2015届【北师大版】高三数学一轮课时作业【53】（含答案）

1、课时作业53曲线与方程一、选择题(每小题5分，共40分)1动点P(x，y)满足5|3x4y11|，则点P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线 D直线解析：设定点F(1,2)，定直线l：3x4y110，则|PF|，点P到直线l的距离d.由已知得1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线选D.答案：D2(2014·榆林模拟)若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：依题意，点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线答案：D3设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，

2、Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.1 B.11 / 12C.1 D.1解析：M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的轨迹为椭圆，a，c1，则b2a2c2，椭圆的标准方程为1.答案：D4(2014·烟台月考)已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30，得2xy50.答案：D5(2

3、014·合肥模拟，6)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：由题意知，|EA|EO|EB|EO|r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.答案：B6(2014·上海徐汇模拟，16)如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是正确的，则下列命题中正确的是()A曲线C是方程f(x，y)0的曲线B方程f(x，y)0的每一组解对应的点都在曲线C上C不满足方程f(x，y)0的点(x，y)不在曲线C上D方程f(x，y)0是曲线C的方程解析：

4、由曲线与方程的对应关系可知，由于不能判断以方程f(x，y)0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f(x，y)0的曲线不一定是C，所以曲线C是方程f(x，y)0的曲线不正确；方程f(x，y)0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确；不能推出曲线C是方程f(x，y)0的轨迹举特例，曲线C为yx，而方程x2y20，即y±x，则只有C正确答案：C7方程x2y20对应的图像是()解析：由x2y20得yx或yx.答案：C8有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若ABP为正三角形，则点P的轨迹为()A直线 B圆C椭圆 D双曲线解析：设P(x，y)，动圆P的半径为R

5、，由于ABP为正三角形，P到y轴的距离dR，即|x|R.而R|PF|，|x|·.整理得(x3a)23y212a2，即1.点P的轨迹为双曲线答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)9(2014·山东聊城一模，13)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)、B(2,2)，若点C满足t()，其中tR，则点C的轨迹方程是_解析：设C(x，y)，则(x，y)，t()(1t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y2x2.去参数t得点C的轨迹方程为y2x2.答案：y2x210(2014·山东枣庄一模，14)已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长

6、|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_解析：解法一：直接法设A(x，y)，则D(，)，|CD|3，化简得(x10)2y236，由于A、B、C三点构成三角形，A不能落在x轴上，即y0.解法二：定义法如图所示，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AECD交x轴于E.|CD|3，|AE|6，则E(10,0)顶点A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x10)2y236，又A、B、C三点构成三角形，A点纵坐标y0，故顶点A的轨迹方程为(x10)2y236(y0)答案：(x10)2y236(y0)11.如图，点F(a,0)(a>0)，点P在y轴上运动，M在x轴上运动，N为动点，且·0，0，

7、则点N的轨迹方程为_解析：由题意，知PMPF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：xa上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y24ax.答案：y24ax三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12已知长为1的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且，求点P的轨迹C的方程解：设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)，得x0(1)x，y0(1)y.

8、因为|AB|1，即xy(1)2，所以(1)x2(1)y2(1)2，化简得y21.点P的轨迹方程为y21.13在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(a>0，b>0)经过点A(，)，且点F(0，1)为其一个焦点(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线yb2上运动，直线PA1，PA2分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且FMN的周长为定值解：(1)根据题意可得可解得椭圆E的方程为1.(2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，2)，P(x0,4)为直线y4上一点(x00)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PA1方程

9、为yx2，直线PA2方程为yx2，点M(x1，y1)，A1(0,2)的坐标满足方程组可得点N(x2，y2)，A2(0，2)的坐标满足方程组可得.由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，当x01时，直线MN的方程为y1(x)，令x0，得y1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B.则直线BM的斜率kBM，直线BN的斜率kBN，kBMkBN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B(0,1)，又F(0，1)，B(0,1)是椭圆E的焦点，FMN周长为|FM|MB|BN|NF|4b8，为定值14已知向量a(x，y)，b(1,0)，且(ab)(ab)(

10、1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；(2)设曲线C与直线ykxm相交于不同的两点M、N，又点A(0，1)，当|AM|AN|时，求实数m的取值范围解：(1)由题意得ab(x，y)，ab(x，y)，(ab)(ab)(ab)·(ab)0，即(x)(x)y·y0.化简得y21，Q点的轨迹C的方程为y21.(2)由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，>0，即m2<3k21.()当k0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP，从而yPkxPm，kAP，又|AM|AN|，APMN.则，即2m3k21，将代入