腰三角形，由得：，由得：，是等腰三角形【例7】 如图1，abc是等边三角形，d、e分别是ab、bc上的点，且bd=ce，连接ae、cd相交于点p请你补全图形，并直接写出apd的度数= ；如图2，rtabc中，b=90°，m、n分别是ab、bc上的点，且am=bc、bm=cn，连接an、cm相交于点p请你猜想apm= °，并写出你的推理过程（2013平谷一模）【解析】 图略，60°45°证明：作aeab且.可证， 是等腰直角三角形, 又aec can（sas） ecan. 思维拓展训练(选讲)训练1. 已知：如图，中，ac=bc，是上一点，aebd的延

11、长线于e，并且，求证：bd平分.【解析】 延长ae交bc的延长线于fbeaf ， 在afc和bdc中，afcbdc（asa）af=bd又 be是af的中垂线ba=bf bd平分训练2. 已知，在正方形abcd中，e在bd上，dgce于g，dg交ac于f.求证：oe=of【解析】 abcd是正方形od=oc dgce 在dof和coe中，dofcoe（asa） oe=of训练3. 已知：如图，中，是的中点，于求证：【解析】 ，是的中点ad=bd=cd， adbc在bdh和adf中，bdhadf（asa）dh=df训练4. 如图，已知矩形abcd中，e是ad上的一点，f是ab上的一点，efec，且

12、ef=ec，de=4cm，矩形abcd的周长为32cm，求ae的长【解析】 在rtaef和rtdec中， efce， fec=90°， aef+dec=90°，而ecd+dec=90°，aef=ecd 又fae=edc=90°ef=ecrtaefrtdce ae=cd ad=ae+4矩形abcd的周长为32 cm， 2（ae+ae+4）=32 解得ae=6 cm 复习巩固题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习【练习1】 如图，acb、ecd均为等腰直角三角形，则图中与bdc全等的三角形为_.【解析】 aec【练习2】 如图，已知中，是的中点，垂足为，交的延

13、长线于点求证：【解析】 ，又，是的中点，即题型二 三垂直模型 巩固练习【练习3】 已知：如图，四边形abcd是矩形（adab），点e在bc上，且ae =ad，dfae，垂足为f请探求df与ab有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明fadceb【解析】 经探求，结论是：df = ab 证明如下：四边形abcd是矩形， b = ， adbc， daf = aeb dfae， afd = ， ae = ad ， ab = df【练习4】 如图，中，是上任意一点，交延长线于，于求证：【解析】 根据条件，、都与互余，在和中，则，【练习5】 四边形abcd是正方形如图1，点g是bc边上任意一点(不与b

14、、c两点重合)，连接ag，作bfag于点f，deag于点e求证：abf dae；在中，线段ef与af、bf的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)；如图2，点g是cd边上任意一点(不与c、d两点重合)，连接ag，作bfag于点f，deag于点e那么图中全等三角形是 ，线段ef与af、bf的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)【解析】 在正方形abcd中，ab=ad，在abf和dae中（aas）abfdae课后测测试1. 问题：已知中，点是内的一点，且，探究与度数的比值请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明当时，依问题中的条件补全右图观察图形，与的数量关系为_；当推出时，可进一步推出的度数为