二重积分的概念与性质

1、1/24第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质一、问题的提出一、问题的提出二、二重积分的概念二、二重积分的概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质四、小结四、小结 思考题思考题2/24复习和总结复习和总结（1）定积分是用来解决哪一类问题？定积分是用来解决哪一类问题？（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？解决这一类问题采用了什么思想方法？ baxxfd定积分定积分答：答：求求非均匀分布非均匀分布在在区间上区间上的量的的量的求和问题求和问题 被积函数是被积函数是一元函数一元函数，积分范围是，积分范围是直线上的区间直线上的区间答：答： “分割分割, ,取近似取近似, ,求和求和,

2、, 取极限取极限” ” kknkdbaxfxxf 10limd（3）如何计算定积分？如何计算定积分？3/24现要求解现要求解非均匀非均匀分布在分布在平面平面、空间立体上空间立体上的量的的量的求和问题求和问题推广推广所计算的量与所计算的量与多元函数多元函数及及平面平面或或空间区域空间区域有关有关被积函数被积函数积分范围积分范围二元函数二元函数平面区域平面区域二重积分二重积分三元函数三元函数空间区域空间区域三重积分三重积分一段曲线一段曲线曲线积分曲线积分一片曲面一片曲面曲面积分曲面积分问题问题: :积分类型积分类型4/24柱体体积柱体体积= =底面积底面积高高【特点【特点】平顶平顶. .柱体体积柱

3、体体积= =？【特点【特点】曲顶曲顶. .),(yxfz d1曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出引例引例d),(yxfz 5/24类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想: :给定曲顶柱体给定曲顶柱体: :0),( yxfz底底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域d顶顶: : 连续曲面连续曲面侧面侧面：以以d的边界为准线的边界为准线 , , 母线平行于母线平行于z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积. .“分割分割, 取近似取近似, 求和求和, 取极限取极限”d),(yxfz 解法解法6/24步骤如下步骤如下取近似、取近似、 求和：求和：用若用若干个小平顶柱体体积之和

4、近干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，似表示曲顶柱体的体积，xzyod),(yxfz i),(ii分割：分割：先分割曲顶柱体先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，的底，并取典型小区域，.),(lim10iiniifv 得曲顶柱体的体积得曲顶柱体的体积取极限：取极限：),(yxfz ),(iif i ),(ii 7/242求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii分割：分割：将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，近似：近似：取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 求和：求和：所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(

5、lim10iiniim xyo分分析析 =常数常数时，质量时，质量= ，其中其中 为面积为面积. . 取极限：取极限：得得薄片总质量薄片总质量若若 为为非常数非常数，仍可用，仍可用“分割分割, 取近似取近似, 求和求和, 取极限取极限”解决解决.8/24两个问题的两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“分割分割, 取近似取近似, 求和求和, 取极限取极限” niiiifv10),(lim niiiim10),(lim 曲顶柱体体积曲顶柱体体积: : 平面薄片的质量平面薄片的质量: : 9/24二、二重积分的定义及可积性二、二

6、重积分的定义及可积性1.1.定义定义 ),(yxf设设将区域将区域 d 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域),2,1(nii 任取任取一点一点,),(iii 若存在一个常数若存在一个常数 i , 使使 niiiifi10),(lim 可积可积 , ),(yxf则称则称dyxfd),(),(yxfi为为称称在在d上的上的二重积分二重积分.称为积分变量称为积分变量yx,积分和积分和dyxfd),(积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在是定义在有界有界闭区域闭区域 d上的上的有界有界函数函数 , 10/24. ),( 的的从从而而二二重重积积分分都都是是

7、存存在在上上连连续续在在所所论论有有界界闭闭域域以以后后总总假假定定dyxf2. .【对二重积分定义的说明【对二重积分定义的说明】(3) f (x,y)在在d上上有界有界是二重积分是二重积分存在的存在的必要条件必要条件. .0 i 代替代替0 ？不能不能连续连续是二重积分存在的是二重积分存在的充分条件充分条件用用(1)积分存在时，其值与区域的分法和点积分存在时，其值与区域的分法和点 的取法无关的取法无关),(ii (证明略证明略)11/243.【二重积分的几何意义【二重积分的几何意义】4.【物理意义【物理意义】表表曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积. .1)若若),(yxf , 0 表表曲顶柱体体积

8、的负值曲顶柱体体积的负值. .2)若若),(yxf , 0 3)若若 , 1),( yxf dyxf d),( dyxf d),( d d1表表区域区域d的面积的面积. .； kkd d)1( 222222)2(ayxyxa d；332a 0,0, 1)1()3(yxyxyx d.61xyz111yxz 1dxyz2ayx 22aa体体积积的的代代数数和和 d),(在物理上表示在物理上表示 dyx 的的平平面面薄薄片片的的质质量量占占有有平平面面区区域域面面密密度度为为dyxf ),(12/24 注注 1. 重积分与定积分的重积分与定积分的区别区别： 重积分中重积分中d 0 0, ,定积分中定

9、积分中dx 可正可负可正可负. .2. 根据分割的任意性根据分割的任意性，当二重积分存在时当二重积分存在时，在直角坐标系，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域下用平行于坐标轴的直线网来划分区域d dd),(d),(ddyxyxfyxfyxddd故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则直角坐标系下面积元素为则直角坐标系下面积元素为 , 常数常数x常数常数y即即dyxfvd),(引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积: dyxm d),(引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:dyxyxfdd),( dyxyxdd),( 13/24性质性质1.d),(d),(ddyxfkyxkf性质

10、性质2dyxgyxfd),(),(.d),(d),(ddyxgyxf（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质逐项积分逐项积分dyxfkd),(dyxgmd),(dyxmgyxkfd),(),(线性线性性质可以推广至有限个函数的情形。性质可以推广至有限个函数的情形。线性性质线性性质14/24性质性质3对对区域区域具有具有可加性可加性.d),(d),(d),(21dddyxfyxfyxf性质性质4 若若 为为d的面积的面积，.dd1dd性质性质5若在若在d上上),(),(yxgyxf.d),(d),(ddyxgyxf特殊地特殊地.d),(

11、d),(ddyxfyxf则有则有比较性质比较性质),(2121无公共内点无公共内点ddddd15/24性质性质6性质性质7二重积分中值定理二重积分中值定理dmyxfmd),(),(d),(fyxfd二重积分估值不等式二重积分估值不等式曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积几何意义几何意义16/24证明证明以下仅证性质以下仅证性质7（中值定理）（中值定理） ),( 上的连续函数上的连续函数是有界闭域是有界闭域 dyxf mm、必有最大、最小值必有最大、最小值由由估值估值性质得性质得dmyxfmd),( 0由于由于dmyxfmd),(1据有界闭域上的连续函数的介值

12、定理据有界闭域上的连续函数的介值定理 使得使得上至少存在一点上至少存在一点在在),(d),(d),(1fyxfd变形后变形后 【得证【得证】17/24比较下列积分的大小比较下列积分的大小: : d)(,d)(32ddyxyx其中其中2) 1()2( :22yxd积分域积分域d 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx 2) 1()2(22yx它与它与x 轴交于点轴交于点(1,0) , ,.1相切相切与直线与直线 yx而区域而区域d位位, 1 yx从而从而ddyxyxd)(d)(32于直线的上方于直线的上方, , 故在故在 d 上上 1y2xo1d作业题、课后习题作业题、课后习题见

13、作业答案解法或有关习题解答见作业答案解法或有关习题解答例例1解解解解18/24,eee12220ayx,ede222)(adyxde)(22dyxab.e 2aab ab例例2解解19/24解解oxy121d2 yx1 yx课后习题课后习题例例320/24机动机动被积函数被积函数相同相同, 且非负且非负, dd1122；yxyxiyx dd12；yxyxiyx1111dd 3yxyxxyi321,iii由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知312iii11xyo1. 比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:练练习习解解提示提示 被积函数相同，则比较区域被积函数相同，则比较区域d

14、的大小的大小.21/242. 设设d 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域 , 且且 0 y 1, 则则,d31dxyi,d322dxyidxyid3213的大小顺序为的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321iiidiiiciiibiiia因因 0 y 1, 故故;212yyyd故在故在d上有上有, 03x又因又因323321xyxyxyyox1d提示提示区域区域d相同，则比较被积函数的大小相同，则比较被积函数的大小22/24d 位于位于x 轴上方的部分为轴上方的部分为d1 1 , ,在在d上上),(),()1(yxfyxf ),(),()2(yxfyx

15、f dyxfi d),( dyxfi d),( 1),(2dyxf d1. 设函数设函数),(yxf在闭区域在闭区域d上连续上连续, , d关于关于x 轴对称轴对称, ,则则则则xyo1dd 补充补充 在分析问题和计算二重积分时常用的在分析问题和计算二重积分时常用的对称奇偶性对称奇偶性当区域关于当区域关于y轴对称轴对称, , 函数关于变量函数关于变量x有奇偶性时有类似结果有奇偶性时有类似结果. .0 2. 若若d关于原点对称关于原点对称,(1) 0),(),( iyxfyxf(2) 212),(),(ddiyxfyxf2 d2为为y轴右方的部分轴右方的部分23/24例如例如在第一象限部分在第一

16、象限部分, 则有则有1:221 yxdd 为为 dyxyxdd)( )1(22 dyxyxdd)( )2(；上上 dyxyxdd)(222xoy 1d ddyxyyxxdddd 0 利用对称性简化运算时要特别考虑两方面利用对称性简化运算时要特别考虑两方面被积函数的被积函数的奇偶性奇偶性积分区域的积分区域的对称性对称性说明说明； 1)(422dyxyxdd24/24二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质（二重积分的性质（7条条）二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）（积分和式的极限）四、小结四、小结二重积分的物理意义二重积分的物理意义（平面

17、薄片的质量）（平面薄片的质量）二重积分的比较大小二重积分的比较大小1.若区域若区域d相同，则比较被积函数的大小；相同，则比较被积函数的大小；2.若被积函数相同，则比较区域若被积函数相同，则比较区域d的大小的大小.25/2426/24一一 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分二二 小结小结 思考题思考题10.2 二重积分的计算法（一）二重积分的计算法（一）27/24复习与回顾复习与回顾(2)回顾一元函数定积分的应用回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积元素xxavd)(d体积为体积为 baxxavd)(在点在点x处

18、的平行截面的面积为处的平行截面的面积为: : )(xa(1)二重积分二重积分 ),(limd),(10niiiidfyxfxoabxdxx )(xa28/24, bxa).()(21xyx其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续. .)(1x)(2x,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分(1)x型域型域)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy x型区域的特点型区域的特点 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的直线与区轴的直线与区域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交点.1. 预备知识预备知识29/24,dyc).()(21yxy(

19、2)y型域型域)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx dy型区域的特点型区域的特点穿过区域且平行于穿过区域且平行于x 轴的直线与区轴的直线与区域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交点. .30/24(3) 既非既非x型域也非型域也非y型域型域 3d2d1d在分割后的三个区域上分别都在分割后的三个区域上分别都是是x型域型域( (或或y型域型域) )则必须分割则必须分割. .321 dddd由二重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得31/24(1) 若积分区域为若积分区域为x型域：型域：, bxa).()(21xyx0),(yxf且设且设积积为曲顶的曲顶柱体

20、的体为曲顶的曲顶柱体的体为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以则则),( d),( yxfzdyxfd2. .【二重积分公式推导【二重积分公式推导】根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义以及计算以及计算“平行截面面积平行截面面积为已知的立体的体积为已知的立体的体积”的方法来求的方法来求. .,0bax 0 xx 作平面作平面方法方法32/24)(01x )(02x )()(000201d),()(xxyyxfxabaxxavd)( 即得即得公式公式1 的二次积分的二次积分后对后对上式称为先对上式称为先对xyyxzab0 xo)(1xy)(02x )(01x )(2xy)(0 xa

21、d),()( )()(21xxyyxfxa),( yxfzoyxz)(0 xa),(yxfz )(1xy)(2xyab0 x,0bax 0 xx 作平面作平面 baxxdxyyxfyxfd d),(d),()()(21.d),(dd),()()(21dbaxxyyxfxyxf33/24几点小结几点小结计算方法计算方法实现了二重积分的一种实现了二重积分的一种通过体积作为过渡通过体积作为过渡, .)( 来求解来求解单积分单积分通过计算两次定积分通过计算两次定积分 定限：定限：二重积分的计算关键是二重积分的计算关键是).()(, :21xyxbxadx baxxdxyyxfyxyxfd d),(dd

22、),()()(21定限口诀定限口诀后积先定限后积先定限( (投影投影) )限内划条线限内划条线( (穿线穿线) ) 先交下限写先交下限写后交上限见后交上限见aboxydx)(1xy)(2xyabxd)(1x)(2xyddyxfd),(),(yxf(后积变量上下限必为常数后积变量上下限必为常数)该线平行于坐该线平行于坐标轴且同向标轴且同向投影穿线法投影穿线法34/24 , dycxyod yx1 yx2 cd:y)2(型型域域若若积积分分域域为为ydyxyxfdd),( . 的二次积分的二次积分后对后对即化二重积分为先对即化二重积分为先对yx3.【二重积分的计算步骤可归结为二重积分的计算步骤可归

23、结为】画出积分域的图形，标出边界线方程画出积分域的图形，标出边界线方程根据积分域特征，确定积分次序；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。)()(21d),(yyxyxfdcyd公式公式2).()(21yxy35/24(1) 使用公式使用公式1必须是必须是x型域，型域， 公式公式2必须是必须是y型域型域. .(2) 若积分区域既是若积分区域既是x型区域又是型区域又是y 型区域型区域 , 为计算方便为计算方便, ,可可选择积分次序选择积分次序, , 必要时还可必要时还可交换积分次序交换积分次序. . ( (见后续补充例题

24、见后续补充例题) )(3) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干x- -型域（或型域（或y- -型域）型域） 321ddddoxy1d2d3d说明说明36/244. 【例题部分例题部分】例例1.2, 1,d所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算xyxydxyd解解看作看作x型域型域xyxdx121:2112121d2dddxyxyxyxxyxxd811d)22(213xxx12oxy y = xy =1dx12oxyx = yx=2dy12解解看作看作y型域型域221:xyydy2122221d2dddyxyxxyyxyyyd811d)22(213yyy37/2

25、4例例2. 1, 1,: ,d122所围闭区域所围闭区域和和由由计算计算yxxydyxyd解解d 既是既是x型域又是型域又是y型域型域111:yxxdx法法1122111xyyxyxdd上式上式1 11 11 1x xo oy=xy=xd dx xy y12122111dxyxx)()1 (22yx d212138/24法法2yxydy111: yxyxyy12211d1d原式原式注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用的积分较繁，故应用法法1 1较方便较方便111yoy=xd1xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！ yxyxyy12211d1d39/24例例3. 2,

26、d2所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算xyxydxyd解解d既是既是x型域型域又是又是y型域型域先求交点先求交点(4,2) 1)(1, 2 2或或由由xyxy40/24法法1 221:2yxyydy法法22212yydxxyyxyddd855视为视为x型域型域xyxxd10:1xyxxd241:221 ddd则必须分割则必须分割21ddddxyxxxxyxyxyxyx24110dddd 计算较繁计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！2212yyxxyydd41/24小结小结以上三例说明，在化二重积分为二次以上三例说明，在化二重

27、积分为二次积分时，为简便见需积分时，为简便见需恰当选择积分次恰当选择积分次序序；既要考虑积分区域；既要考虑积分区域 d 的形状，又的形状，又要考虑被积函数的特性要考虑被积函数的特性( (易积易积) )42/245.【简单应用【简单应用】例例4求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的的直交圆柱面所围成的立体的体积体积v.解解xyzrro 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222ryx利用对称性利用对称性, , 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分, ,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为dyxxrvdd822220dxryxxrrd)(802233

28、16r222rzx22xrz2200:),(xryrxdyxxxxrrd8022222ryx222rzxd43/24例例5 2, 2的面积的面积所围区域所围区域应用二重积分求由曲线应用二重积分求由曲线dxyxy解解据二重积分的性质据二重积分的性质4（几何意义）（几何意义）dyxdd交点交点 22xyxy)4 , 2( ) 1 , 1(，221:2xyxxdx212221d)2(dd 2xxxyxxx29与定积分元素法相同与定积分元素法相同44/246.【补充】【补充】 改变二次积分的积分次序例题改变二次积分的积分次序例题补例补例1解解 110:yxxdx yxydy010: yyxxy0210

29、ded2yyyd3e1032 2102d6e2yyy ).e21(61 1102ded2xyyxx45/24随堂练随堂练习习1. .计算计算dyxyyddsin其其中中 d 是由直线是由直线 y = x 及抛物线及抛物线 y2 = x 所围成所围成. .oxy1xy xy 1解解)(积分次序计算积分次序计算后后按先按先xyxxyyyxidsind10积不出的积分，无法计算。积不出的积分，无法计算。),(积分次序计算积分次序计算后后按先按先改变积分次序改变积分次序yxyyxyyyi2dsind10102d)(sinyyyyy1010dsindsinyyyyy. 1sin1) 1sin1(cos1

30、cos1课本课本p154 第第5题题第第6题题练习练习46/24. 10, 10:,d|2yxdxyid为为其中其中计算积分计算积分解解当被积函数中有绝对值时，要考虑当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。积分域中不同范围脱去绝对值符号。:212dddxy和和分分为为两两部部分分将将oxy112xy 1d2d i1d)(2dxy2d)(2dyx101154分析分析补例补例2作业作业:1 x 147/24计算计算,dd)1ln(2dyxyyxi其中其中d 由由,42xy1,3xxy所围成所围成.oyx124xyxy32d1d1x令令)1ln(),(2yyxyxf21ddd(

31、如图所示如图所示)显然显然,1上上在在d),(),(yxfyxf,2上上在在d),(),(yxfyxf1dd)1ln(2dyxyyxi02dd)1ln(2dyxyyx4利用对称性与奇偶性利用对称性与奇偶性补例补例3分析分析解解.,: ,d)(d)(d)()(:2121dycbxadxxfxxfyfxfdcbad证明证明课本课本p154 第第3 题题与积分变量无关与积分变量无关补例补例4与积分变量无关与积分变量无关与积分变量无关与积分变量无关48/24分部积分法分部积分法( (略略). ). ( (05/06学年第一学期考试题学年第一学期考试题a卷卷) )化为二次积分化为二次积分, ,交换积分次

32、序交换积分次序 101d)de(2xyxy101ded2xyyx101ded2xyyx 110 :yxxdx 010 :yxydy原式原式=原式原式100ded2yyxy100dde2yyxy10de2yyy102e21y) 1e (211o11xyxy d补例补例5解解解解49/24二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结二、小结.d),(dd),()()(21dbaxxyyxfxyxf.d),(dd),()()(21ddcyyxyxfyyxfy型型x型型课本课本p153 习题习题10-2练练习习50/24

33、51/24一一 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分二二 小结小结 思考题思考题10.2 二重积分的计算法（一）二重积分的计算法（一）52/24复习与回顾复习与回顾(2)回顾一元函数定积分的应用回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积元素xxavd)(d体积为体积为 baxxavd)(在点在点x处的平行截面的面积为处的平行截面的面积为: : )(xa(1)二重积分二重积分 ),(limd),(10niiiidfyxfxoabxdxx )(xa53/24, bxa).()(21xyx其中函数其中函数 、 在区间在区间

34、 上连续上连续. .)(1x)(2x,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分(1)x型域型域)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy x型区域的特点型区域的特点 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的直线与区轴的直线与区域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交点.1. 预备知识预备知识54/24,dyc).()(21yxy(2)y型域型域)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx dy型区域的特点型区域的特点穿过区域且平行于穿过区域且平行于x 轴的直线与区轴的直线与区域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交点. .55/2

35、4(3) 既非既非x型域也非型域也非y型域型域 3d2d1d在分割后的三个区域上分别都在分割后的三个区域上分别都是是x型域型域( (或或y型域型域) )则必须分割则必须分割. .321 dddd由二重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得56/24(1) 若积分区域为若积分区域为x型域：型域：, bxa).()(21xyx0),(yxf且设且设积积为曲顶的曲顶柱体的体为曲顶的曲顶柱体的体为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以则则),( d),( yxfzdyxfd2. .【二重积分公式推导【二重积分公式推导】根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义以及计算以及计算“平行截

36、面面积平行截面面积为已知的立体的体积为已知的立体的体积”的方法来求的方法来求. .,0bax 0 xx 作平面作平面方法方法57/24)(01x )(02x )()(000201d),()(xxyyxfxabaxxavd)( 即得即得公式公式1 的二次积分的二次积分后对后对上式称为先对上式称为先对xyyxzab0 xo)(1xy)(02x )(01x )(2xy)(0 xa d),()( )()(21xxyyxfxa),( yxfzoyxz)(0 xa),(yxfz )(1xy)(2xyab0 x,0bax 0 xx 作平面作平面 baxxdxyyxfyxfd d),(d),()()(21.d

37、),(dd),()()(21dbaxxyyxfxyxf58/24几点小结几点小结计算方法计算方法实现了二重积分的一种实现了二重积分的一种通过体积作为过渡通过体积作为过渡, .)( 来求解来求解单积分单积分通过计算两次定积分通过计算两次定积分 定限：定限：二重积分的计算关键是二重积分的计算关键是).()(, :21xyxbxadx baxxdxyyxfyxyxfd d),(dd),()()(21定限口诀定限口诀后积先定限后积先定限( (投影投影) )限内划条线限内划条线( (穿线穿线) ) 先交下限写先交下限写后交上限见后交上限见aboxydx)(1xy)(2xyabxd)(1x)(2xyddy

38、xfd),(),(yxf(后积变量上下限必为常数后积变量上下限必为常数)该线平行于坐该线平行于坐标轴且同向标轴且同向投影穿线法投影穿线法59/24 , dycxyod yx1 yx2 cd:y)2(型型域域若若积积分分域域为为ydyxyxfdd),( . 的二次积分的二次积分后对后对即化二重积分为先对即化二重积分为先对yx3.【二重积分的计算步骤可归结为二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程画出积分域的图形，标出边界线方程根据积分域特征，确定积分次序；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。)()(

39、21d),(yyxyxfdcyd公式公式2).()(21yxy60/24(1) 使用公式使用公式1必须是必须是x型域，型域， 公式公式2必须是必须是y型域型域. .(2) 若积分区域既是若积分区域既是x型区域又是型区域又是y 型区域型区域 , 为计算方便为计算方便, ,可可选择积分次序选择积分次序, , 必要时还可必要时还可交换积分次序交换积分次序. . ( (见后续补充例题见后续补充例题) )(3) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干x- -型域（或型域（或y- -型域）型域） 321ddddoxy1d2d3d说明说明61/244. 【例题部分例题部分】例例1.2,

40、1,d所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算xyxydxyd解解看作看作x型域型域xyxdx121:2112121d2dddxyxyxyxxyxxd811d)22(213xxx12oxy y = xy =1dx12oxyx = yx=2dy12解解看作看作y型域型域221:xyydy2122221d2dddyxyxxyyxyyyd811d)22(213yyy62/24例例2. 1, 1,: ,d122所围闭区域所围闭区域和和由由计算计算yxxydyxyd解解d 既是既是x型域又是型域又是y型域型域111:yxxdx法法1122111xyyxyxdd上式上式1 11 11 1x xo

41、oy=xy=xd dx xy y12122111dxyxx)()1 (22yx d212163/24法法2yxydy111: yxyxyy12211d1d原式原式注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用的积分较繁，故应用法法1 1较方便较方便111yoy=xd1xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！ yxyxyy12211d1d64/24例例3. 2,d2所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算xyxydxyd解解d既是既是x型域型域又是又是y型域型域先求交点先求交点(4,2) 1)(1, 2 2或或由由xyxy65/24法法1 221:2yxyydy法法222

42、12yydxxyyxyddd855视为视为x型域型域xyxxd10:1xyxxd241:221 ddd则必须分割则必须分割21ddddxyxxxxyxyxyxyx24110dddd 计算较繁计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！2212yyxxyydd66/24小结小结以上三例说明，在化二重积分为二次以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需积分时，为简便见需恰当选择积分次恰当选择积分次序序；既要考虑积分区域；既要考虑积分区域 d 的形状，又的形状，又要考虑被积函数的特性要考虑被积函数的特性( (易积易积) )67/245.【简单应用【简单应用】例例4求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的的直交圆柱面所围成的立体的体积体积v.解解xyzrro 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222ryx利用对称性利用对称性, , 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分, ,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为dyxxrvdd822220dxryxxrrd)(80223316r222rzx22xrz2200:),(xryrxdyxxxxrrd8022222ryx222rzxd68/24例例5 2, 2的