江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试数学试题Word版含答案

1、江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试数学试题参考答案注意事项：1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分.本试卷满分 为160分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请务必将自己的姓划、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内.考试结朿后，交回答题卡.参考公式：柱体体积公式：V=Sh,锥体体积公式：片#弘，其中S为底面积，方为高.样本数据； m,屁的方差=2£（却一）3其中=一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置 上.1. 已知集合

2、 A= （0, +8）,全集贝lj:d=.2. 设复数z=2+i,其中i为虚数单位，则z2=.匚_0:3. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调査，:While SW10 :则甲被选中的概率为.! S*S+I:! /T+1>4. 命题F "GR, cos + sin 0>广的否泄是命题.（填“真”或： 皿. ：.End While :5. 运行如图所示的伪代码，则输出的7的值为丨Mm /:I 16. 已知样本7, 8, 9,弘y的平均数是9,且-vy=110,则此样本的方差 （第5题图）是7. 在平而直角坐标系xOy中，若抛物线/ = 4,y上的点尸到其

3、焦点的距离为3,则点尸到点0的距离为.8. 若数列/是公差不为0的等差数列，Ina,、Ina：、In禺成等差数列，则兰的值为a：9. 在三棱柱ABC-AQ中，点尸是棱CG上一点，记三棱柱ABC入&C：与四棱锥P-ABBA的体积分别为«与,则¥=.10. 设函数f3=sin（5+e）3>0, ovev*）的图象与y轴交点的纵坐标为平，y轴右侧第一个最低点的横坐标为则G的值为611已知F是磁的垂心（三角形三条髙所在直线的交点），茄=丄石+穆花，则cos ABAC的值42为.12. 若无穷数列cos()(6>GR)是等差数列，则貝前10项的和为.13. 已知集

4、合 F=Cv, y) I aI-y! +yy =16,集合 Q= x. y)滋+hW 応上v+k,若圧0,则 &的最小值为14.若对任意实数-yG(-oq,1>都有If-2aw+lW1成立，则实数a的值为(第16题图)二解答题:本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.15. （本小题满分14分）已知磁满足sin （万+?） =2cos5.6（1）若 cosC=¥，AC=3,求個兀4（2）若川丘（0, ） 且 cos（BA） =-求 sinJ.316. (本小题满分14分)如图，长方体ABCD AbCD中，已

5、知底而馭P是正方形，点尸是侧棱CG上的一点.(1) 若M/平面加求罟的值;(2) 求证：BDLA.P.17. （本小题满分14分）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从中裁 剪出两块全等的圆形铁皮O尸与OQ做圆柱的底而，裁剪出一个矩形個做圆柱的侧而（接缝忽略不 计），M为圆柱的一条母线，点A、万在©0上，点只。在0。的一条直径上，AB/PQ, 0A 0。分别 与直线应'、出?相切，都与00内切.（1）求圆形铁皮。尸半径的取值范围：（2）请确定圆形铁皮G）尸与0Q半径的值，使得油桶的体枳最大.（不取近似值）18. （本小题满分16分）

6、设椭圆C：三+£=l（a>b>0）的左右焦点分别为凡弘离心率是“动点P（m %）在椭圆Q上运动.当般 a b丄*轴时，及=1, g=e（1）求椭圆C的方程：（2）延长朋，啟分别交椭圆C于点川B（A,万不重合）设忑=人乔，巫="序, 求久+ “的最小值.（第18題图）19(本小题满分16分)宦义：若无穷数列&满足a+ 捕是公比为q的等比数列，则称数列UJ为“於(q)数列二 设数列仏中厶=1,厶=7(1) 若厶=4,且数列必是“Mq)数列”,求数列«的通项公式；(2) 设数列的前n项和为弘 且乩=2,討+久，请判断数列是否为“"(g)数列

7、”，并说明 理由；(3) 若数列是“"(2)数列S是否存在正整数皿力使得搭豊般?若存在，请求出所有满足20iy bn Z019条件的正整数皿n：若不存在，请说明理由.20. (本小题满分16分)若函数fix) = e Xmx (eWR)为奇函数，且x=x°时f(x)有极小值fg)(1) 求实数a的值：(2) 求实数也的取值范I羽：9(3) 若Kyo)恒成立，求实数助的取值范卞e注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分，考试时间30分钟.3. 答题前，考生务必将自己的姓名、学校.班级.学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题 卡上对应题目的答案空格

8、内.考试结束后，交回答题纸卡21. 【选做题】在A"、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修42：矩阵与变换已知圆C经矩阵变换后得到圆L： »+尹=13,求实数a的值.B. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线pcos +2"sin =也被曲线p=4sin 0截得的弦为的 当曲是最长弦时，求 实数山的值.C. 选修45：不等式选讲已知正实数b, C满足丄+舟+3=1,求a+2b+3c的最小值. a b c【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷卡

9、指定区域内作答.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.22. （本小题满分10分）如图，aa脛是圆柱的两条母线，小、m分别经过上下底面圆的圆心a、a e是下底而与曲垂 直的直径，0=2.（1）若M = 3,求异面直线儿C与30所成角的余弦值；（2）若二面角A-CD-B,的大小为斗，求母线恣的长.<3（第22题图）23. (本小题满分10分)2n设 £ (1 2.y) 1=04-ax-azx + + azx31N*) id S>=&)+a：+ai + + a"ji(1) 求 5,：(2) 记 7；= ( 1)乞以，求证：L 6n 恒成立.盐城市南京市2

10、020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1. 本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制 订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影 响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位 置上）1. （一8,

11、02. 53. |4.真5. 66. 27. 238. 39. £10. 711.电 12. 1013. 414.332二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内.15.（本小题满分14分）解：（1）由 sin（5+-） =2cos5,可知sin5+cos5=2cos5» 即 sin5=-/3cos5.因为cos5#0所以tan5=/3又5G （0,兀），故B=*由 cosC=, CG (0» n ),可知 sinC=ll-coszC=-在遊中，由正弦左理;sin二i扫月。 可得= n sm

12、c sm3所以AB=2.由矢所以胆（0,斗）时，斗一胆（0，斗），5OOU4n.4由 cos(BA)=二，即 cos (J)=->00 0 COS所以sin（韦一川）=<3一吨10分所以 sinJ=sin-一 (J) = sincos (A) cos寸sin(A)14分=x-x-=-32 5 2 51016证明（本小题满分14分）:（1）连结M交助于点。连结炉因为？1G/平而磁，EGu平而月CG,平而ACC, n平而BDP= OP、所以?JG/莎.因为四边形却是正方形.对角线交助于点0,所以点0是川:的中点，所以AO=OC.PG AO所以在MG中，-=1.（2）连结儿G（第16题图

13、）因为ABCD AbCD为长方体，所以侧棱GC丄平而ABCD.又近平面初仞，所以QC丄勿.因为底ABCD是正方形，所以/1Q丄助.10分12分又 Acn CG= G 月GZ而 ACC.A而 ACC.A所以助丄而ACQA,.又因为儿疋而ACC.A.所以BDLA.P.14分17.（本小题满分14分）解:（1）设。尸半径为“则AB=4（2-r）,所以OP的周长 2 n r= BC2/16-4(2-r):,16十+4故俳半径的取值范围为（0,齐.（2）在（1）的条件下，汕桶的体积K= nr： J5=4nr：（2-r）.设函数f&）=£（2-£,丄唱（0,卓一；,”+4所以

14、f '3=4.y3左，由 丁 V： n 4-4 3所以f 'Cv）0在泄义域上恒成立，故f&）在泄义域上单调递增，即当$=仝7时，体积取到最大值13分n +4答：OF半径的取值范围为（0, 当|当上=芈7米时.体积取到最大值. 14分兀+4兀+418（本小题满分16分）解：（1）由当 啟丄x轴时，及=1,可知。=12分将及=1, %=e代入椭圆方程得4+=1.a b由 e=-=-,孑=孑一£=£一1,所以2+ x = 1a a4 a （a 1丿解得a：=2,故歹=1,所以椭圆C的方程为|+/=1. 4分、亠7Ml /、 . -AA hJ1及=A Cv

15、b+1） , llr. -Y1= /I -Vo久-（2）方法一：设川"yj,由血=人兀P,得 -I即 -|lyi-久口，71-人,代入椭圆方程，得匕士F二"+（久尸=1.8分乂由|+=b得丄护+3）/,两式相减得'人+ D ；"+ " + D =1_12分14分因为人+1H0,所以2人及+久+1 = 2（1 人），3 + 2 Ao同理可得“=二一,3 2-¥o1 6 /3 + 2及 32為 9 4 肚 3当且仅当必=0时取等号，故久+“的最小值为务16分方法二：由点儿万不重合可知直线用与*轴不重合,故可设直线PA的方程为 <=砂一

16、1,?+/ = b 消去 x,得缶+2)#2才1=0.1 1设川力乃)，则八乃=子戸，所以乃=(肯+ 7)J将点尸(及，旳)代入椭圆的方程得*+诒=1,代入直线用的方程得及=砂。一1,所以加=汇%由旋“矗，得-“5故“-沪昇2)元馆+1)：+2允1=(ao+1)=+2(1-|) 3 + 2"乙同理可得“=出厂32afo故人+=111亠23 + 2及 32及 9-4-% 39 当且仅当必=0时取等号，故人+“的最小值为彳 注：(1)也可设P(J2cos 0, sin")得久=，其余同理.3 + 2羽cos 012分14分16 分也可由寺+>6,运用基本不等式求解久+“的

17、最小值.19(本小题满分16分)解:(1)因为&=4,且数列仏是“駅q)数列”,所以尸茎所以左汕s即 b小b“= &比 i , 42、所以数列切是等差数列，其公差为 a所以数列血通项公式为=1+(/2-1)X3,即b=3n2.(2)由 bn =2Se：£力+ 久 * 得乙=弓+ /I > 厶=4 + 3 久=7,故人=1.方法一"：由乩i=2S,*n+l,得 12=25,11(/34-1) +1, 两式作差得乩2-b,r=2b,"*,即乩=3人nGN*.乂 = 所以 bz=3b、所以人“=3厶一扌对nGN*恒成立，6分b熬' 1711

18、1314则Zut=3（7因为乙一丁=7工0,所以厶一；H0,所以=3,4 44 44r 1乙一彳即-|是等比数列，4所以人一±=(1 X3"'=43S 即乙=X3”+144444所以誓一警=bn I 1 ba(ix3al2+i)-(ix3'lx444(|x3wK+|)-(|x3a+|)所以乩一厶是公比为3的等比数列，故数列仏是“駅。）数列二 10分方法二：同方法一得b.,+i=3b,*对nGN*恒成立， 6分则 b.2=3b.两式作差得 bz bn = 3bzL 掠 8 分乙因为厶一厶=碁0,所以b小一b#o,所以 =3,厶bz bn所以仏“一血是公比为3的

19、等比数列，故数列血是“駅q）数列二 10分 （3）由数列仏是"M2）数列”,得工“ 一乙=（乙一5）X2.又二=2,即匸辛=2,所以&=3,所以&-2h = 2,所以bz-b尸口 bzb.bzl所以当力 22 时 bn= bn bn 1） +（Air-1bn-2）+-+ （厶一th） + £h=2+2宀+2 + 1 = 2”一1当刀=1时上式也成立，所以人=2”一1.12分假设存在正整数皿”，使得黑v半 弊，则晋2019 bn 20192“一 1 4039由討+辟1，可知2-l2fl-b所以五力又皿力为正整数，所以巾一卫212fl-1 _2T °

20、(2fl-1) + 2'a-1 _or _, 2一 1 J040 乂歹二I=_ 一2'-12” 一 1 “2019所以2V黑3,所以m-n=,201914分亦° 丄 1口 "039一° 丄 1 一 4040 店山2021所以亍T2+b BP<2+<, mu<2 <2020,所以 73=10,也=11,故存在满足条件的正整数皿”，其中m=ll, n=10.16分20. (本小题满分16分)解：(1)由函数f(x)为奇函数，得f(x)+f(切=0在泄义域上恒成立，所以 e“一 ae J/n.v+e "处"+血

21、丫=0,化简可得(1 一a)(e”+e ”)=0,所以a=l. 3分(2)方法一：由(1)可得f&)= 邮 所以f 心)=e+ j=e" 曲+l.e当曲2时，由于e汰一於、+1鼻0恒成立，即f '(£ 20恒成立，故不存在极小值. 5分当也>2时，令ex= t,则方程t:-+l=0有两个不等的正根灯tz (t：<t=),故可知函数fa)=e一ep血在(一8, InG, (In纭+®)上单调递增，在(In切lnl上单调递减，即在In住处取到极小值，所以，也的取值范围是(2, +s). 9分方法二：由(1)可得 f3 =e"e *

22、mx、令 g(x)=f '(x)=e=+e xm,则列 U)=eA-e=e故当 x20 时，g' (£20：当 *0 时，扌 Cy) <0,5 分故g(x)在(一8, 0)上递减，在(0, +8)上递增，所以g(x)：nn=g(0) =2皿 若2_»0,则20恒成立，所以f3单涮递增，此时f3无极值点.6分 若 2XO,即加>2 时，g(0)=2*0.取 r=hw,则 &(£)=丄>0m又函数g(£的图象在区间0, r上不间断，所以存在(0. t),使得g&°)=0.又g(x)在(0, +8)上

23、递增，所以-yE (0> -Yb)时，g(x)<0,即 f 'Cv)VO： (及，+8)时，gCr)>0,即 f '(x)>0.所以f&°)为fCv)极小值，符合题意所以，皿的取值范围是(2, +8).9分(3)由 X。满足 e” + e 口=血 代入 f(x) =ete xmx,消去加 可得 Z(Ao) = (1Ao)eA (14-Ao)e11 分 构造函数念) = (1+W,所以加3=W-e当时，e_A所以当时，刖3W 0恒成立,e2故力(x)在0, +8)上为单调减函数，其中A(l)=-|,13分9则A-Yo) -可转化为A (A

24、b) M力(1) »故AbWl15分e由 en+e"'= 设 y=ev4-e'可得当丫20时，=e”一e ”20,所以y=e”+e ”在(0, 1上递增，故mWe+丄. e综上，加的取值范围是(2, e+七 16分盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试Bi数学附加题参考答案及评分标准2020. 01说明：1. 本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考査内容比照评分标准制 订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影 响的程度决左给分，但不得超过该部分正

25、确解答应得分数的一半：如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数，填空题不给中间分数.21. 【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-2：矩阵与变换解：设圆C上任一点G, y),经矩阵"变换后得到圆L上一点卩'),所以又因为(* ):4-(y,)s=13.所以圆 Q的方程为(+3y)2+(3x-2y)2=13,化简得(a+9)才 + (6a12) *y+13?= 13,所以)工+9

26、= 13,6 a12 = 0,解得a=210分所以，实数4的值为2B. 选修4一4：坐标系与参数方程解：以极点为原点，极轴为X轴的正半轴(单位长度相同)建立平而直角坐标系，由直线Pcos "+2Qsin=m 可得直角坐标方程为x+2 也=0.又曲线P=4sin 0.所以P3=4Psin 0，其直角坐标方程为£+(y-2)'=4, 5分所以曲线P=4sin 是以(0, 2)为圆心，2为半径的圆.为使直线被曲线(圆)截得的弦曲最长，所以直线过圆心(0, 2),于是0+2X2也=0,解得22?=4.所以，实数山的值为410分C. 选修4一5：不等式选讲解：因为-+-=b所

27、以丄+£+丄=1a b ca Lb 5c由柯西不等式得a+2b+3c= （a+2b+3c）（丄+丄+刍）三（1 + 2+3）",a 2b 3c即 a+2b+3c$36,5 分1 £ _9.当且仅当？=牛=学，即a=b=c时取等号，解得a=b=e=6,a 2b 3c所以当且仅当a=b=c=6时，a+2b+3c取最小值36.10分22. （本小题满分10分）解：（1）以CD, AB, 0Q所在直线建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.由 CD=2、M = 3t 所以川0, -b 0）, 5（0, 1, 0）, C（-b 0, 0）, D（l, 0, 0）,A.（0, -1, 3）, 3（0, 1, 3）,从而Xc=(-1, 1, 一3),乔=(1, -b 一3),所以cosV无Z,妙> =-1X1 + 1X (-l) + (-3)X (-3)#一1 尸+F+ ( 3尹