同济六版高数第四章第4节课件

1、4.4 有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例一、有理函数的积分有理函数的形式当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理函数是假分式. 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数: mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxp11101110)()(, 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. .1111) 1(1122223xxxxxxxx1111) 1(1122223xxxxxxxx1111) 1(1122223xxxxxxxx. 有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为kkqxpxnxmaxa)

2、(;)(2)04,n(2qpk若干部分分式之和例如例1. 将下列真分式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx解解: (1) 用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx(2) 用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xa3xb原式)2(xa2x233xxx5原式)3(xb3x323xxx6故25x原式36x四种典型部分分式的积分: caxaln) 1( ncaxnan1)(1xaxad. 1xaxand)(. 2xqxpxnxmd. 32xqxpxnxmnd)

3、(. 42) 1,04(2nqp变分子为 )2(2pxm2pmn 再分项积分 提示：dxxdxx25366ln|x3|5ln|x2|c. 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 解 例1 1 求dxxxx6532. 解 dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536(dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536(dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536( 分母可因式分解的真分式的不定积分 dxxdxx25366ln|x3|5ln|x2|c. ab1, 2a3b3, ) 3)(2()32()(

4、23) 3)(2(3xxbaxbaxbxaxxxa6, b5. ) 3)(2()32()(23) 3)(2(3xxbaxbaxbxaxxx) 3)(2()32()(23) 3)(2(3xxbaxbaxbxaxxx, 提示： 解 例2 例 3 求dxxx2) 1(1. 解 dxxxxdxxx) 1(1111) 1(122dxxxxdxxx) 1(1111) 1(122 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 分母可因式分解的真分式的不定积分 222) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1xxxxxxxxx22) 1(1111) 1(1) 1(1xx

5、xxxxxxdxxdxxdxx2) 1(1111cxxx11| 1|ln|lndxxdxxdxx2) 1(1111cxxx11| 1|ln|ln. 222) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1xxxxxxxxx222) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1xxxxxxxxx22) 1(1111) 1(1) 1(1xxxxxxxx. 提示： 解 例3 例 2 求dxxxx3222. 解 dxxxx3222dxxxxxx)3213322221(22 dxxxdxxxx321332222122 2222)2() 1() 1(332) 32(21xxdxxxxd cxxx21arctan23) 32

6、ln(212. dxxxx3222dxxxxxx)3213322221(22 分母是二次质因式的真分式的不定积分 321332221323) 22(213222222xxxxxxxxxxx321332221323) 22(213222222xxxxxxxxxxx321332221323) 22(213222222xxxxxxxxxxx. xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例4. 求求.d4555222423xxxxxxixxxxxid4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xcxarctan解解:说明说明: 将有

7、理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 例5. 求求解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxcxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁按常规方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比较系数定 a , b , c , d . 得) 12)(12(

8、1224xxxxx第二步 化为部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxdxcxxbxa比较系数定 a , b , c , d .第三步 分项积分 .此解法较繁 !二、可化为有理函数的积分举例 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数. 用于三角函数有理式积分的变量代换 三角函数有理式的积分 设2tanxu, 则有 222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx222122tan12tan22sec2tan

9、22cos2sin2sinuuxxxxxxx222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx, 222222112sec2tan12sin2coscosuuxxxxx222222112sec2tan12sin2coscosuuxxxxx222222112sec2tan12sin2coscosuuxxxxx. 提示： 解 令2tanxu, 则212sinuux, 2211cosuux. 例4 例 4 求dxxxx)cos1 (sinsin1. 解 令2tanxu, 则 uxarctan2, duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)12

10、1 ()cos1 (sinsin1cuuuduuu|)|ln22(21)12(212 duudx212. duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1 cuuuduuu|)|ln22(21)12(212 解 令2tanxu, 则212sinuux, 2211cosuux. 例4 例 4 求dxxxx)cos1 (sinsin1. 解 令2tanxu, 则 duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1cuuuduuu|)|ln22(21)12(212duuuuuuuudxxxx222221

11、2)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1 cuuuduuu|)|ln22(21)12(212 cxxx|2tan|ln212tan2tan412. 说明： 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分. 因为这种代换不一定是最简捷的代换. 请看如下积分: 令2tanxu, 则212sinuux, 2211cosuux. cxxdxdxxx)sin1ln()sin1 (sin11sin1coscxxdxdxxx)sin1ln()sin1 (sin11sin1coscxxdxdxxx)sin1ln()sin1 (sin11sin1cos. 无理函数的积分一般采

12、用第二类换元法把根号消去. 解 简单无理函数的积分 例5 例 5 求dxxx 1. 解 设ux1, 即duuuuduuudxxx12211222cuuduu)arctan( 2)111 (22cxx)1arctan1( 2. , 即12ux, 则 duuuuduuudxxx12211222duuuuduuudxxx12211222 cuuduu)arctan( 2)111 (22 duuuduuuxdx111331121223 解 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 简单无理函数的积分 例6 例 6 求321xdx. cuuuduuu|)1 |ln2( 3)111(32cxxx|2

13、1 |ln23) 2(233332. cuuuduuu|)1 |ln2( 3)111(32 ux32设 , 即xu32, 则 duuuduuuxdx111331121223duuuduuuxdx111331121223 解 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 简单无理函数的积分 例7 例 7 求xxdx)1 (3. 设xt6, 于是dx6t5dt, 从而 dtttdttttxxdx22325316)1 (6)1 (cttdtt)arctan( 6)111 (62cxx)arctan( 666. dtttdttttxxdx22325316)1 (6)1 (dtttdttttxxdx2

14、2325316)1 (6)1 ( cttdtt)arctan( 6)111 (62 解 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 简单无理函数的积分 例8 例 8 求dxxxx11. 解 设txx1, 即, 即112tx, 于是 112tx, 于是 dtttdtttttdxxxx12) 1(2) 1(1122222ctttdtt|11|ln2)111 (22cxxxxxx11ln12. dtttdtttttdxxxx12) 1(2) 1(1122222dtttdtttttdxxxx12) 1(2) 1(1122222 ctttdtt|11|ln2)111 (22 内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法