2021届高一数学上学期：3.2函数的基本性质3.2.1函数的单调性(第一课时)教案

1、第三章 函数的概念与性质3. 2函数的基本性质3. 2.1单调性与最大（小）值【素养目标】1 .根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念.（数学抽象）2 .会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性.（直观想象）3 .理解一次函数、二次函数等常见函数的最大（小）值问题.（数据分析）4 .能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性，掌握利用单调性定义判断、证明 函数单调性的方法.（逻辑推理）5 .掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大（小）值的方法.（数据分析） 【学法解读】1 .函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质.2 .单调性的有关概念比较

2、抽象，要注意结合具体的函数（如一次函数、二次函数、比例函数 等）加深理解其含义及应用.3 .应少做偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练.第1课时函数的单调性必备知识探新知基础知识知识点1：函数的单调性前提条件设函数/的定义域为人区间QU/条件-2上0, 均左都有 /（%）都有 /(%)>/(%)图示/ 八飞）朋）y 软) 期)1 10xi% X0XX2 X结论7U1在区间。上单调递增危）在区间。上单调递减特殊情况当函券5）在它的定义域上 单调递增时，我们就称它是当函数/W在它的定义域上单 调递减时，我们就称它是 减函数思考1：在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？ 提示：不能，不能用特殊代替

3、一般.知识点2：函数的单调性与单调区间 函数丁 = /（-v）在 上是单调递增或单调递减，则函数在区间D上具有（严格的）单调 性，区间。叫做函数的单调区间.思考2：区间。一定是函数的定义域吗？提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念.基础自测1.函数y = /(*)在区间(/)上是减函数，,且不<工2，则有()A.B. f(x2)>f(x2)C. f(x1) = f(x2)D.以上都有可能答案：B解答：因为函数)' = /(")在上是减函数，且为 <，所以/12)>/(不)，故选B.2 .下列函数中，在区间(0,2)上为增

4、函数的是()A. y=3-xB. y = x2 +1 C. y=： D. y = -x2解析分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B.3 .若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数力，总有")一 ,”")0成立,则 a-b必有()A. /(X)在R上是增函数B. 在R上是减函数C.函数是先增后减D.函数/(x)是先减后增解析由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数。力，总有/9)- /6)>0成立, a-b则/(x)在R上是增函数，故选A.4 .已知函数是区间(0, +8)上的减函数，那么与/(：)的大小关系为又:/。)在区间(0, +8)

5、上为减函数, /(n2-« + 1)</(-).4关键能力-攻重难题型探究题型一求函数的单调区间例1如图为函数 4,7的图象，指出它的单调区间.分析(1)函数fix)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？(2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？解析函数的单调增区间为- 1.5,3), 5, 6),单调减区间为-4, -1. 5), 3,5), 6,7.归纳提升函数单调区间的求法及表示方法(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间， 可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求.(2)单调区间必须是

6、一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y=l在(-8, 0)U(0, +8)上是减函数，而只能写成在(- 8, 0)和(0, +8)上是减函数.(3)区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化, 所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些 点无意义时，单调区间就不包括这些点.【对点练习】据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间.解析由图象(1)知此函数的增区间为(-8, 2, 4, +8),减区间为2,4. 由图象(2)知，此函数的增区间为(-8, - 1, 1, +8),减区间为- 1,0), (0, 1.

7、 题型二用定义法证明函数的单调性例2利用单调性定义证明：函数f(x) =在其定义域内是增函数.分析由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明.证明函数/(X)= QT的定义域是xel,-Ko),设"2,工2 eL+8）且内x2,则/（为）=y/x2T - Jr -1（J*? _ - 一 入 2 - + JX - 1）X? XJ”2 -1 + Jn - - + Jk - i因为凡,占，且玉 <三，所以 jx2 1 + Jx -1 > 0 , x2 %1 > 0.所以/(8) </(巧)即函数/(制="彳在定义域上是增函数.归纳提升函数的单

8、调性是在某指定区间上而言的，自变量X的取值必须是连续的，用定 义证明函数的单调性的基本步骤是“取值一一作差(或作商)一一变形一一定号一一判断”.当 函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指 数式时常用此法.解决带根号的问题，常用的方法就是分子、分母有理化.从形式上看是由 “一”变成 “+”.【对点练习】(1)用函数单调性定义证明：函数/(%) = 2+4%在(-8,7上是单调减函数：(2)用函数单调性定义证明：函数y = 2二在上为增函数.x + 1证明设不出工一1,则)- f(x2) = (2x； +4x1)-(2a-,2 + 4a,) = 2(x,2

9、 -x,2) + 4(x, -x2)= 2(Aj -x2)(xj +x2+2): Xj <x2 <1 ,/ Xj - x2 < 0 , X + w + 2 < 0 ,' /(N)-/(a-2)>0,即/区)> f(x2),，/(X)在(YO,-1上是减函数.(2)设% >x2 >-1 ,则内一工 > 0 , X +1 > 0 , x2 +1 > 0»,二2_2 = 2(' 一9)>0, A +1 x2 + 1(X, + l)(x2 +1)'% > >2，.函数，=在(T+oo)上为增函数.题型三单调性的应用例3已知函数/(x)是定义在R上的增函数，且/(3。-7)>/(11 + &/),求实数”的取值 范围.分析根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得到相应的函数值的大小, 反之，由两个函数值的大小也可以得到相应自变量的大小.解析:函数/(九)是定义在R上的增函数，且/(3。-7)>/(11+8。)，S7 > 11+8 .，实数4的取值范围是.归纳提升利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性