中值定理与导数的应用

1、xyaa0bcby=f (x) 第三章 1. 理解罗尔定理,拉格朗日中值定理的条件和结论,了解柯西中值定理.2. 熟练掌握洛必塔法则,理解洛必塔法则应用的条件,并能熟练地用洛必塔法则求各种未定型极限.3. 掌握用导数的符号研究函数的单调增 (减) 区间的方法.4. 理解函数极值的概念,能熟练地求出函数的极值点和极值.5. 能用导数研究曲线的凹向区间和拐点.6. 了解函数作图的方法和步骤,会描绘简单函数的图形.7. 理解函数最大值和最小值的概念,会求闭区间上连续函数的最大值和最小值.一、罗尔（一、罗尔（ rolle）定理）定理.罗尔定理: 若函数 f (x) 满足:(1) f (x) 在 a,

2、b上连续;(2) f (x)在( a, b )内可导;(3) f (a)=f (b)则在( a, b )内至少有一点 , 使得 f .第一节第一节 中值定理中值定理图3-1-1bacbax0y几何意义:若在两端点高度相同的连续曲线弧上,除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线,那么在这曲线弧内部至少有一点, 在该点处具有水平切线. 由 f (x) 在 a, b上连续,则 f (x) 在 a, b 上必取得最大值 m 和最小值 m(显然 m m).(1) 若 mm ,由 f (a)=f (b) ,则 m 与 m 中至少有一个不是端点的函数值,不妨设 m f (a),所以, ( a, b ) , 使

3、 f ( )=m,下面证明, f .证明证明：由 f (x) 在 ( a, b )内可导知 f 存在.而 f xfxfx) ()(lim0 0f + xfxfx lim0 0由于 f 存在, 所以, f ( f + 0即 f .(2) 特别 m=m, 这时 f (x)=m对于x a, b , 都有 f x因此,可以取 a, b 内任意一点作为有 f .在区间例例1. 验证罗尔定理对xxfsinln)(上的正确性.65,6解解: 因为xxfsinln)(在65,6上连续,)65,6(在内可导,21)65( 6 ln)(ff且由罗尔定理知,至少存在一点,65,6)(使得 f xxxsincos0c

4、ot事实上,65,6 2)( 确有 . 0cot f使注：罗尔定理可作为注：罗尔定理可作为 f 的根的存在性定理的根的存在性定理.例例2 设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3),不求导数,试判 断方程 f x 有几个实根,它们分别在何区间?解解: f (x)在1, 2上连续, 在(1, 2)上可导,且 f (1)= f (2);由罗尔定理: 1 , 使 f (1;同理, 2, ,注意到 f (x)=0为二次方程,使 f (2;它至多有两个实根,故 1, 2是 f (x)=0 的全部实根.f (x)满足条件(2), (3),但不满足条件(1),在(0, 1)内,21)( xf例如例如:

5、 (i)y=f (x)=121x1 , x = 1, x0, 1)图3-1-2 xy011231 , 1 |)(xxxfyf (x)在-1, 1上,满足条件(1), (3),但不满足条件(2),当 x 时,f (x)= 1.x 时,f (x)= 1.x=0时,f (0)不存在.(ii)0 xy111图3-1-3y = |x|(iii) y=f (x)=x, x1, 2,f (x)在1, 2上满足条件(1), (2),但不满足条件(3),在(1, 2)内, f (x)=1.02112xy图3-1-4y=x二二. 拉格朗日拉格朗日 (lagrange) 中值定理中值定理.拉格朗日中值定理拉格朗日中

6、值定理:若函数 f (x)满足(1) f (x) 在 a, b 上连续;(2) f (x) 在(a, b) 内可导.则在 (a, b) 内至少有一点 ,使等式 f (b) f (a)=f ( )(b a). (1)成立.图3-1-5xyaa0bcbabafbff)()()(几何意义:若连续曲线弧 ab上,平行于弦 ab.除端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,那末在这曲线弧内至少有一点,在该点处的切线证证: 令 (x)= f (x)l(x)( )()()()(axabafbfafxf显然: (x)在 a, b 上连续,在 (a, b)内可导,且 a b, 由罗尔定理, a, b,使 ( )

7、.而 (x),)()()(abafbfxf所以 ( )abafbff)()() (=0由此得 f ( ).)()(abafbf即 f (b)f (a)=f ( )(ba).注注:(1)式也可写成:abafbff)()() (2)或 f (a) f (b)= f ( ) (a b). (3)若 f (x)在 a, b上满足拉格朗日中值定理条件,对于 a, b 上任意两点 x, x+x,在 x, x+x (或 x+x, x ) 上, 公式(1) 也成立.y=f (x+x) f (x) =f ( ) x . 其中 (x, x+x) 或 (x+x, x) 记 =x+ x (其中0 1) 有限增量公式:

8、y= f ( x+ x ) x (4)比较比较 :f (x)在 x 处于可微：ydy=f (x)x要求:| x |很小，且f (x)0f (x)在 a, b 上满足拉格朗日定理条件：y= f ( x+ x )x要求: x有限.如果函数 f (x) 在区间 i 上导数恒为零,那末 f (x)在区间 i 上是一个常数.定理定理:(即 f (x)c, xif (x) xi.)证明证明: 在区间 i 上任取两点 x1, x2, 不妨设 x1 x2,则 f (x)在x1, x2上满足拉格朗日定理条件.有 f (x2) f (x1)=f ( )( x2x1). ( x1 b0 n1.证明证明:令 f (x

9、)= x n显然 f (x) 在 b, a上满足拉格朗日定理条件, 证明: nbn1(ab) an bn nan1(a b)有 f (a) f (b)=f ( )(ab) (b a)即 an bn = n n1(a b)又 0b 1所以 bn1 n1 an1nbn1 (a b)n n 1 (a b) nan1 (a b) 即 nbn1(ab) an bn 0 时,)1ln(1xxx1ln x证明证明: 令 f (x)=ln(1+x)显然 f (x) 在 0, x 上满足拉格朗日定理条件,xxf11)( 且有 f (x)f (0)= f ( )(x0) (0 x)xx111ln)1ln( 即又

10、11+ 1+ x11111x所以xxxx11xxxx)1ln(1即三三. 柯西柯西 ( cauchy) 中值定理中值定理.若图 中的曲线弧 ab 由参数方程)( )()(btatfytfx表示,其中 t 为参数,那末,曲线上点( x , y )处的切线的斜率为)()(tftfdxdy弦 ab 的斜率为)()()()(afbfafbf图3-1-5xyaf(a)0bcf(b)所以),( ) () ()()()()(baffafbfafbf柯西中值定理柯西中值定理:若函数 f (x) 及 f (x)满足:(1) f (x) 及 f (x) 在 a, b上连续; (2) f (x) 及 f (x) 在

11、 (a, b) 可导; (3) f (x) 0 x(a, b).则在 (a, b) 内至少存在一点 ,使等式) () ()()()()(ffafbfafbf(5)成立.证证: f (b) f (a) = f (1) (b a) 0 (a 1 x时, f (x)与f (x)都存在,且f (x)0 .0)(lim)(limxfxfxx)()(limxfxfx那末)()(limxfxfx)()(limxfxfx例例4: 求=1解解: xxx1arctan2limxxx1arctan2lim22111limxxx221limxxx二二.型型 未定型未定型.定理定理3：(洛必塔法则) 如果(1) (2)

12、 在x0的某一去心邻域内 (或|x|x时) , f (x)与f (x)都存在,且f (x)0 )(lim)(lim)()(00 xfxfxxxxxx(3) 存在, (或为)()(lim)(0 xfxfxxx)()(lim)()(lim)()(00 xfxfxfxfxxxxxx则例例5: 求. 0) ,( lim 为正整数nexxnx lim xnxex lim 1xnxexn ) 1(lim 22xnxexnn= 2 ) 1(lim 1 -nxxexnn !lim nxxen= 0解解: 三、其它未定型三、其它未定型 .1. 0 . 型, 型.例例6: 求 . )0( lnlim0nxnxx1

13、01limnxx-nx01lim0nxxn lnlim0 xnxx lnlim0nxxx)(0型).(型解解: 例例7: 求 . )tan(seclim2xx-x)tan(seclim2xx-x cossin1lim2xx-x).00( 型)-(型 sincoslim2xxx0 10解解: 2. 00型, 1 型, 0型 未定型. 将幂指函数f (x)g(x)取对数, 化成乘积形式:ln f (x)g(x)=g(x)ln f (x)例例8: 求xxxlim0(00型)设y=xx 则 lny=xlnx .xxyxxlnlimlnlim00(0型)xxx1lnlim0).(型2011limxxx)

14、(lim0 xx= 0解法一解法一:又 y=eln y所以 .yxlim0yxeln0limyxelnlim0=e0=1解法二解法二. xxxxxexln00limlimxxxelnlim0 xxxe1ln lim02011 limxxxe= e0 = 1例例9: 求210)(coslimxxx(1型)解法一解法一: 21)(cosxxxxecosln12xxxcosln1lim 20( 0型)20coslnlimxxx).00( 型xxxx2)sin(cos1lim0 xxxxsincos21lim021所以: 210)(coslimxxxxxxecosln1lim2021 e解法二解法二:

15、 210)(coslimxxx(1型)21cos1cos10) 1(cos1limxxxxx211coslim 20 xxx而21210)(coslim exxx故例例10: 求xxx)1(lnlim0( 0型)1ln(ln)1(lnxxxex)1ln(lnlim0 xxxxxx1)1ln(lnlim0(0型).(型解解: 2201)1(111ln1limxxxxxxxx10)1(lnlim= 0 xxx)1(lnlim0 )1ln(ln0limxxxe)1ln(lnlim0 xxxe=e0 = 1所以例例11: 求xxxx30sinarcsinlim).00( 型解解: 当 x0时. x-a

16、rcsinxx-arcsinxsin3x x3xxxx30sinarcsinlim30arcsinlimxxxx).00( 型2203111limxxx222011131limxxxx2202011lim131limxxxxx).00( 型xxxx2)2()1 (21lim31212020121lim31xx61例例12: 求xxxxsinlimxxxxsinlim )sin1 (limxxxxxxsin1lim1= 1解解: )sin(lim .xxxx但是1cos1limxx不存在(且不为)sin( limsinlim .xxxxxxxx这时注: 当不存在且不为时,不能用洛必塔法则. )(

17、 )( limxfxfx例例13: 求)( lim 型xxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeee11lim )11 ()11 (lim22xxxxxeeeexxxee221111lim111解解: 但是 )()(limxxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeeelim).(型第三节第三节 泰勒公式泰勒公式1. 若f (x)在x0可微,则在x0附近.)()()()(1000 xpxxxfxfxf(1)且 (1)()(001xfxp)()()2(001xfxp)(o )()(011xxxpxfr误差0 xyy=p2(x) y=f (x)y=p1(x)x0m2. 考

18、虑2020102)()()()(xxaxxaaxpxf).()()2(002xfxp).()()3(002xfxp 220212! 2)(),(2)(axpxxaaxp 而!2)(),(),(020100 xfaxfaxfa 得2000002)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxp 故：(2)(o)()()(2022xxxpxfxr误差).()() 1 (002xfxp且nnnxxaxxaxxaaxpxf)(.)()()()(0202010且：)()(00 xfxpn.)()(0)(0)(xfxpnnn)()(00 xfxpn)()(00 xfxpn .!)(,.,! 2)( ),(

19、 ),( 0)(020100nxfaxfaxfaxfann 解得nnnxxnxfxxxfxxxfxfp)(!)(. )(! 2)()()(00)(200000 (3)(o)( 0nnxxxr误差泰勒泰勒(taylor)中值定理中值定理 如果函数f (x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示成(xx0)的一个n次多项式与一个余项rn(x)之和.200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(.00)(xrxxnxfnnn10)1()()!1()()(nnnxxnfxr这里在x0与x之间.其中(4)证明

20、：证明：)()(xpxfrnn记10)1()()!1()()(nnnxxnfxr只需证(在x0与x之间)由假设rn(x)具有直到(n+1)阶导数,0)(.)()(0)(00 xrxrxrnnnn且10010010)()()()()()(nnnnnnxxxxxrxrxxxr)( )() 1()(01011之间与在xxxnrnn)()(1()()(000101nnnnxxxnxrr)( )() 1()(0121022之间与在xxnnrnn = )()(2) 1()()(0000)()(xxxnnxrrnnnnnn)( )!1()(0)1(之间与在xxnrnn10)1()()!1()()( nnnn

21、xxnrxr所以)()( )()()( )1()1(xfxrxpxfxrnnnnn注意到10)1()()!1()()( nnnxxnfxr故注注1：公式200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxpn nnxxnxf）00)(!)(.称为f (x)按xx0的幂展开的n次近似多项式.200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(.00)(xrxxnxfnnn称为f (x)按xx0的幂展开的n阶泰勒公式.其中:若对于某个固定的n,当x在开区间 (a, b) 内变动时，;| )(|1mxfn则，101)()!1()(|)(|nnnxxnfxr10|)!

22、1(nxxnm0)()(lim00nnxxxxxr及)(o)(0nnxxxr称为皮亚诺型余项. )()!1()()(10)1(nnnxxnfxr) 10( )()!1()(1000)1(nnxxnxxxf称为拉格朗日型余项.)( 0之间与在xx注2:注注3：当n=0时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理.)( )()()(000之间与在xxxxfxfxf泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.注注4：当x0=0时) 10( x麦克劳林(maclaurin)公式:1)1()(2)!1()(!)0(. !2)0()0()0()( nnnnxnxfxnfxfxffxf)(!)0(.! 2)0()0()0(0

23、)(2nnnxxnfxfxff 例例1. 写出f (x)=ex的n阶麦克劳林公式.解：解：xnexfxfxfxf )(.)()()()1(由1)0(.)0()0()0(0)( effffn得所以1 2)!1(!1.! 21! 111nxnxxnexnxxe!.! 212nxxxenx) 10( |)!1()!1()(1|1 nxnxnxnexnexr误差当 x=1时!1.!2111ne)!1(3)!1(|nnern误差当n=10时,7182181.2e61010!113|r误差例例2. 求f (x)=sinx展开到n阶的麦克劳林公式解解：因为).2sin()0();2sin()()()(nfnxxfnn, 0)0( , 1)0( , 0)0(fff所以,.,0)0(, 1)0( )4(ffmmmrmxxxxxx212)1(753)!12() 1(.! 7! 5! 3sinxx sin|! 3)sin(|3232xxr误差所以m=1,) 10(! 3|3x! 3sin3xxx|!5)25sin(|54xxr误差) 10(! 5|5x!5!3sin53xxxx|!7)27sin(|76xxr误差) 10(! 7|7xm=2m=3oyxy = x! 5! 353xxxyy =sin x!33xxy常用函数的麦克劳林展式常用函数的麦克劳林展式1. f (x