圆锥曲线中与直线夹角相关的问题（原稿）

1、锥曲线中与直线夹角相关的问题王永洪1北京市海淀区北京理工大学机电学院,100081)两平血二次曲线(肓线视为特殊的曲线)/,(x,y) = 0与£(兀,刃=0相交，基于两曲线方程联立消去参 数x或y得到一元二次方程，根据代数方程解决儿何问题的方法是解析儿何思想在初等数学中的典型应用 方法。这种1111线方程联立消去其屮一个参数(如y)的方法可以解决多数常见的几何问题，这里所指的常 见问题是以距离关系为主，或涉及简单而特殊的夹角关系的一类问题，而对于有一般角度关系的问题，再 继续利用这种迭代消元的方法将将面临繁复的计算过程，而且会导出很多不必要的屮间结果，另外，对于 多个变彊联合计算的

2、过程，变量关系引入的先后顺序将决定着问题解答的效率。迭代消元解析法求解几何 问题的过程规范，但对具体问题的处理具冇局限性。考虑下面的问题:二次曲线/,uy) = o与直线/2(x,y) = o冇两个交点a和b, p是平面上一点,给出 的几何条件为pa和的斜率或是夹角有关，若釆用一般的两二次1111线方程联立，迭代消去变量y,得到 关于兀的一元二次方程，再利用根与系数关系表示直线阳与斜率，这是一个转化求解问题的过程，如 上所言，这样的解法伴随着繁琐的计算过程。事实上，通过两曲线方程联立，进行合理的迭代运算玄接得 到关于两直线斜率的一元二次的方程是能够实现的，这种迭代方法不会消去二次illi线屮的

3、任何参数。由于 在迭代前就考虑儿何关系给出的p点位置而采用特殊的迭代形式,进而得到能求解直线斜率的代数方程， 因此夹角关系的代数表示和问题求解过程变得简洁而高效，而且角度关系越复杂，这种方法较之普通迭代 消元法的优势就越明显。下而将按p点的不同位置分三类情况举例介绍如何对应和直线pa与pb斜率有关 的不同类型问题得到这样的一元二次方程并解决相关问题的各种解法。1. p是原点的情况。2 2设双曲线- = 1 (0<a<b)ij直线/有两个交点a, b ,。为原点，若oa丄ob,求证：直线山 ct it一个圆心在原点，半径一定的圆相切。这个问题在高屮解析儿何屮己经得到了很多解法，下面将

4、采用迭代的方法得到关于直线04 , 0斜率 的一元二次方程。解：一般地，若直线04, ob和/斜率存在，分别设其为任，心和设直线方程为y = & +加，则 *2 y222/ v_lr2m = y-kx ,联立方程 庐一歹 ，得二-亠二 口1 ,尤工0时，上式两边同除f得fcr zr v mm = y-kxj'二+丄丫上丫2±2 +匚-丄=0,由根与系数关系得k o nv )x) m x nr04 丄 ob,则 k,k2 =-b即匸上nr由ess將二席与'这说明直线'到原】作者联系信息:北京市海淀区中关村南大街5号北京理工大学机电学院116信箱,邮编:1

5、0008ioe-mail:mt xxx2007.点的距离为定值，即律圆心在原点，半径为詰手的圆。相切。当宜线审轴垂肓或两宜线如52 2垂直于处标轴时，易验证/和圆0相切，综上，当04丄时，直线/与圆心在原点，半径为的 h-ci圆0相切。2. p点在坐标轴上的情况。设椭圆c的左右焦点分别为片，笃，过椭圆的左焦点作一条斜率为£直线交椭圆于4, b,设为椭圆 的离心率。(i )若币而=号,eept '求“的取值范围(ii) 设7,初*,直线f,和学的夹角是山誓，求椭圆的方程.解：(i)将椭圆及直线都向左平移使耳落在椭圆的屮心。若直线瑪人，的斜率存在，设为人，k2 o equatio

6、n section 2联立方程(x + c)2 y2a2 歹2c=1my x2c >m24+ h2 c2m2y2 + 2m / 、22x)1 1+ 2 2a c丄122cxy +x2 = 0 o+ 2仔+右卩+丄_丄=0。x a2 c2(2.1)将2 £代入上式得4? 一 (1 一 / )2 加2 (y / 兀)2 + 2加(1 一 / )(y / 力一 (1 一 / )2 = 0。于是4£(17)(l-e2)2m2 -4e2e1+2畔害存两条肓线的夹角&有:心-込4e(l-e2)y/l + /n2l + k1k2(l-e2)2(l + m2)-4e2tan

7、6 =(2.2)(2. 2)中令 tan/9 = v3 ,m2 +1 =3(1-巧(2.3)(x + c)2(i"(2.4)另外，再联立方程21 = 1a2 b1 ，得到x = my 一 2c> > 方24c2ff2b= -£l( + 1)+j_/d(m2 1 ) b+慣丿(2.5)fa,fb 是钝角，则币丽0,即4<?2+"(1-孑)2于是12,由(2.3)(2.4)可知，”“=砂。由于一=-!d »-2(2.6)<m2<71o3%亍，由(2)得(一xt+me上式两端同除以几得“翳。由几何关系知心普 eev63若直线/ /

8、中有-条直线札轴垂直，无妨设"与谕垂直，取心一方程 幣无解即这种情况是不存在的。k 亠 由(2.6)得k的取值范围是 m(ii)将加二d,伽&二迹代入(2.2),得 = 叵。设椭圆方程为+ = /12,由(2.5)得 25e774f = z2,代入题设条件得a2=-o椭圆的方程为空 +王二1.1-31()216从上例可见，对于p不在原点的情况，可以坐标平移变换，将一般位置的p点坐标映射到新坐标系下 的坐标原点，相应的直线和二次曲线按坐标变换式转换到新坐标系下，注意问题求解结束后需视具体情况 决定是否将结果按坐标逆变换式转换到原坐标系中。下面将举例说明坐标平移处理p在一般位置的

9、二次曲线问题。3. p在一般位置的情况。3.1与二次曲线的切线相关的问题过不在二次曲线上的一点可以作该曲线的两条切线，二次曲线的切线与曲线的焦点和准线之间有良好 的几何性质，如过准线上的任意一点q作相应曲线的两条切线，两个切点m ,2和对应准线的焦点f三 点共线，而且直线0f与相垂直，以下以椭圆为例求解过椭圆外一点p的两条切线的斜率相关的系列 问题。下面将介绍p在一般位置时，过p点作曲线两条切线，切线斜率所满足的方程。equation section 3 r2 2过椭圆外一点p作椭圆+ +君=1的两条切线，斜率记为爼与&，在下列独立条件下求解p点的轨迹 方程。(i)两条切线相互垂直;（

10、ii）陶条切线斜率互为倒数;（iii）kk° ；ct（iv）两切线的夹角是定角a （0<a<90: ）o解：首先，导出两条切线的斜率lp点坐标满足的方程。p（x（）,y0）与切点（召,）0满足切线方程逬l +聖1 = 1,而切点满足椭圜方程，先作坐标平移变换 ct b（w + x0）2 , （v + y0）2 _1a2b23 0二并er b- aird_ i/22立方程,记a = 1/1-_-4，离，0"臬。/ a2 b2a2b2u + xq(au + 0y)+ 右卜，+ yq(au + 0v)=(aw + j3v)2,整理后得到(l + x()a)2 i (a

11、)(1 + 处0)0心 + (1 + 0y()q)bb2-ap mv +(1+0%)2一02 宀 °b2化简得"命伉-计+2ag> 人汾（兀”2）=0o当 x（）h±a 时,"工0,于是有下列关于切线斜率£的二次方程:(兀：-a2)k2 - 2x0y0fc + ()彳一员)=0 ,根与系数关系式:&卄2=卑氓，讣严迄£x（）_d兀o_d(3.1)直线的斜率(3.2)当=±a ,前述方程简化为（尤-b2）u2 - 2xoyowv = 0 ,由这个方程能解出过（心儿）且不垂肓于x轴的 k = yl2勺儿对切线斜率所

12、满足的不同条件分别求解如下:（i ）两条切线相互垂直,则kk2 =-1 （兀：工亍且）彳工，），或是x =a2 h = b2 ,由（3）得到p点 轨迹是圆%o + y =a2 +b2 ；（ii）两条切线斜率互为倒数,即冰2=1 （总曲）,则卩在双曲线卅一听二/一货（爲如2）上;（iii）%=各,p点轨迹(3.3)（a儿 一/%）（% + 加。）=0 （球工 / ）,若记切点为八b,在这条有间断的折线上，”誓时,蕨莎取到最小值坷泸井）；（iv）两切线的夹角是定角a （0<a<90°）时，记2 = tana.(3)代入得4a& y+1 =一戻)2 (3.4)w /丿记

13、f =琉+朮一/一沪,tj = xl-y-a2 +b2 o ±式可以写为:(a2 +/?2)-(a2 _/?2) + 2/?2 二牛§2 o当x=a2时，由(3.2)和儿何关系得|r| = cos,儿满足方程才侃一庆尸=也乂，可见，这和(3.4)有一 致结果，综上，p点轨迹方程即为(3.4)式。32二次曲线“类准线”性质222以双曲线匚-匚=1(°>0上>0)为例，在x轴上有一个定点f(r,o)(/>d),给定直线/:x = ,贝ij有ct b"t以下性质：过f点的直线与双illi线交于4和b, p是/上任意一点，则p4, pf , p

14、b的斜率成等差数列,2特别地，p取(乞,0)吋，pa , pb关于x轴对称。t以上所述的“类准线”性质对于三类二次illi线准线的儿何性质具有重要意义，卜面将给出这个性质的 简要证明。当取双曲线左右端点吋，容易验证该性质成立。一般地，设直线a3方程为x = my + t ,卩(旺,儿)，=。作平移变换"”，联立方程 2 = y 一 儿(«+x()2 e + y°)2 二 1 « a1b2，记人=1/(加儿一人)+0，a = a，卩= _hm .u - mv = my0 -xq+t得av2 + ibuv + cu2 = 0 ,其中a=_(1 + ?o)2

15、_人2r 2_(£-|0)1_21亍b2l a b_“_(1 + 处0)0心(l + 0)b)ax°a2./e , /-x。7p妙"a庐+ 丁。92 t 22 "i22将代入上式得：a = a 2($_1)加2 一 二(冬一1) , b = h 2 也加2_二(£_)。tv |_v r r记pa, pf , pb的斜率分别为匕也出,贝ij,+=-=褊二卓4,即何+心=2褊。a cr _cr -v综上，“类准线”性质得证，另外特别指出，过类准线x = (/ >6/)±任意一个点作二次曲线的两条切 t线，对应的两个切点与f (/,0

16、)共线。3.3二次曲线内接三角形的角平分线设椭圆c中心在原点，焦点片迅在y轴上，椭圆上一-点p. (a/2,v6) , zfrf?角平分线与过椭圆上顶点和右顶点的直线垂直。(i )求椭圆方程；(id c上一点片(1,儿)，过片的三条直线厶、1、厶之间存在关系：直线/为定直线,厶与匚关于/对 称，人与厶分别交椭圆于另外的两点m与n,直线mn过一个定点，且该定点纵处标为-3,求直线/的斜 率。2 2解：(i )设椭圆方程为l + l = l(a>b>0),根据椭圆几何性质，椭圆c在吒的切线与zf.f.角 lr cr2 6 .平分线垂直。由式(3. 3)知，佗在直线血-巧 =0上，于是有

17、下列方程b2 ci2 ，解得 a = 2>/3 , b = 2 , "一朋=0椭圆方程为3x2 + b = 12。(ii)考虑一般的情况,对于椭圆: ax2 + by2=和其上的一点p(x0,y0),三条直线厶、/、厶过点p， /、厶关系如题设给出。下面导岀一般的结论。作坐标变换宅v =-¥_x°，为表示方便，以下取新坐标进行计算.在新坐标系下，直线mn斜率存在, y =)'一儿设其mn方程为y = kx 777，联立方程<a(x + x0)2 +b(y + _y0)2 =1 得 y = kx + m2y-kxym )y-kxm(bm + 2b

18、v0)- 2(bky - ax()+ am - 2akx( = 0 , xx记匕,匕和km分别是/j?和i的斜率,(3.5)k卄二2(临-仏)12 bm + 2by0曲关于,对称，于是有若泊忌整理后得:(3.6)其中，q = 2*!芈，褊为定值，则2也为定值。由(3.5)有+ 2by0 =一2ax0)k + (a - b)m ,上式说明，新坐标系下直线mn过一个定点$小厂2心2byn + mxq,由坐标平移公式得原坐标 i a-ba-b )系下定点处标'必比-(人+ 3)心 航勺+(人+ 3)几,(3 ?)、 a-b ， a-b )，°其中，2由给定的定点坐标确定。在本题中，椭圆方程3f +=i2, p点坐标(1,3),直线mn过一个定点，定点纵坐标为-3,由(3.7)可解得a = -6,定直线/斜率满足方程(3.6),即殆-6褊-1=0,解得km =3±j10.最后需要指出的是，若直线厶与厶斜率互为相反数，