向量组与矩阵

1、数理学院数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS一、向量组与矩阵一、向量组与矩阵由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. .12mA()m nAnmija反之每个矩阵可以得到 个 维列向量 , , .A向量组称为阵 的列向量组矩12n aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj2122222111121112inm,21m个n维的行向量所组成的向量组 构成矩阵： n个m维的列向量所组成的向量组 构成矩阵： n,21),(21nB数理学院S

2、CHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS,()m nAmnija类似地 矩阵又有 个 维行向量 aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn2121222211121112im向量组 称为矩阵A的行向量组行向量组m21,问题：是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题？问题：是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题？数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS例如研究列向量组例如研究列向量组 的线性相关性，只须考察方程的线性相关性，只须考察方程12,m 1 1220mmxxx是否有非零解。是否有非零解。利用矩阵乘法，方程变形为利用矩阵乘法，方程

3、变形为11 12121121222211221000mmmmnnmma xa xa xa xa xaxa xa xa x把分量都写出来得这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：0,2121mmxxx数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS行向量组行向量组 线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是 12,m ( ).r Am线性无关的充要条件是( ).r Am,mnmn 时个 维向量总是线性相关的.推论推论定理定理 1 1 若列向量组若列向量组 所构造的矩阵所构造的矩阵A A，则，则 12,m 例例 1 1 讨

4、论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性123123(1)(2,3),( 3,1),(0,2)(2)(1,3, 2,2),(0,2, 1,3),( 2,0,1,5) 解解 （1）向量组是）向量组是3个二维向量，故线性相关。个二维向量，故线性相关。（2）由矩阵）由矩阵( )23,.r A 所以故向量组线性相关532112023201A000000620201初等行变换数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS12,s(1)如果如果 线性相关，线性相关， 那么那么 也线性相关。也线性相关。 12,s 定理定理 3 3 在在r维向量组维向量组 的各向量添上的

5、各向量添上n-r个分量变成个分量变成n维维 向量组向量组 。12,s 12,s 12,s(2)如果如果 线性无关，那么线性无关，那么 也线性无关。也线性无关。 12,s ,.,2121 nipipipiiniiiaaaaaa 定理定理 2 2 设设p1,p2, ,pn为为1，2，n的一个排列，的一个排列， 和和 为两向量组，其中为两向量组，其中 s ,21s ,21即即 是对是对 各分量的顺序进行重排后得到的向量组，各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有则这两个向量组有相同的线性相关性相同的线性相关性。 s ,21s ,21数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AN

6、D PHYSICS例例 2 设向量组设向量组 且且t 互不相等，互不相等，证明证明 线性无关。线性无关。,1), 1(12nritttniiii ir ,21证明：证明： 考察向量组考察向量组.1), 1(12ritttriiii 设设,11111213233122221121121 rrrrrrrrttttttttttttB 则其行列式则其行列式|B|为范德蒙行列式，为范德蒙行列式，由于由于t 互不相等，所以互不相等，所以|B|0，ir ,21所以所以 线性无关，线性无关，r ,21从而从而 线性无关。线性无关。数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS二、极

7、大线性无关组与向量组的秩定义定义1 1 一向量组的一个部分组称为一个一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组极大线性无关组，如果这个，如果这个 部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任 意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。 极大无关组中向量的个数就称为极大无关组中向量的个数就称为向量组的秩向量组的秩 。 易知有如下结论：易知有如下结论： （1 1）一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。）一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。 （2 2）向量组线性无关

8、当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数。）向量组线性无关当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数。例例 3 3 基本向量组基本向量组 是是Rn 的极大无关组。的极大无关组。12,n 解解 由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由维向量都可以由它线性表示（即坐标表示）。它线性表示（即坐标表示）。数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS定理定理 4 4 如果向量组如果向量组 能由向量组能由向量组 线线 性表出，且向量组性表出，且向量组A线性无关，那么线性无关，那么 。 sr sB,:21rA,:21证明证明

9、),(,21rkkkKBKA 其中其中不妨设所给向量都是列向量，记矩阵不妨设所给向量都是列向量，记矩阵,21）（rA ),(21sB 由已知可得由已知可得 isiissisiiikkkkkk21212211),( ., 2 , 1,21rikkkkisiii 记记则则反证法，假设反证法，假设 ，则矩阵，则矩阵K K 的列向量组线性相关，即有不全为的列向量组线性相关，即有不全为0 0的数的数sr rxxx,21使得使得oxxxKxxxkkkkxkxkxrrrrr 2121212211),(,0 即即数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS002121 BxxxB

10、KxxxArr02211 rrxxx 即即与向量组与向量组A 线性无关矛盾，所以线性无关矛盾，所以sr 推论推论 2 2 等价的向量组必有相同的秩等价的向量组必有相同的秩 。推论推论 1 1 等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量 。推论推论 3 3 秩为秩为r r的向量组中任意含的向量组中任意含r r个向量的线性无关的部分组个向量的线性无关的部分组 都是极大线性无关组。都是极大线性无关组。 数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS三、向量组的秩与矩阵的秩的关系三、向量组的秩与矩阵的秩的关系 aaaaaaaaaaaaA

11、mnmminiinn21212222111211设矩阵设矩阵 则矩阵则矩阵A A可以看作由可以看作由m m个个n n维行向量或维行向量或n n个个m m维列向量构成，从而可以得维列向量构成，从而可以得到一个行向量组和列向量组。到一个行向量组和列向量组。矩阵矩阵A A行向量组的秩称为行向量组的秩称为A A的的行秩行秩，列向，列向量组的秩称为量组的秩称为列秩列秩。数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS定理定理 5 5 矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩。矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩。证证 设矩阵设矩阵A的行秩为的行秩为r1, A的列秩为的列秩为r2。那么那么, A

12、中有中有r1个行向量线性无关个行向量线性无关,从而从而A中有一个中有一个r1级子式级子式D不为零不为零,那么那么A中中子式子式D所在的所在的r1个列向量也线性无关个列向量也线性无关;即有即有 。再由矩阵秩的定义，。再由矩阵秩的定义，12rr12( )rrr A证毕。证毕。定理定理 6 6 如果矩阵如果矩阵A A经过有限次初等行变换变为经过有限次初等行变换变为B B, , 则则A A的列向量与的列向量与B B 中对应的列向量有相同的线性关系。中对应的列向量有相同的线性关系。 因此，我们不仅可以利用矩阵的因此，我们不仅可以利用矩阵的初等行变换初等行变换求出列向量的秩，还可以进求出列向量的秩，还可以

13、进一步确定其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组。一步确定其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组。12rr同理可证同理可证 。12rr因而因而 。数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS例例 4 4 求下面向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极求下面向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极大无关组的向量用该极大无关组线性表示：大无关组的向量用该极大无关组线性表示：1(1,4,1,0,2)T3( 1,2,5,6,2)T 2(2,5, 1, 3,2)T 4(0,2,2, 1,0)T解解 把向量组按把向量组按列列排成矩阵排成矩阵

14、A1210121045220120115200010361000022200000A初等行变换( )3,3.r A 可见所以向量组的秩为数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS10300120000100000000对以上行阶梯形矩阵继续施行初等行变换化为行最简形得1246, 由上面的定理 可得是一个极大线性无关组31232.且注意注意： 求向量组的秩和极大线性无关组时，若所给向量是行向求向量组的秩和极大线性无关组时，若所给向量是行向量，也要先按量，也要先按列列排成矩阵，再作初等行变换。若没有要求交排成矩阵，再作初等行变换。若没有要求交其余向量用所求的极大线性

15、无关组线性表示，则只要化为其余向量用所求的极大线性无关组线性表示，则只要化为行行阶梯形阶梯形就行了，而不必化为就行了，而不必化为行最简形行最简形。数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS例例 5 5 求下面向量组的秩和一个极大无关组：12345(2,1,4,3),( 1,1, 6,6),( 1, 2,2,9),(1,1,2,7),(2,4,4,9). 解解 把向量组按列排成矩阵A2111211214112140111046224000133697900000A初等行变换( )3,3.r A 可见所以向量组的秩为124, 且是它的一个极大线性无关组数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS四、小结初等变换法求秩3. 向量组的秩的概念及与矩阵秩的关