第1讲　填空题中的“瓶颈题”

1、第1讲填空题中的“瓶颈题”【突破填空题】第1讲填空题中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第7580页)江苏高考对填空题知识点的考查相对稳定，共有14道，分值70分，填空题的得分多少，决定了整个试卷的成败.我们应该坚持由易到难的做题顺序，要确保填空题前10题正确.要突破填空题中的“瓶颈题”就必须在填空题后4题中有所收获.解填空题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一个步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.数学填空题，解题的基本方法一般有：直接法；数形结合；特殊化(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置

2、法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法)；整体代换；类比、归纳；图表等等.求解填空题的基本策略是要在“准”、 “巧”、 “快” 上下功夫. 要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究解题策略，合理利用“数形结合”和“特殊化”等基本方法是关键.【解法概述】举题说法解法概述直接法直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果的方法叫作直接法，它是解决客观题的基本方法.熟悉有关定义、定理、性质、公式是运用直接法的基础.例1(1) 已知集合A=x|lnx>0，B=x|2x4，则AB=.(2) 已知向量a=(1，2)，b=(0，1)，设m=a

3、+tb，n=2a-b，若mn，则实数t的值为.【分析】(1) 解不等式再求交集；(2) 运用向量垂直的条件计算.【答案】(1) (1，2(2) -【解析】(1) 由题可得A=x|x>1，B=x|x2，则AB=x|1<x2.(2) 由已知得m=a+tb=(1，2+t)，n=2a-b=(2，3)，故由mn可知1×2+(2+t)×3=0，所以t=-.数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.例1已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)=2 014x+log2 014x，则方程f(x)=

4、0的实根的个数为.【答案】3(例1)【解析】由题意可得，f(x)的零点个数即函数y=2 014x和y=-log2 014x的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系下分别作出y=2 014x，y=-log2 014x的图象如图所示，在(0，+)上，两个图象只有一个交点，即方程f(x)=0只有一个实根.再根据奇函数的性质可得f(0)=0，以及根据奇函数的图象的对称性可得，当x<0时，两个图象也有一个交点，即方程f(x)=0只有一个实根.综上，在R上，函数f(x)零点的个数为3.【点评】f(x)零点个数即函数y=2 014x和函数y=-log2 014x的图象的交点个数，数形结合可得在(0，+)

5、上，两个图象只有一个交点.再根据奇函数的性质可得当x<0时，两个图象也有一个交点，且f(0)=0，综合可得结论.练习已知函数f(x)=设a>b0，若f(a)=f(b)，则b·f(a)的取值范围是.【答案】(练习)【解析】作出f(x)的图象如图所示，当x=1时，f(1)=2-=.当y=时，由x+1=得x=，所以b<1，而f(a)<2，所以×b·f(a)<1×2，即b·f(a)<2，所以b·f(a)的取值范围是.特例法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用

6、特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替，即可以得到正确结果.特殊值法在解决填空题时有着独特的优势.例1在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=6cos C，则+=.【答案】4(例1)【解析】方法一：(特殊值法)根据题意可知，a，b是等价关系，我们将题目中的a，b互换条件不变.因此，我们选用特殊图形，构造锐角三角形ABC为等腰三角形，此时cos C=.不妨设a=b=3(如图)，作ADBC垂足为D，所以CD=1，AD=2，所以tan C=2，tan A=tan B=，所以+=4.方法二：因为+=6cos C6abcos

7、C=a2+b2，所以6ab·=a2+b2a2+b2=，所以+=·=·=·=·=4.练习如图，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为.(练习)【答案】S3<S2<S1(练习)【解析】要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可.故可以将三条棱长分别取为OA=6，OB=4，OC=2，如图，则可计算S1=，S2=，S3=，故S3

8、<S2<S1.等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.例1不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是.【分析】直线y=kx+1恒过定点(0，1)，转化为点(0，1)恒在圆的内部或边界上即可满足题意.【答案】-1，3【解析】由于直线y=kx+1恒过定点(0，1)，所以原题等价于点(0，1)恒在圆内或圆上，所以点(0，1)到圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0的圆心(a，0)的距离小于或等于半径，即，解得-1a3，即a的取值范围是-1，3.练习如图，在棱长为2

9、的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是EF上的动点，记A1B1G，C1D1G的面积分别为S1，S2，则S1+S2的最小值为.(练习)【答案】2【解析】设EG=x，则FG=2-x，0x2，则S1+S2=×2×+×2×=+，在平面直角坐标系中，它表示x轴上的点P(x，0)到M(0，2)与N(2，2)两点的距离之和，而点M关于x轴的对称点为M'(0，-2)，则S1+S2M'N=2.整体代入法将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能或作整体处理后，达到准确而又简捷地解决问题的目

10、的方法叫作整体代入法.例1已知三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6，4，3，那么该三棱锥的体积等于.【分析】由题意联想到长方体，把三棱锥放置于长方体内，整体代入，解决问题.【答案】4(例1)【解析】由题意可联想到长方体模型，如图，设三条棱长分别为x，y，z，则xy=6，xz=4，yz=3，有xy=12，xz=8，yz=6，即(xyz)2=12×8×6=4×3×4×2×6=242，于是xyz=24，故所求体积V=xyz=4.练习设函数f(x)=的最大值和最小值分别为M，m，则M+m=.【答案】2【解析】f(x)=1+，则f

11、(x)-1=为奇函数，所以f(x)-1max+f(x)-1min=0M-1+m-1=0M+m=2.分析法根据题设条件的特征，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行观察、分析，从而得出正确的结论.例1如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形满足条件时，有A1CB1D1(填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情形).(例1)【分析】由所给的四棱柱为直棱柱知A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，只需B1D1A1C1即可.【答案】B1D1A1C1【解析】因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，故A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，从而要使A1

12、CB1D1，只需B1D1与A1C1垂直即可，故底面四边形A1B1C1D1只需满足条件B1D1A1C1即可.【专题突破】分类解密专题突破 简易逻辑问题例1对于ABC，有如下四个结论：若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；若sinB=cosA，则ABC是直角三角形；若sin2A+sin2B>sin2C，则ABC是锐角三角形；若=，则ABC是等边三角形.其中正确的结论个数是.【答案】 1【解析】不对，可能2A+2B=；不对，如B=120°，A=30°；不对，仅能说明C为锐角；对，由正弦定理可得sin=sin=sin，即A=B=C.【点评】本题主要使用了特殊值法.当

13、填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当的特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.例2在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b，bR与曲线x=相切的充要条件是.【答案】b=-【解析】易得=1，且b<0，即b=-.【点评】要理解必要不充分、充分不必要、充要条件的意义，准确判断命题之间的相互关系.如果pq，p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果pq且qp，p是q的充分不必要条件；

14、如果pq且qp，p是q的必要不充分条件，如果pq，p是q的充要条件.练习(2015·扬州中学)“M>N”是“log2M>log2N”成立的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分【解析】因为当M>N时，不确定两个数字的正负，不一定得到log2M>log2N，即前者不一定能推出后者；当log2M>log2N时，根据对数函数的单调性知有M>N，即后者可以推出前者，所以“M>N”是“log2M>log2N”成立的必要不充分条件. 立体几何中体积、面积的计算例1(2014·泰州期末)如图

15、，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点.若AA1=4，AB=2，则四棱锥B-ACC1D的体积为.(例1)【答案】2【解析】方法一：过点B作BEAC，垂足为E，因为平面ABC平面ACC1A1，且平面ABC平面ACC1A1=AC，所以BE平面ACC1A1.又因为梯形ACC1D的面积为×(2+4)×2=6，所以=×6×=2.方法二：=3，而=××2，所以四棱锥B-ACC1D的体积为2.【点评】求几何体体积的关键是找“高”，如果高是现存的，需要证明线面垂直，若题目中没有高，往往是根据面面垂直的性质定理作出高，求三棱锥的体积也可

16、以采用等体积来转化.例2如图(1)，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，AMC1的面积为.(例2(1)【分析】本题中点M在线段BB1上移动时，MA和MC1两者都在变化中，无法直接求出距离之和的最小值.在平面几何中三角形两边之和大于第三边，且当三点共线时，可以得到两边之和等于第三边，故利用该特征将该三棱柱的侧面展开转化为平面几何进行研究.【答案】(例2(2)【解析】将三棱柱侧面展开后知，AM+MC1最小可以等价为在矩形ACC1A1中求AM+MC1的最小值.如图(2)，当A，M，C1三点共线时，AM+MC1最

17、小.又AB=1，BC=2，所以AM=，MC1=2.又AC1=，所以cosAMC1=-，所以sinAMC1=.所以AMC1的面积为S=××2×=.【点评】立体几何中相邻两个面之间的两点间路径距离最短问题，都可以转化为平面几何中两点间距离最短，空间问题向平面问题转化，使得问题简化.练习1已知一圆柱的侧面展开图是长和宽分别为3和的矩形，则该圆柱的体积为.【答案】【解析】有两种情况：圆柱的底面周长为3时，底面半径为，圆柱体积V=r2h=；圆柱的底面周长为时，底面半径为，圆柱体积V=r2h=.练习2设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为.【答案】【解析】方法一：设正四棱

18、锥的底面边长为x，则体积V=x2=，记y=t2(2-t)，t>0，利用导数可求得当t=时，ymax=，此时Vmax=.方法二：设正四棱锥的侧棱与底面所成角为，则V=×2cos2×sin=(1-sin2)×sin，0<<，记y=(1-t2)t，0<t<1，利用导数可求得当t=时，ymax=，此时Vmax=. 三角形与三角函数问题例1(2015·大庆模拟)若满足条件AB=，C=的ABC有两个，则BC边的长的取值范围是.【答案】(，2)【解析】因为C=，AB=，设BC=a，则由正弦定理，得=，即=，解得sin A=，由题意得，当A

19、时，满足条件的ABC有两个，所以<<1，解得<a<2，则BC的取值范围是(，2).【点评】由已知条件中C的度数，AB及BC的值，根据正弦定理用a表示出sin A，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意ABC有两个A的范围，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sin A的范围，进而求出BC的取值范围.例2已知>0，函数f(x)=sin在上单调递减，则的取值范围是.【答案】【解析】函数f(x)=sin的图象可看作是由函数f(x)=sin x的图象先向左平移个单位长度得到f(x)=sin的图象，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到的，而函数

20、f(x)=sin，所以要使函数f(x)=sin在上是减函数，需满足.例3(2015·成都外国语)已知函数f(x)=asin 2x+cos的最大值为1，则a=.【答案】0或【解析】因为函数f(x)=asin 2x+cos=sin 2x+cos 2x 的最大值为1，所以+=1，解得a=0或.【点评】研究三角函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答，本意要注意应用asin x+bcos x的最值的结论进行作答.练习1若coscos(+)+sinsin(+)=-，是第二象限角，则tan2=.【答案】【解析】因为coscos(+)+sinsin(+)=cos(+-)=cos=-，且是第

21、二象限角，所以sin=，tan=-，所以tan2=.练习2在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则A=.【答案】30°【解析】由sinC=2sinB及正弦定理得c=2b，代入a2-b2=bc，得a2-b2=b·2b=6b2，即a2=7b2，又c2=12b2，由余弦定理cosA=，又A(0°，180°)，所以A=30°. 函数的零点问题例1已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0，1时，f(x)=x，若在区间-1，3内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是.【答案】

22、【解析】当x-1，0时，-x0，1，所以f(-x)=-x=f(x).又因为f(x)的周期为2，所以根据数形结合有所以0<k.例2设函数f(x)=则函数y=f(f(x)-1的零点个数为.【答案】2【解析】令f(x)=t，函数y=f(t)-1的零点为t1=0，t2=2.由f(x)=0，得x1=1；由f(x)=2，得x2=4，故有2个零点.练习1设函数f(x)=则函数F(x)=xf(x)-1的零点的个数为.【答案】6【解析】由题意知，F(x)=xf(x)-1的零点，即函数f(x)与y=的图象的交点.作出x(-，2)时函数f(x)的图象，且f(0)=f(2)=0，f(1)=1，f=f=.(练习1

23、)当x2，+)时，f(4)=f(2)=0，f(6)=f(4)=0，依次类推，易得f(4)=f(6)=f(8)=f(2n)=0.又f(3)=f(1)=，同理，f(5)=f(3)=，f(7)=f(5)=，作出x2，+)的函数f(x)的图象如图所示，显然零点共6个，其中左边1个，右边5个.练习2若函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1)，且当x-1，1时，f(x)=x2，则函数F(x)=f(x)-|log4x|的零点个数为.【答案】4(练习2)【解析】因为f(x+1)=f(x-1)，所以函数f(x)的周期为2，且x-1，1时，f(x)=x2，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)，y=|log4x

24、|(x>0)的图象如图所示，由图象可知，交点个数是4，即F(x)的零点个数为4. 函数的性质问题例1(2014·淮安、宿迁摸底)已知函数f(x)=loga(0<a<1)为奇函数，且当x(-1，a时，函数f(x)的值域是(-，1，则实数a+b的值为.【答案】 【解析】由>0解得-b<x<1(b>0).又奇函数定义域关于原点对称，故b=1，即f(x)=loga(0<a<1).又g(x)=-1+在x(-1，a上单调递减，且0<a<1，故f(x)在x(-1，a上单调递增.又因为函数f(x)的值域是(-，1，故g(a)=a，即a

25、2+a=1-a，解得a=-1，所以a+b=.【点评】本题易忽视奇函数的定义域对称的条件，而不能求出b的值，从而使得题目无法继续解下去.例2(2014·无锡期末)设函数f(x)=g(x)=asin x-a+2(a>0)，若存在x1，x20，1，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围为.【分析】先分别求出函数f(x)和g(x)的值域，再根据条件建立这两个函数值域之间的关系并求出实数a的取值范围.【答案】1，4【解析】对于函数f(x)，当x时，f(x)；当x时，f(x)，从而当x0，1，函数f(x)的值域为D1=0，1.对于函数g(x)，因为0x1，0x，0sinx，所以

26、2-aasin x-a+22-a，从而当x0，1时，函数g(x)的值域为D2=(a>0).因为存在x1，x20，1，使f(x1)=g(x2)，所以D1D2.若D1D2=，则2-a<0或2-a>1，解得0<a<1或a>4，所以当D1D2时，1a4，即所求实数a的取值范围是1，4.【点评】本题求函数f(x)和函数g(x)的值域并不困难，关键在于先求D1D2=时，实数a的取值范围，再用补集的思想求实数a的取值范围，从而得到本题的最终答案，这种正难则反的思想希望同学们掌握.练习1对a，bR，记maxa，b=则函数f(x)=max|x+1|，-x2+1的最小值为.(练

27、习1)【答案】0【解析】由题意知函数f(x)是两个函数y1=|x+1|，y2=-x2+1中的较大者，作出两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则f(x)的图象是图中的实线部分，由图象易知f(x)min=0.练习2已知函数f(x)=x3+2x，若对任意的t-3，3，f(tx-2)+f(x)<0恒成立，则x的取值范围是.【答案】【解析】易知函数f(x)=x3+2x是R上的奇函数且单调递增，f(tx-2)+f(x)<0可化为f(tx-2)<f(-x)，即tx-2<-x，问题变为g(t)=tx+x-2<0在区间-3，3上恒成立，故有解得-1<x<. 导

28、数的应用例1设函数f(x)=若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是.【答案】(-，2【解析】由题意知，当x>0时，f(x)的极小值为f(1)=2；当x0时，f(x)的最小值为f(0)=a，所以f(0)是f(x)的最小值，则a2.例2若不等式|ax3-lnx|1对任意的x(0，1恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】令x=1，可得|a|1，即a-1或a1.令g(x)=ax3-lnx，g'(x)=3ax2-=.当a-1时，对任意的x(0，1，g'(x)=<0，g(x)在(0，1上单调递减，g(x)min=g(1)=a-1，此时g(x)a，+)，|g(

29、x)|的最小值为0，不适合题意.当a1时，由g'(x)=0，解得x=，可知当x(0，1时，|g(x)|的最小值为g=+ln(3a)1，解得a.故所求实数a的取值范围是.【点评】导数的运算与其它知识的综合是常见考题，可以将导数的几何意义与数列、方程、不等式恒成立、基本不等式等知识综合，考查等价转化、函数与方程、分离参数等数学思想方法.练习1当x-2，1时，若不等式ax3-x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】-6，-2【解析】不等式ax3-x2+4x+30变形为ax3x2-4x-3.当x=0时，0-3，故实数a的取值范围为R；当x(0，1时，a，记f(x)=，f'

30、(x)=>0，故函数f(x)单调递增，则f(x)max=f(1)=-6，故a-6.当x-2，0)时，a，记 f(x)=，令f'(x)=0，得x=-1或x=9(舍去)，当x(-2，-1)时，f'(x)<0；当x(-1，0)时，f'(x)>0，故f(x)min=f(-1)=-2，则a-2，综上，实数a的取值范围为-6，-2.练习2设aR，若函数y=ex+ax，xR有大于零的极值点，则实数a的取值范围为.【答案】(-，-1)【解析】利用导数将问题转化为导函数在(0，+)有零点，再利用分离参数的方法求解.由条件可得y'=ex+a=0在(0，+)上有解，

31、所以a=-ex<-1.【点评】分离参数法，导数经常与函数有极值点、不等式恒成立等综合应用，函数有极值点等价转化为导函数等于0有解，而不等式恒成立又是通过分离参数转化为函数最值问题，体现了导数的工具作用. 不等式与线性规划例1(2014·福建卷)已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=1，设平面区域=若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为.(例1)【答案】37【解析】a2+b2即圆心(a，b)到原点O的距离的平方.作出不等式组表示的可行域如图所示，则当圆心为A(6，1)时，OA最长，此时(a2+b2)max=62+12=37.例2已知函数f(x)=若|f(x)|ax在x

32、-1，1上恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】-1，0【解析】当x-1，0时，|f(x)|=2-x2ax，所以a=-1；当x(0，1时，|f(x)|=|3x-2|ax恒成立，作出图象即可得a0，所以不等式在x-1，1上恒成立时，实数a的取值范围是-1，0.【点评】分段函数是函数的热点问题，将分段函数与解不等式、不等式恒成立等综合又是最新命题热点，需要利用分段函数的解析式将问题转化为一般不等式问题，注意何时取交集、并集.练习1已知P(x，y)为函数y=x2-1(x>)图象上一动点，记m=+，则当m最小时，点P的坐标为.【答案】(2，3)【解析】方法一：m=+=6+.当且仅当=，即x=2时

33、m取得最小值，此时点P的坐标为(2，3).方法二：m=+=6+.当且仅当=时，m取得最小值.以下同方法一.【点评】用基本不等式研究最值，具有重要意义，要注意构造应用基本不等式求最值的条件，同时要特别注意基本不等式应用的条件是否具备，特别是等号能否取到，而且还要在条件不满足的情况下能够求解或者转化，如等号取不到时，要借助函数图象，利用函数单调性求解最值等.练习2已知x>0，y>0，+=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】(-4，2)【解析】x+2y>m2+2m恒成立可知m2+2m<(x+2y)min，而x+2y=(x+2y)=4+4+4=

34、8，所以m2+2m<8，解得-4<m<2. 平面向量的应用问题例1(2014·天津卷)已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=DF.若·=1，则实数=.【答案】2(例1)【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A(-1，0)，B(0，-)，C(1，0)，D(0，)，E，F，所以=.因为·=1，所以-=1，解得=2.例2已知向量a，b满足|a|=，|b|=1，且对一切实数x，|a+xb|a+b|恒成立，则a与b的夹角大小为.【答案】【解析】由|a+xb|a+b|，得(a+xb)2(a+b

35、)2，将上式展开化简，得(2x-2)a·b+x2-10.设a与b的夹角大小为，由|a|=，|b|=1，得x2+2xcos -1-2cos 0对一切实数x恒成立，则=8cos2-4(-1-2cos )0，解得cos =-，所以=.练习1(2015·福建卷)已知，|=，|=t，若P是ABC所在平面内一点，且=+，则·的最大值为.【答案】13(练习1)【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，则B，C(0，t)，=(1，0)+4(0，1)=(1，4)，即P(1，4)，所以=(-1，t-4)，因此·=1-4t+16=17-，因为+4t2=4，所以

36、83;的最大值等于13，当=4t，即 t=时取等号.练习2(2015·天津卷)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60°，点E和点F分别在线段BC和CD上，且=，则·=.【答案】【解析】在等腰梯形ABCD中，由ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60°，得·=·=1，=，所以·=(+)·(+)=·=·+·+·=1+-=. 数列的应用问题例1(2014·苏北四市期末)设等比数列an的前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，且Sk=3

37、3，Sk+1=-63，其中kN*，则Sk+2=.【答案】129【解析】设等比数列an的公比为q，则由题意得2a3=a4+a5，也就是2a3=a3q+a3q2，即q2+q-2=0，解得q=1或q=-2.由于Sk=33，Sk+1=-63，所以q=1不合题意，舍去；当q=-2时，ak+1=Sk+1-Sk=-63-33=-96，从而ak+2=ak+1·q=-96×(-2)=192，所以Sk+2=Sk+1+ak+2=-63+192=129.例2已知数列an满足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，设其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n=.【答案】7

38、【解析】由3an+1+an=4(n1)得(an+1-1)=-(an-1)，即an-1是以-为公比的等比数列，所以an=8+1，所以Sn=8·+n=6+n-6·<n7.即满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n=7.练习1已知数列an满足a1=m(m为正整数)，an+1=若a6=1，则m所有可能的取值为.【答案】4，5，32【解析】逆向思考，由a6=1得a5=2或0(舍去)，再由a5=2得a4=4或a4=(舍去)，再由a4=4得a3=1或a3=8.由a3=1得a2=2，则a1=4；由a3=8得a2=16或a2=(舍去)，由a2=16得a1=32或a1=5，所以a1

39、=4或a1=5或a1=32.练习2设Sn为数列an的前n项和，若不等式+m对任意等差数列an及任意正整数n恒成立，则实数m的最大值为.【答案】【解析】由+m+m，即5+2a1an+4m，式对任意正整数n恒成立，a1=0时显然成立.当a10时，式化为5+2+14m，令=t，则式化为5t2+2t+14m，由题意，f(t)=5t2+2t+14m对任意的实数t恒成立，等价于f(t)min4m，而f(t)=5+，当t=-时，有f(t)min=，所以4m，m. 直线与圆例1已知P(x，y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边

40、形PACB的最小面积为2，则k的值为.【答案】2【解析】由圆的方程得x2+(y-1)2=1，所以圆心为(0，1)，半径r=1，四边形PACB的面积S=2SPBC，因为四边形PACB的最小面积为2，所以SPBC的最小值为1，而SPBC=r·PB，即PB的最小值为2，此时PC最小为圆心到直线的距离，此时d=，即k2=4，因为k>0，所以k=2.例2已知圆C1：(x-2)2+(y-3)2=1，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为.【答案】5-4【解析】两圆的圆心和半径分别为C1(2，3)，C2(3，4)，r

41、1=1，r2=3且两圆内含.C1：(x-2)2+(y-3)2=1关于x轴对称的圆的方程为C3：(x-2)2+(y+3)2=1，圆心C3(2，-3)，所以PC1=PC3，所以动点P到圆心C3(2，-3)，C2(3，4)的距离之和的最小值为C2C3=5，所以PM+PN的最小值为C2C3-1-3=5-4.练习1已知点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y=ax+b(a>0)将ABC分割成面积相等的两部分 ，则实数b的取值范围是.【答案】(练习1(1)【解析】设直线y=ax+b与直线BC：x+y=1的交点为D(xD，yD)，与x轴的交点为E，由题意可知，要平均分割三角形，则b>

42、0，所以点E只能处于x轴负半轴上，当点E在点A与原点之间时，如图(1)可得DEB的面积为，联立直线y=ax+b与直线BC：x+y=1，得yD=，所以有SBDE=BE·yD=·=，整理得a=>0，解得b<.当点E与点A(-1，0)重合时，如图(2)所示，直线y=ax+b平分ABC的面积，必须过B，C的中点，此时可确定直线y=ax+b的方程为y=x+，此时b=. (练习1(2) (练习1(3)当点E处于点A左侧时，如图(3)所示，此时若直线y=ax+b平分ABC的面积，则0<a<1，0<b<1，且CDF的面积为，联立直线y=ax+b与直线BC

43、：x+y=1得xD=，联立直线y=ax+b与直线BC：y-x=1，得xF=，所以有SCDF=(1-b)(xD-xF)=(1-b)2=，a2=1-2(1-b)2>0，解得1-<b<1+.综上所述，实数b的取值范围为.练习2过点(3，1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为.【答案】2x+y-3=0【解析】方法一：设点P(3，1)，圆心为C，设过点P的圆C的切线方程为y-1=k(x-3)，由题意得=1，解得k=0或，即切线方程为y=1或4x-3y-9=0.联立得一切点为(1，1).又因为kPC=，所以kAB=-=-2，即弦AB所在直线的方程为

44、y-1=-2(x-1)，整理得2x+y-3=0.方法二：设点P(3，1)，圆心为C，以PC为直径的圆的方程为(x-3)(x-1)+y(y-1)=0，整理得x2-4x+y2-y+3=0，联立两式相减得2x+y-3=0. 圆锥曲线问题例1已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若PF1PQ且PF1=PQ，则椭圆的离心率为.【分析】利用椭圆定义，再根据椭圆的几何性质e=及已知条件，寻求a，b，c之间的关系，进而求出椭圆的离心率.(例1)【答案】-【解析】如图，设PF1=m，则PQ=m，F1Q=m.由椭圆的定义得，PF1+PF2=QF1+QF2=2a，所以PF1+PQ+F1Q=

45、4a，即(+2)m=4a，所以m=(4-2)a.又PF2=2a-m=(2-2)a，在RtPF1F2中，P+P=(2c)2，即(2-2)2a2+(4-2)2a2=4c2，所以=9-6=3(-1)2，所以e=-.【点评】解答本题的关键是把已知条件转化为a，b，c之间的关系.求椭圆的离心率e的值，即求的值，所以解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为a，b，c之间的关系，如特征三角形中三边的关系、椭圆的定义、c2=a2-b2等关系都与离心率有直接联系.例2已知椭圆C：+=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的取值范围为，那么直线PA1的斜率的取值范围是.【答案】【解析】椭圆的左、右顶点分别为(-2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则·=·=，而+=1，即=(4-)，所以·=-，所以=-.练习1设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=4PF2，则此双曲线离心率的最大值为.【答案】【解析】因为PF1=4PF2，又因为PF1-PF2=2a，所以PF2=，PF1=.因为PF2c-a，所以c-a，所以e