(结构动力学5)任意荷载反应时域频域86

1、结构动力学（2010）结构动力学 第五章 单自由度体系对任意荷载的反应 在实际工程中，很多动力荷载既不是简谐荷载，也不是周期性荷载，而是随时间任意变化的荷载，需要采用更通用的方法来研究任意荷载作用下体系的动力反应问题。 本章介绍三种动力反应问题的分析方法： 时域分析方法Duhamel积分法， 频域分析方法Fourier变换法， 时域逐步积分法中心差分法；Newmark法； Wilson法。 前两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题，而第三种方法可用于处理非线性问题。根据Duhamel积分法简要讨论在冲击荷载作用下结构的反应的特点，地面运动作用下结构的运动，并简单介绍地震反应谱的概念。5.1

2、 时域分析方法Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数 单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载。 单位脉冲反应函数：单位脉冲作用下体系动力反应时程 5.1 时域分析方法Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数 在t=时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上，使结构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获得一个初速度 ：当0时 ：由于脉冲作用时间很短，0，质点的位移为零 ：1)()(dttpummu1)(0)(u5.1 时域分析方法Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数 无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：mu1)(0)(utttmtuthnn0)(sin1)()

3、(tttemtuthDtDn0)(sin1)()()(5.1 时域分析方法Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数 5.1 Duhamel积分 2、对任意荷载的反应 将作用于结构体系的外荷载p()离散成一系列脉冲，首先计算其中任一脉冲p()d的动力反应 ：在任意时间t结构的反应，等于t以前所有脉冲作用下反应的和 ：tthdptdu, )()()(ttdthpdutu00)()()(5.1 时域分析方法Duhamel积分 2、对任意荷载的反应 无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式 ：阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式： tdthptu0)()()(ttmtuthnn)(sin1)()

4、(ttemtuthDtDn)(sin1)()()(tnndtpmtu0)(sin)(1)(tDtDdtepmtun0)()(sin)(1)(tdthptu0)()()(5.1 时域分析方法Duhamel积分 Duhamel（杜哈曼）积分给出的解是一个由动力荷载引起的相应于零初始条件的特解。如果初始条件不为零，则需要再叠加上由非零初始条件引起的自由振动，其解的形式已在第三章给出。例如，对于无阻尼体系，当存在非零初始条件时，问题的完整解为： tnnndthptututu0)()(sin)0(cos)0()(5.1 时域分析方法Duhamel积分 杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作用

5、下动力反应的一般解，适用于线弹性体系。因为使用了叠加原理，因此它限于弹性范围而不能用于非线性分析。如果荷载p(t)是简单的函数，则可以得到封闭解（closed-form）。如果p(t)是一个很复杂的函数，也可以通过数值积分得到问题的解。但从实际应用上看，采用数值积分时，其计算效率不高，因为对于计算任一个时间点t 的反应，积分都要从0积到t，而实际要计算一时间点系列，可能要几百到几千个点。这时可采用效率更高的数值解法，在以后将介绍。虽然在实际的计算中并不常用Duhamel积分法，但它给出了以积分形式表示的体系运动的解析表达式，在分析任意荷载作用下体系动力反应的理论研究中得到广泛应用。5.2 频域

6、分析方法Fourier变换法 Fourier变换的定义为：速度和加速度的Fourier变换为： 逆变换正变换deUtudtetuUtiti)(21)()()()()()()(2UdtetuUidtetutiti 5.2 频域分析方法Fourier变换法 单自由度体系时域运动方程： 对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得单自由度体系频域运动方程：逆变换正变换deUtudtetuUtiti)(21)()()()()()()(2UdtetuUidtetutiti )(1)()(2)(2tpmtututunn )(1)()(2)(22PmUUiUnn)()(,)()(tpPtuUFF5.2

7、 频域分析方法Fourier变换法 单自由度体系运动的频域解为： H(i)复频反应函数，i是用来表示函数是一复数。 再利用Fourier逆变换，即得到体系的位移解： )(1)()(2)(22PmUUiUnn)()()(PiHU)/(2)/(1 11)(2nnikiHdePiHtuti)()(21)(5.2 频域分析方法Fourier变换法 频域分析方法的基本计算步骤： 1、对外荷载p(t)作Fourier变换，得到荷载的Fourier谱P() ：2、根据外荷载的Fourier谱P()和复频反应函数H(i)，得到结构反应的频域解Fourier谱U()： U()=H(i)P()3、应用Fourie

8、r逆变换，由频域解U()得到时域解u(t)： )()(PtpF)()(tuUF逆5.2 频域分析方法Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换 在用频域法分析中涉及到两次Fourier变换，均为无穷域积分，特别是Fourier逆变换，被积函数是复数，有时涉及复杂的围道积分。当外荷载是复杂的时间函数（如地震动）时，用解析型的Fourier变换几乎是不可能的，实际计算中大量采用的是离散Fourier变换。dtetpPti)()(dePiHtuti)()(21)(5.2 频域分析方法Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换 对连续变化的函数用等步长离散（数值采样） 时域离散

9、化： 频域离散化 ：NTttktNktppkk/,1, 2, 1, 0),(pjjTjNjP/2,1, 2, 1, 0),(5.2 频域分析方法Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换 将离散化的值代入Fourier正变换公式，并应用矩形积分公式得： 将离散化的谱值代入Fourier逆变换公式，并应用矩形积分公式得： NkjiNkktiNkktijetpttetpdtetpPkjj21010)()()()(NkjiNjjjptiNjjjtitikePiHTePiHdePiHdeUtukjkk21010)()(1)()(21)()(21)(21)(5.2 频域分析方法Fourier

10、变换法 离散Fourier（DFT）变换 以上公式即是求结构反应的离散Fourier变换方法DFT如果取N=2m，再利用简谐函数周期性的特点，可以得到快速Fourier变换FFT，应用FFT可以大大加快分析速度和减少工作量。 NkjiNkkjetptP210)()(NkjiNjjjpkePiHTtu210)()(1)(5.2 频域分析方法Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换 应用离散Fourier变换时应注意事项:1. 离散Fourier变换将非周期时间函数周期化2. 由于第1点原因，对p(t)要加足够多的0点增大持续时间Tp，以保证在所计算的时间段0, Tp内，体系的位移能

11、衰减到03. 频谱上限频率fNyquest=1/2t，Nyquest=2fNyquest4. 频谱的分辨率为f=1/Tp，即 =2/ Tp5. 频谱的下限f1=1/Tp5.2 频域分析方法Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换 2. 由于离散Fourier变换将非周期时间函数周期化，对此要加足够多的0点以增大持续时间Tp，保证在所计算的时间段0, Tp内，体系的位移能衰减到0。冲击荷载反应分析 （Response to Pulse Excitations） 冲击荷载是工程中常遇的荷载形式。例如，结构受爆炸冲击波的作用，结构动力试验中使用的锤击荷载等。冲击荷载可以表示为作用时间较

12、短的脉冲。常用的形式有三种：矩形、半正弦、三角形荷载。由于荷载作用时间较短，在冲击荷载作用下，结构的最大反应可在很短的时间内达到，在此期间，结构的阻尼还来不及吸收较多的振动能量，因此，在计算冲击荷载引起的振动反应时，一般不考虑阻尼的影响。分析方法 分段求解：强迫振动阶段+自由振动阶段 直接用Duhamel积分冲击荷载反应分析 矩形冲击荷载冲击荷载反应分析 矩形冲击荷载反应冲击荷载反应分析 半正弦冲击荷载冲击荷载反应分析 半正弦冲击荷载反应冲击荷载反应分析 三角形冲击荷载冲击荷载反应分析 三角形冲击荷载反应三种冲击荷载作用下的冲击反应谱5.3 数值计算方法时域逐步积分法 （Step-by-ste

13、p methods） 前面给出了两种分析任意荷载作用下结构动力反应分析方法： 时域分析方法Duhamel积分法； 频域分析方法基于Fourier变换。这两种分析方法的特点是：均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性的。当外荷载较大时，结构反应可能进入弹塑性，或结构位移较大时，结构可能进入（几何）非线性，这时叠加原理不再适用。此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。目前已发展了一系列的时域逐步积分法，例如： （1）分段解析法链式积分法； （2）中心差分法； （3）Newmark 法； （4）Wilson 法。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel积分

14、，Fourier变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近曲线。时域逐步积分法是结构动力学问题中一个得到广泛研究的领域。时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移ui=u(ti)，速度 , i = 0, 1, 。而这种离散化正符合计算机存贮的特点。一般情况下采用等步长离散，ti=it。与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足，这相当于放松了对运动变量的约束。)(iituu 5.3 数值计算方法时域逐步积分法 等步长离散，ti=it。体系的运动微分方程也不

15、一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断：(1) 收敛性：当t0时，数值解是否收敛于精确解；(2) 计算精度：截断误差与时间步长t的关系，若误差O(tn)，则称方法具有n阶精度；(3) 稳定性：随时间步数i的增大，数值解是否变得无穷大（远离精确解）；(4) 计算效率：所花费的计算时间。一个好的方法首先必须是收敛的、有足够的精度（例如二阶，满足工程要求）、良好的稳定性、较高的计算效率。在发展逐步积分法中，也的确发展了一些高精度但很费时的方法，得不到应用和推广。 5.3 数值计算方法时域逐步积分法 逐步

16、积分法按是否需要联立求解耦联方程组，可分为两大类：隐式方法：逐步积分计算公式是偶联的方程组，需联立求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark法、Wilson 法。显式方法：逐步积分计算公式是解偶的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法。下面先介绍一下分段解析算法，然后再重点介绍两种常用的时域逐步积分法中心差分法和Newmark法。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 1、分段解析法（Piecewise Exact Method） 分段解析算法假设在titti+1时段内 如果荷载p(t)采用 计算机采样，即 离散数值采样

17、， 则以上定义可 认为是准确的。 图5.5 分段解析法对外荷载的离散 iipp)(iiiitpp/ )(15.3 时域逐步积分法 1、分段解析法 在titti+1时段内体系的运动方程： 初值条件： 运动方程的特解 :运动方程的通解 : iippkuucum)()()()( iiuuuu00)(,)(ckpkuiiip2)(1)()sincos()(DDcBAeun5.3 时域逐步积分法 1、分段解析法 全解u()=up()+uc()代入边界条件确定系数A、B，最后得：其中，DDnneAeAAAusincos)(32101,222302211320niniDinniniAuAAuAAuADnDD

18、nDnneAAeAAAusin)(cos)()(32231？ 5.3 时域逐步积分法 1、分段解析法 当=ti时，得到其中系数AD是结构刚度k，自振频率n，阻尼比和时间步长t的函数。上式给出了根据i时刻运动及外力计算i+1时刻运动的递推公式。如果结构是线性的，并采用等时间步长，则AD均为常数，其计算效率非常高，在p(t)离散采样的定义下是精确解，但如果是非线性问题，则AD均为变量，计算效率会大为降低。 1111iiiiiiiiiipDpCuBuAuDpCpuBAuu5.3 时域逐步积分法 表5.1 分段解析法计算公式中的系数5.3 时域逐步积分法 分段解析法的误差仅来自对外荷载的假设， 而在连

19、续时间轴上严格满足运动微分方程。一般的时域逐步积分法将进一步放松要求，仅要求在离散的时间点上满足运动方程，相当于放松了运动的约束 。 5.3 数值计算方法时域逐步积分法 2、中心差分法（Central Difference Method） 中心差分方法用有限差分代替位移对时间的求导（即速度和加速度）。如果采用等步长，ti=t，则i时刻速度和加速度的中心差分近似为：tuuuiii2112112tuuuuiiii iiiiiiipkutuuctuuum221121112212222iiiiutctmutmkputctm)()()()(iiiitptkutuctum )()()()(iiiiiiii

20、tpptuutuutuu 5.3 数值计算方法时域逐步积分法 2、中心差分法（Central Difference Method） 中心差分方法计算中的起步处理方法初始条件为 ：12212222iiiiutctmutmkputctm)0(),0(00uuuu tuuu2110210102tuuuu 020012utu tuu )(10000kuucpmu 5.3 数值计算方法时域逐步积分法 2、中心差分法（Central Difference Method） 中心差分法计算步骤：(1). 初始计算 (2). 根据i及i以前时刻的运动，计算i+1时刻的运动 (3). 下一步计算用i+1代替i，重

21、复(2)中的计算步骤。12212222iiiiutctmutmkputctm已知和00uu)(20002001kuucpmtu tuu211112,2tuuuutuuuiiiiiii 5.3 数值计算方法时域逐步积分法 2、中心差分法（Central Difference Method） 中心差分法的精度和数值稳定性以上给出的中心差分逐步积分公式， 是收敛的； 具有2阶精度，即误差O(t2) ； 是有条件稳定，稳定条件tTn/； 具有较高的计算效率。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 中心差分法的数值稳定性 (tTn/)稳定性的含义，当满足稳定性条件时，计算值u为有限值；当不满足稳定性条件时，

22、随着t，u。 5.3 数值计算方法时域逐步积分法 中心差分法的数值稳定性证明设体系为无阻尼，并设外荷载p=0 (算法的稳定性与外荷载无关),则中心差逐步积分法的递推公式可以写成如下形式： 令i时刻位移为：代入运动方程：得到：从ui=Ai可直观看出，为保证i（即t）时，ui有界，要求|1。仅当24时，|=1，其余情况均有|1，则稳定性条件要求：niiituuu,)2(121iiAu01)2(22)4(2212222iitstsiistAeAAetiuuAetu)()()(12212222iiiiutctmutmkputctm5.3 数值计算方法时域逐步积分法 中心差分法的数值稳定性证明 稳定性表

23、达式为: 虽然中心差分逐步积分法是有条件稳定的，但由于其所具有计算效率高的优点，在很多情况下得到广泛的应用。nt2nnTt25.3 数值计算方法时域逐步积分法 中心差分法的数值稳定性证明 图5.7 Clough格式的稳定性条件5.3 数值计算方法时域逐步积分法 中心差分法的数值稳定性证明 一般情况下，逐步积分格式的稳定性计算采用如下方法，将逐步积分格式写成下式： 则稳定性条件为=A1，称为传递矩阵A的范数，也称为矩阵的模。目前对显式中心差分逐步积分法格式的研究取得了进展，已发展了几种有阻尼体系的差分格式，可以在近几年的文献中找到。但普遍存在的问题是稳定条件比要一般的中心差分法更严格。 iiii

24、ipBuuAuu115.3 数值计算方法时域逐步积分法 3、Newmark 法 Newmark同样将时间离散化，运动方程仅要求在离散的时间点上满足。假设在ti时刻的运动均已求得, 然后计算 ti+1时刻的运动。与中心差分法不同的是，它不是用差分对ti时刻的运动方程展开，得到外推计算ui+1的公式，而是以ti时刻的运动量为初始值，通过积分方法得到计算i+1时刻的运动公式。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 3、Newmark 法 Newmark 法假设在时间段ti，ti+1内，加速度为一常量，记为a，经过简单积分计算可以得到速度、位移与a之间的关系式：tauuii1atu tuuiii21215

25、.3 数值计算方法时域逐步积分法 3、Newmark 法 10,)1 (1iiuua 2/10,2)21 (1iiuua tauuii1atu tuuiii212111)1 (iiiiu tu tuu 1221)21(iiiiiututu tuu 5.3 数值计算方法时域逐步积分法 3、Newmark 法 tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(1111211111iiiipkuucum 11iipuk11)1 (iiiiu tu tuu 1221)21(iiiiiututu tuu 5.3 数值计算方法时域逐步积分法 Newmark 法的时域

26、逐步积分公式 tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(11112111iipukctmtkk21cutuutmuututppiiiiiiii)2(2) 1() 121(11211 5.3 数值计算方法时域逐步积分法 3、Newmark 法 在Newmark 法中，控制参数和的取值影响着算法的精度和稳定性，可以证明，只有当取1/2时，这个方法才具有二阶精度，因此一般均取： =1/2, 01/4Newmark 法的稳定性条件：当=1/2, =1/4时，t，即成为无条件稳定的。nTt21213、Newmark 法在时域逐步积分计算方法研究中，发展了一

27、批计算方法，例如，平均常加速度方法、线性加速度方法等。Newmark 法中控制参数取不同的值，可以得到相应的计算方法。下表给出了参数取不同值时Newmark 法所对应的逐步积分法。3、Newmark 法在动力问题研究中，常采用=1/2，=1/4的所谓无条件稳定的Newmark法，实际上就是平均常加速度方法。Newmark法为单步法不需要格外处理计算的“起步”问题，属于自起步方法。 Wilson 法 在时域逐步积分法发展的早期，Wilson 法曾得到广泛应用。Wilson法是基于线性加速度法基础之上发展的。当参数1.37时，方法是无条件稳定的。初略分析，采用了线性加速度假设比平均常加速度法更精确

28、，而且是无条件稳定的，应是一种优秀的逐步积分法。但随着对数值算法特性研究的深入，发现Wilson法存在一系列弊病。而且对于一些强冲击问题，Wilson法无法完成计算。5.3 数值计算方法时域逐步积分法图5.11 不同逐步积分方法的计算精度 5.3 数值计算方法时域逐步积分法图5.12 不同方法的振幅衰减和周期延长 5.3 数值计算方法时域逐步积分法Newmark 法，特别是=1/4的无条件稳定格式得到广泛应用。中心差分法，虽然稳定性略差，但因其所具有的简单、高效的特点也得到一系列的应用。Wilson 法，由于过高的算法阻尼，在实际中的使用越来越少。对于一些特殊的问题，计算精度的要求有时严于或等

29、于稳定性条件，此时，中心差分法将具有更大的优势。5.4 结构非线性反应分析非线性： 几何非线性 材料非线性恢复力： 图5.13 非线性位移和抗力关系ukfS0)(uffSS5.4 结构非线性反应分析采用中心差分法求解非线性反应 当采用中心差分法进行时域逐步积分计算时，无需对计算格和软件做大的变化，仅是对计算抗力的公式进行改动，其余的与线性反应分析的相同。)(0uffukfssS12212222iiiiutctmutmkputctm1221222)(2iiisiiutctmutmufputctm5.4 结构非线性反应分析采用中心差分法求解非线性反应 稳定性条件：在用中心差分逐步积分法计算时，由于

30、结构一般都是软化结构，即随变形的增加而变软，刚度k降低，但质量m不变，则结构的自振周期Tn变长，计算的稳定性变好。1221222)(2iiisiiutctmutmufputctmkmTn21nnTt25.4 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 全量型逐步积分计算公式：11iipukctmtkk21cutuutmuututppiiiiiiii)2(2) 1() 121(11211 5.4 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 用Newmark法进行结构非线性动力计算，采用增量平衡方程较合适。分别给出ti和ti+1时刻运动方程：由ti+1减去ti时刻的运动方程得运动的

31、增量平衡方程：iiiipkuucum 1111iiiipkuucum iiSiipfucum)( iiiiSiSiSiiiiiiiiipppfffuuuuuuuuu11111)()()(, 5.4 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 增量运动平衡方程：当时间步长t取得足够小，可以认为在titi+1区间内结构的本构关系是线性的，则：kis i, i+1点之间的割线刚度。 iiSiipfucum)( iiiiSiSiSiiiiiiiiipppfffuuuuuuuuu11111)()()(, isiiSukf)(5.4 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 增量运动平衡

32、方程：但由于ui+1未知，因此kis不能预先准确估计，这是可以采用切线刚度ki代替割线刚度kis iisiiipukucum iiiiipukucum 5.4 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 增量运动平衡方程：是一个线性运动方程，系数m、c、ki和外荷载pi均为已知。增量形式的Newmark法逐步积分方程为： iiiiipukucum cutumuutppctmtkkpukiiiiiiiiiii)2(221112 5.4 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 增量形式的Newmark法逐步积分方程： 求得ui后，则可以计算ti+1时刻的总位移，再利用Newma

33、rk 法中的两个基本公式 ：得到i+1时刻体系的全部运动量。 iiipukiiiuuu1tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(1111215.4 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 在用以上步骤计算时的主要误差，是用切线刚度代替割线刚度引起的，这是非线性分析中的共性。注意到方程从形式上看与静力问题的方程完全一样。可以用静力问题中的非线性分析方法进行迭代求解，例如采用NewtonRaphson或修正的NewtonRaphson法求解。NewtonRaphson方法在每一迭代步中，刚度是变化的，而修正的NewtonRaphson法

34、，在不同迭代步中的刚度不变，因此，也常称NewtonRaphson法为变刚度迭代法，而修正的NewtonRaphson方法为常刚度迭代法。5.4 结构非线性反应分析NewtonRaphson法（变刚度迭代法）5.4 结构非线性反应分析修正的NewtonRaphson方法（常刚度迭代法）5.4 结构非线性反应分析采用Newmark求解非线性反应 用以上迭代方法求得ui(1), ui(2)，以后，叠加得， 收敛条件：当进行了l 次迭代计算后，令： 如果，则认为迭代收敛，达到要求的精度，停止迭代计算。为一个给定的小量，例0.001等。一般情况下，经过有限次的迭代计算都可以收敛。 )2() 1 (1i

35、iiiuuuuljjiuu1)(uuli)(5.5 结构的地震反应分析初步 在学习了结构动力反应分析方法后，就可以对结构地震反应问题开展计算分析。 当地震动较小时，结构反应处于线弹性范围，可以采用Duhamel积分，或FFT+复频反应函数的方法获得地震作用下结构的反应。根据得到的结构最大变形，最大内力进行抗震设计。 当地震动较强时，结构反应可能进入塑性，这时可以采用时域逐步积分法进行求解分析。 本节仅限于介绍线弹性地震反应问题。5.5 结构的地震反应分析初步 典型地震动 加速度时程地震作用的特点是地震动非常复杂，随时间不规则，快速变化。 5.5 结构的地震反应分析初步 地震作用下结构运动方程为：其中u=u(t)为相对位移，g(t)为地震动加速度时程。地震等效荷载为peq(t)=-mg(t)，应用Duhamel积分，得到地震作用下结构的位移为： 其中 有阻尼体系自振频率。gumkuucum dteudteummdthtptuDttgDDttgDteqnn)(sin)(1)(sin)(1)()()(0)(0)(0 21nD5.5 结构的地震反应分析初步 地震作用下结构相对位移时程，观察以上