数学建模中的思维训练

1、2/44 目录目录l 数学建模是什么？数学建模是什么？l 数学建模特征数学建模特征l 数学建模数学建模ABCABCl 数学建模大致步骤数学建模大致步骤l 一个简单案例一个简单案例l 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练3/44 数学建模是什么？l 数学建模是一座数学建模是一座“桥梁桥梁” 跨越现实世界和想象世界，但不完全属于任跨越现实世界和想象世界，但不完全属于任 一个世界。一个世界。 数学建模数学建模现实世界的理性视角现实世界的理性视角 数学建模数学建模从自然走向理性之路从自然走向理性之路l 数学建模是一个数学建模是一个“平台平台” 科研训练的实践平台科研训练的实践平台 由由“知知”到到

2、“识识”的催化平台的催化平台 l 数学建模是一种数学建模是一种“语言语言” 智识：智识：有价值导有价值导向和问题意识的向和问题意识的思考能力思考能力4/44l 面向问题面向问题案例教学案例教学l 多学科知识交叉应用多学科知识交叉应用l 以学生实践为主以学生实践为主数学建模三大特征5/44 A：Assume 如果你的数学学习的经验告诉你，不要超出已知条如果你的数学学习的经验告诉你，不要超出已知条件。那么，在数学建模中，你要摆脱这种思维的束缚。件。那么，在数学建模中，你要摆脱这种思维的束缚。你必须自己作出假设。你必须自己作出假设。为你将要建立的模型确定一个边为你将要建立的模型确定一个边界较清晰的环

3、境。界较清晰的环境。 简化原则与贴近原则。简化原则与贴近原则。 假设与现实的相容度决定了模型的价值。假设与现实的相容度决定了模型的价值。 数学建模数学建模ABCABC6/44 B: Borrow 数学模型是用抽象形式表达我们所观察到的事物的数学模型是用抽象形式表达我们所观察到的事物的基本特性的一种尝试，这种尝试是否成功，既取决于建基本特性的一种尝试，这种尝试是否成功，既取决于建模者的数学能力，同样（如果不是更多地）取决于建模模者的数学能力，同样（如果不是更多地）取决于建模者关于该事物的实际知识以及建模者的建模素养。者关于该事物的实际知识以及建模者的建模素养。 借鉴借鉴他人经验，自己经验，常识他

4、人经验，自己经验，常识 高歌高歌沙丘驻涡稳定器沙丘驻涡稳定器数学建模数学建模ABCABC7/44 C: Criticize 建模者必须是一个批判者，批判别人也批判建模者必须是一个批判者，批判别人也批判自己，这也是建模的一个必不可少的环节。建模自己，这也是建模的一个必不可少的环节。建模的过程是一个迭代的过程，也就是一个批判与改的过程是一个迭代的过程，也就是一个批判与改进的过程。进的过程。 习惯质疑，学会质疑。习惯质疑，学会质疑。 快餐文化时代与深度思考能力快餐文化时代与深度思考能力 数学建模数学建模ABCABC8/44 数学建模的基本要素lThe three most fundamental i

5、deas in mathematical modeling are transience, permanence, and optimality. 9/44 1. 1. 模型准备模型准备 在建模前应对实际背景有尽可能深入的了解，明确在建模前应对实际背景有尽可能深入的了解，明确所要解决问题的目的和要求，收集必要的数据与信息。所要解决问题的目的和要求，收集必要的数据与信息。归纳为一句话：归纳为一句话： 深入了解背景，明确目的要求，收集必要信息。深入了解背景，明确目的要求，收集必要信息。 95B95B：天车与冶炼炉作业调度天车与冶炼炉作业调度优化目标优化目标 05B 05B：DVDDVD租赁租赁约束

6、条件约束条件 09B 09B：眼科病床的合理安排：眼科病床的合理安排数据分析与处理数据分析与处理- -建立模型的大致步骤建立模型的大致步骤 10/44 2. 2. 模型假设模型假设 在充分消化相关信息的基础上，将实际问题理想在充分消化相关信息的基础上，将实际问题理想化、简单化、线性化，紧紧抓住问题的本质及主要因化、简单化、线性化，紧紧抓住问题的本质及主要因素，作出既合情合理，又便于数学处理的假设。归纳素，作出既合情合理，又便于数学处理的假设。归纳为一句话：为一句话： 充分消化信息，抓住主要因素，作出恰当假设。充分消化信息，抓住主要因素，作出恰当假设。 96A96A：最优捕鱼策略：最优捕鱼策略

7、05B 05B：DVDDVD租赁租赁建立模型的大致步骤建立模型的大致步骤 11/44 3. 3. 模型建立模型建立 用数学语言描述问题用数学语言描述问题 选择适当数学工具选择适当数学工具 完整，有效，清晰完整，有效，清晰 正确翻译问题，合理简化模型，选择适当方法。正确翻译问题，合理简化模型，选择适当方法。 12A 12A（夏令营）（夏令营）- -深圳人口与医疗需求预测深圳人口与医疗需求预测建立模型的大致步骤建立模型的大致步骤 12/44 4. 4. 模型求解模型求解 就复杂一些的实际问题而言，能得到解析解更好，就复杂一些的实际问题而言，能得到解析解更好，但更多情形是求数值解。对计算方法与应用软

8、件掌握的但更多情形是求数值解。对计算方法与应用软件掌握的程度，以及编程能力的高低，将决定求解结果的优化程程度，以及编程能力的高低，将决定求解结果的优化程度及精度。度及精度。 掌握计算方法，应用数学软件，提高编程能力。掌握计算方法，应用数学软件，提高编程能力。 建立模型的大致步骤建立模型的大致步骤 13/44 5. 5. 模型检验模型检验 模型建立后，可根据需要进行以下检验分析。模型建立后，可根据需要进行以下检验分析。 结果检验：将求解结果结果检验：将求解结果“翻译翻译”回实际问题中，检验回实际问题中，检验模型的合理性与适用性。模型的合理性与适用性。 稳定性分析：分析模型对参数变化的稳定性分析：

9、分析模型对参数变化的“容忍容忍”程度。程度。 敏感性分析：分析目标函数对各变量变化的敏感性。敏感性分析：分析目标函数对各变量变化的敏感性。 97A97A：零件参数设计：零件参数设计 误差分析：对近似计算结果的误差作出估计。误差分析：对近似计算结果的误差作出估计。 培育工程素养，重视检验环节，迭代完善模型培育工程素养，重视检验环节，迭代完善模型建立模型的大致步骤建立模型的大致步骤 14/44传球游戏问题传球游戏问题 A A，B B，C C，D D，E E五人站成一个圆圈玩传球游戏，规五人站成一个圆圈玩传球游戏，规定每人只能传给自己旁边的人，由定每人只能传给自己旁边的人，由A A开始。开始。 问：

10、传球十次后球回到问：传球十次后球回到A A手中的概率是多少？手中的概率是多少？ 15/44 概率解法概率解法 蒙特卡罗解法蒙特卡罗解法 计算机模拟传球计算机模拟传球N N回合，每回合传回合，每回合传1010次，记录下次，记录下N N回回合传球中球最终回到合传球中球最终回到A A手中的次数手中的次数L L，则，则 P = L/N P = L/N 510109212722PC传球游戏问题传球游戏问题16/44 递归解法递归解法 设设A An n表示第表示第n n次传球后，球在次传球后，球在A A手中的概率，同样定手中的概率，同样定义义B Bn n，C Cn n，D Dn n，E En n。由传球规

11、则及对称性可知：。由传球规则及对称性可知： B Bn n = E = En n C Cn n = D = Dn n由概率计算得到如下关系：由概率计算得到如下关系：A An n = 1/2B= 1/2Bn-1 n-1 + 1/2E+ 1/2En-1n-1 = B = Bn-1n-1B Bn n = 1/2A= 1/2An-1 n-1 + 1/2C+ 1/2Cn-1n-1 = 1/2B = 1/2Bn-2 n-2 + 1/2C+ 1/2Cn-1n-1 C Cn n = 1/2B= 1/2Bn-1 n-1 + 1/2D+ 1/2Dn-1n-1 = 1/2B = 1/2Bn-1 n-1 + 1/2C+

12、 1/2Cn-1n-1 传球游戏问题传球游戏问题17/44于是得到如下递推式：于是得到如下递推式：B Bn n= 1/2B= 1/2Bn-2 n-2 + 1/2+ 1/22 2BBn-2n-2 + 1/2 + 1/23 3BBn-3n-3 + + + 1/2 + 1/2n-2n-2BB2 2 + 1/2C+ 1/2C2 2由于由于B B1 1 = 1/2 = 1/2 ， C C2 2 = 1/2B= 1/2B1 1 + 1/2C+ 1/2C1 1 = 1/2 = 1/22 2, ,所以可递推得到：所以可递推得到： A A1010 = B = B9 9 = 127/2 = 127/29 9传球游

13、戏问题传球游戏问题18/44 下面谈谈关于数学建模下面谈谈关于数学建模中的思维训练中的思维训练的几点的几点认识认识。 1. 1. 直觉直觉透视现象本质的洞察力透视现象本质的洞察力 2. 联系联系后知识体系的建构后知识体系的建构 3. 3. 求异求异批判精神与批判精神与深度思考习惯的养成深度思考习惯的养成 4. 4. 选择选择（平衡）（平衡）宏观把握与宏观把握与判断判断抉择能力抉择能力 5. 5. 归纳归纳思维模式的完善思维模式的完善 6. 6. 素养素养模型检验意识以及对结果的敏感性模型检验意识以及对结果的敏感性 数学建模数学建模教学理念教学理念：提升人们对自然现象提升人们对自然现象“量化量化

14、思考思考”的意识、习惯与能力。的意识、习惯与能力。 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练19/44 1. 1. 直觉直觉透视现象本质的洞察力透视现象本质的洞察力 创新离不开直觉，对现实世界繁杂现象背后的潜在创新离不开直觉，对现实世界繁杂现象背后的潜在规律的直觉能力，往往引领创新思路的形成。数学建模规律的直觉能力，往往引领创新思路的形成。数学建模中有许多这样的教学案例，其最终结论是与人们的中有许多这样的教学案例，其最终结论是与人们的“常常识识”相悖的，通过对此类案例的深入挖掘和剖析，能不相悖的，通过对此类案例的深入挖掘和剖析，能不断校正人们的断校正人们的“第一感觉第一感觉”的深刻程度与准确程

15、度，从的深刻程度与准确程度，从而培养人们更精准、更深刻的而培养人们更精准、更深刻的“量化思考能力量化思考能力”。 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练20/44 没有能力对自己的直觉进行自我批判的大学生，没有能力对自己的直觉进行自我批判的大学生，将注定不过是社会的看客。将注定不过是社会的看客。 中美大学中理工科大学新生掌握的物理知识的总中美大学中理工科大学新生掌握的物理知识的总量，有差不多一倍的差距，明显美不如中。但是他们量，有差不多一倍的差距，明显美不如中。但是他们的科学思维的能力却基本接近。的科学思维的能力却基本接近。 “大学生应该培养对直觉知识自我批判的能力大学生应该培养对直觉知识自

16、我批判的能力”21/48“大学生应该培养对直觉知识自我批判的能力大学生应该培养对直觉知识自我批判的能力”22/44 中国的大学教育过分注重使知识总量的增加。而中国的大学教育过分注重使知识总量的增加。而不注重对直觉能力自我批判能力的培养不注重对直觉能力自我批判能力的培养。学生知识和学生知识和创造性的关系就象透镜的成像和分辨率的关系一样，创造性的关系就象透镜的成像和分辨率的关系一样，经过大学之后，像大了，分辨率却没有改变。经过大学之后，像大了，分辨率却没有改变。 知识总量的增加与科学推理能力的增强之间没有知识总量的增加与科学推理能力的增强之间没有必然联系。必然联系。“大学生应该培养对直觉知识自我批

17、判的能力大学生应该培养对直觉知识自我批判的能力”23/44 举两个例子。举两个例子。 案例案例1. Lanchester 1. Lanchester 作战模型作战模型 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练24/44 乙方获胜条件：乙方获胜条件： k k 0 0等价于等价于平方律模型平方律模型 图图1. 1.常规战模型相轨线常规战模型相轨线 200 xxyyyr pbxar p 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练25/44 案例案例2. 2. 道路越多越通畅吗？道路越多越通畅吗？ 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练26/44 数学家研究结论：如果一个交通网络上每一条路的数学家研究

18、结论：如果一个交通网络上每一条路的通行时间都与这条路上的车子数量成线性关系，这个交通行时间都与这条路上的车子数量成线性关系，这个交通网络就一定存在一个纳什均衡点。它可能导致全体不通网络就一定存在一个纳什均衡点。它可能导致全体不利的情况发生，即出现布雷斯悖论现象。利的情况发生，即出现布雷斯悖论现象。 真实案例真实案例1 1：德国：德国, ,斯图加特市斯图加特市,1969 ,1969 年。年。 真实案例真实案例2 2：美国，纽约，：美国，纽约，19901990年世界地球日。年世界地球日。 真实案例真实案例3 3：韩国，清溪川。：韩国，清溪川。 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练27/44 2

19、. 联系联系后知识体系的建构后知识体系的建构 人们的知识体系是否完善不应只包括掌握知识数量人们的知识体系是否完善不应只包括掌握知识数量的多少，还应包括应用这些知识的的多少，还应包括应用这些知识的“软件软件”能力能力。类似类似于一个数据库的功能是否强大，不仅取决于数据存储量于一个数据库的功能是否强大，不仅取决于数据存储量的大小，还要取决于输入输出及检索功能的强弱。数学的大小，还要取决于输入输出及检索功能的强弱。数学建模教学应更多地关注于学习者这种关于知识的建模教学应更多地关注于学习者这种关于知识的“应用应用软件软件”的形成与强化。也就是说，我们在学的形成与强化。也就是说，我们在学习习中应有意中应

20、有意识地识地将将注意力放在注意力放在“联系联系”二字上，包括知识与知识之二字上，包括知识与知识之间的间的“联系联系”，知识与问题之间的，知识与问题之间的“联系联系”。 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练28/44概括地说，概括地说， “后知识体系后知识体系”= =“知识知识+ +联系联系” 成功的建模来自于两个理解：对问题的理成功的建模来自于两个理解：对问题的理解与对方法的理解。解与对方法的理解。 牛顿牛顿万有引力定律万有引力定律 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练“最小二乘法最小二乘法”与与“擦黑板擦黑板”29/44 最高响应比优先（最高响应比优先（HRRNHRRN）调度策略。）

21、调度策略。+=等待时间 服务时间优先级服务时间效率与公平兼顾效率与公平兼顾案例案例3. 3. 眼科病床的合理安眼科病床的合理安排排 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练30/44 案例案例4. 4. 水文观测站调整水文观测站调整 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练某地区内有个气象观测站（位置如图）。某地区内有个气象观测站（位置如图）。年来各站测得的年降水量如表一。为了节省开支，想要年来各站测得的年降水量如表一。为了节省开支，想要适当减少气象观测站。问题：减少哪些观测站可以使得适当减少气象观测站。问题：减少哪些观测站可以使得所得到的降水量的信息量仍然足够大？所得到的降水量的信息量仍然足

22、够大？31/44表一：表一：10年降水量信息年降水量信息x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x11x121981276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.21982251.6287.3349.5297.4227.8453.6321.5451.0466.2307.5421.1455.11983192.7438.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1357.0353.21984246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327

23、.0296.5423.01985291.7311.0502.4254.0245.6324.8401.0266.5251.3289.9255.4362.11986466.5158.9223.5425.1251.4321.0315.4317.4246.2227.5304.2410.71987258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.61988453.4365.5357.6258.1278.8467.2355.2228.4453.6315.6456.3407.21989158.5271.0410.2344.2250.0360

24、.7376.4179.4159.2342.4331.2377.71990324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.1 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练32/44 问题可以分解为以下几个问题：问题可以分解为以下几个问题： 删除哪几个站？删除哪几个站？ 如何预测被删除站的降水量信息？如何预测被删除站的降水量信息？ 如何度量被删除站的降水量预测信息量是否充分？如何度量被删除站的降水量预测信息量是否充分？标准差标准差降水量信息个性特征丰富程度的度量降水量信息个性特征丰富程度的度量表二：各站年降水量标准差表二：各站年降水

25、量标准差xx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x11x12x95.176.8102.760.789.389.436.180.7103.854.382.134.9 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练33/44 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练 关联主义（关联主义（connectivismconnectivism）将学习看）将学习看作创建连接和构建网络的过程。知识可被作创建连接和构建网络的过程。知识可被视为培养和遍历这些连接的能力，并能及视为培养和遍历这些连接的能力，并能及时获得专业信息。时获得专业信息。34/44 3. 3. 求异求异批判精神与批判精神与深度思考习惯的养成深

26、度思考习惯的养成 批判精神以及深度思考能力的弱化现象。批判精神以及深度思考能力的弱化现象。 案例案例5. 5. 行走步长问题行走步长问题脚的运动速度脚的运动速度 vlv？2v？ 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练35/44 案例案例6. 6. 锁具装箱问题锁具装箱问题序贯销售序贯销售 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练装箱分奇偶两类，按槽高装箱分奇偶两类，按槽高H H 及字典序从小到大装箱。及字典序从小到大装箱。 H H8 8： （1112311123）（）（1113211132）（）（1121311213）（）（1123111231）（）（1132111321） H H9 9：

27、（1112411124）（）（1114211142）（）（1121411214）（）（1122311223） 这样，每一个锁具在一批锁具中的位置是唯一确定的。计算这样，每一个锁具在一批锁具中的位置是唯一确定的。计算任一锁具的最小可互开距离，再对所有最小距离求极小值，得到任一锁具的最小可互开距离，再对所有最小距离求极小值，得到计算结果为：计算结果为：2562. 2562. 故序贯销售时团体顾客最大购买量为故序贯销售时团体顾客最大购买量为4242箱时不会出现互开现象。箱时不会出现互开现象。 36/44 案例案例7. 7. 锁具装箱问题锁具装箱问题抱怨度度量抱怨度度量 推理过程：推理过程： 买得越多

28、平均互开对数越多，平均互开对买得越多平均互开对数越多，平均互开对数越多抱怨程度越大数越多抱怨程度越大 买得越多抱怨程买得越多抱怨程度越大。度越大。 顾客的抱怨程度一方面取决于购买的总数顾客的抱怨程度一方面取决于购买的总数量，另一方面取决于检验的结果，并且从心理量，另一方面取决于检验的结果，并且从心理学的角度考虑，顾客更偏重于检验结果。学的角度考虑，顾客更偏重于检验结果。 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练37/44 4. 4. 选择选择（平衡）（平衡）宏观把握与宏观把握与判断判断抉择能力抉择能力 如果说，通过课堂文化知识的学习，如果说，通过课堂文化知识的学习，我们我们掌握了掌握了一定的零

29、件设计制造能力，那么，完成一个现实问题的一定的零件设计制造能力，那么，完成一个现实问题的数学建模过程，可以比喻为设计制造一台机器，其中涉数学建模过程，可以比喻为设计制造一台机器，其中涉及建模目标的选择以及各种制约因素下的及建模目标的选择以及各种制约因素下的取舍取舍能力。数能力。数学建模过程中存在大量的需要作出学建模过程中存在大量的需要作出因素取舍因素取舍与与方案抉择方案抉择的场合，是一个需要不断作出选择的过程。的场合，是一个需要不断作出选择的过程。学会选择，学会选择，是一种宏观把握能力，是一种判断能力，是一种宏观把握能力，是一种判断能力，只有在解决实只有在解决实际问题的过程中方能得到训练际问题的过程中方能得到训练，需要有意识地培育这样，需要有意识地培育这样一种能力。一种能力。 数学建模中的思维训练数学建模中的思维训练38/44 案例案例8. 8. 小行星碰撞地球小行星碰撞地球方向的选择方向的选择 案例案例9. 9. 缆车运行计划缆车运行计划 假设你是一位滑雪场的经理，你的顾客总是抱怨因假设你是一位滑雪场的经理，你的顾客总是抱怨因排队等候缆车而花费太多的时间。排队等候缆车而花费太多的时间。出于安全考虑，出于安全考虑，一般一般缆车缆车车厢车厢之间