lecture1 introduction

1、 经济管理数学基础高等数学高等数学北京工商大学嘉华学院北京工商大学嘉华学院基础部数学组基础部数学组CALCULUS Teacher : 徐徐 慧慧Office：基础部基础部(教教1楼楼3层层)E-mail：maths-Password：123456 (公共邮箱公共邮箱) (校内用校内用)User name：xuhui Password：xuhuiQQ号：1600138108学期成绩学期成绩期末成绩期末成绩平时成绩平时成绩1学期成绩学期成绩=期末成绩期末成绩 50%+平时成绩平时成绩 50% 平时成绩平时成绩( (满分满分100100分分) )：1) 课堂考勤

2、课堂考勤 20分分 2) 作作 业业 20分分 3) 测测 验验 6060分分2期末成绩：期末考试卷面成绩期末成绩：期末考试卷面成绩课堂提问课堂提问 加分加分Chapter1 Function,limit Chapter1 Function,limit and continuityand continuityFunction第一章第一章 函数、函数、 极限与连续极限与连续目 录前一页后一页退 出Chapter 1 Function, limit and continuity1 1 基本初等函数、复合函数与初等函数基本初等函数、复合函数与初等函数Basic elementary function

3、、composite function and elementary function2 2 简单的经济简单的经济函数函数 Simple economic function3 3 极限的概念极限的概念Definition of a limit第一章第一章 函数、函数、 极限与连续极限与连续目 录前一页后一页退 出Chapter 1 Function, limit and continuity4 4 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量Infinitesimal and infinite5 5 极限的性质与运算极限的性质与运算Properties of limit and calculating

4、 limits6 6 两个重要极限两个重要极限Two important limits第一章第一章 函数、函数、 极限与连续极限与连续目 录前一页后一页退 出Chapter 1 Function, limit and continuity7 7 函数的连续性函数的连续性Continuity of a function8 8 极限在经济中的应用极限在经济中的应用Applications of limit in economy1 1 基本初等函数、复合函数与初等函数基本初等函数、复合函数与初等函数一、与实数有关的知识一、与实数有关的知识( (Relative Knowledge about Rea

5、l Number ) )二、基本初等函数二、基本初等函数（Basic Elementary Function）三、复合函数三、复合函数（Composite Function）1 1 基本初等函数、复合函数与初等函数基本初等函数、复合函数与初等函数四、初等函数四、初等函数（Elementary Function）(2) 幂函数(Power Function)(3) 指数函数(Exponential Function) (4) 对数函数(Logarithmic Function) 二、基本初等函数二、基本初等函数(yx为为任任何何实实数数) ) (0,1)xyaaalog (0,1)xayaa(1

6、) 常函数(Constant Function)ycsin ,cos ;tan ,cot ;sec ,csc ;yx yxyx yxyx yx(6) 反三角函数(Inverse Trigonometric Functions) (5) 三角函数(Trigonometric Functions) arcsin ,arccos ;asec ,cscrctan ,co;t ;yx yxyx yyarcx yarcrcxxa(2). 幂函数幂函数(yx为为实实数数) ) oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy ,fD R与 有关 奇偶性与 有关 单调性与 有关 (0,1)xyaaa(3).

7、 指数函数xya xya (1)a O(01)a(,)D (0,)fR 单调递增1a 单调递减01a (4). 对数函数)1, 0(log aaxyaxyalog logayx )1( a(01)a(0,)D (,)fR 单调递增1a 单调递减01a公式：lnllnnxyxynlnlmxxmlnxexlnxexlnllnnxyxy(5). 三角三角函数正弦函数正弦函数sinyxcosyx余弦函数余弦函数(,)D 1,1fR (,)D 1,1fR 正切函数正切函数tanyxcotyx余切函数余切函数2DRk(,)fR DRk (,)fR正割函数正割函数secyxcscyx余割函数余割函数2DRk

8、(, 11,)fR DRk(, 11,)fR (6). 反三角函数反三角函数arcsinyx反正弦函数反正弦函数arccosyx反余弦函数反余弦函数 1,1D ,2 2fR 0, fR 1,1D 性质：有界函数 arcsinyx反正弦函数反正弦函数有界函数 arccosyx反余弦函数反余弦函数单调递增单调递减奇函数 (arcs nsini)xx(arcc scoso)xxarctanyx反正切函数反正切函数arccotyx反余切函数反余切函数(,)D (,)2 2fR (0, )fR(,)D (arcc tcoto)x性质： 反正切函数反正切函数arctanyx反余切函数反余切函数arccot

9、yx单调递增单调递减有界函数 有界函数 奇函数 (arct ntana)xxx三、复合函数三、复合函数(Composite Function)例如例如,yu 21ux21yx 称为由称为由 与与 复合而成的复合而成的复合函数；复合函数；21yxyu 21ux ( ),yf g xxD 设函数设函数 的定义域为的定义域为 ，函数，函数 在在 上有定义，且上有定义，且 ，则由下式确定，则由下式确定的函数的函数( )yf u1D( )ug x1()g DDD称为由函数称为由函数 和函数和函数 构成的复构成的复合函数，它的定义域为合函数，它的定义域为 ，变量，变量 称为中间变称为中间变量。量。u (

10、)ug x( )yf uD ( )yf g x即即或或()( )yfgx说明：说明：两个以上函数也可构成复合函数。两个以上函数也可构成复合函数。例如例如,yulg ,uv21vx2lg(1)yx2,yu cot ,uv2xv2(cot)2xy 复合函数的分解复合函数的分解 把一个复合函数分成不同层次的函数，叫做把一个复合函数分成不同层次的函数，叫做复合函数的复合函数的分解分解。例如例如2sin(1)yxsin ,yu21uxsin(2 )22logxxy2log ,uy sin ,uv22xxv 每一层都是每一层都是基本初等函数或基本初等函数或基本初等函数基本初等函数的四则运算的四则运算练习：

11、 (1) yutue3txy 3xe(2) sin2yxsin ,yu2uxarctan(1)(3) 2xy2 ,uy arctan ,ut1tx2(4) (-1)sin,f xxxx2sin(1)32xxx( )f x则则 四、初等函数四、初等函数由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过有限次的有限次的四则运四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一一个式子个式子表示的函数，称为表示的函数，称为初等函数初等函数，否则称否则称为为非初等函数非初等函数。初等函数举例初等函数举例: :2 arctanyx211xx eyx 2ln(cossin2 )y

12、xx非初等函数举例非初等函数举例: :符号函数符号函数10sgn0010 xyxxx10 xyx是有理数是有理数是无理数是无理数狄利克雷函数狄利克雷函数取整函数取整函数 yx注：注：分段函数一般不为初等函数。分段函数一般不为初等函数。2yx 可表为可表为故为初等函数。故为初等函数。,0,0 xxyxx1.2 1.2 简单的经济函数简单的经济函数一、需求函数与供给函数一、需求函数与供给函数 (Demand Function and Supply Function)二、成本函数、收入函数和利润函数二、成本函数、收入函数和利润函数(Cost Function, Revenue Function an

13、d Profit Function)一、需求函数与供给函数一、需求函数与供给函数 需求函数需求函数（demand function）是指在某一特定）是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量和时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.()ddQQP ( )ddQQPabP （线性需求函数）（线性需求函数） 供给函数供给函数（supply functionsupply function）是指在某一）是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的特定时期内，市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因

14、素之间的数供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系量关系. .()ssQQ P ( )ssQQ PcdP （线性供给函数）（线性供给函数）令令dsQQ 得得均衡价格均衡价格0acPPbd （市场均衡市场均衡） 当市场价格高于均衡价格时，将出现当市场价格高于均衡价格时，将出现供供过于求过于求的现象，而当市场价格低于均衡价格的现象，而当市场价格低于均衡价格时，将出现时，将出现供不应求供不应求的现象的现象. .答案：答案：例例1 1 某种商品的供给函数和需求函数分别为某种商品的供给函数和需求函数分别为求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量. .2510,sQP2

15、00 5dQP二、成本函数、收入函数和利润函数二、成本函数、收入函数和利润函数（成本函数）（成本函数） 成本函数成本函数（cost function）表示费用总额与产）表示费用总额与产量量(或销售量或销售量)之间的依赖关系，产品成本可分为之间的依赖关系，产品成本可分为固定成本和变动成本两部分固定成本和变动成本两部分.所谓所谓固定成本固定成本（constant cost），是指在一定时期内不随产量），是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本；所谓变化的那部分成本；所谓变动成本变动成本（variable costs），是指随产量变化而变化的那部分成本），是指随产量变化而变化的那部分成本.( )(0

16、)CC xx （收入函数）（收入函数）（利润函数）（利润函数）4803.6Px 1.3 1.3 极限的概念极限的概念一、数列的极限一、数列的极限 (limit of a sequence )二、函数的极限二、函数的极限（limit of a function）三、变量的极限三、变量的极限（limit of a variable）数列的定义数列的定义 一个定义在正整数集合上的函数一个定义在正整数集合上的函数 ( (称为整标函数称为整标函数) )，当自变量，当自变量 按正整数按正整数 1, 2, 3, 1, 2, 3, 依次增大的顺序取值时，函数值按相应依次增大的顺序取值时，函数值按相应的顺序排成

17、一串数：的顺序排成一串数：( )nxf nn(1),(2),(3),( ),ffff n123,nxxxx一一. . 数列的极限数列的极限123,nxxxx这些实数这些实数 按照下标按照下标 从小到大排列得到的从小到大排列得到的一个序列一个序列nxn称为一个无穷数列，简称称为一个无穷数列，简称数列数列。简记为数列。简记为数列 。数列中的每一个数称为数列的。数列中的每一个数称为数列的项项， 称为数列的称为数列的一般项一般项。nxnx数列的例子：数列的例子：例例1 112n例例2 2例例3 31( 1)2n 例例4 411n 1 1 1111,2 4 8 16 32 643 4 5 6 72,2

18、3 4 5 60,1,0,1,0,121,n 1,3,5,7,9,11,10 无无数列极限的定性描述：数列极限的定性描述：limnnxa或或()nxa n 如果如果 无限增大时，数列无限增大时，数列 的通项的通项 无限趋无限趋近于常数近于常数 ，则称该数列以，则称该数列以 为极限，记作为极限，记作nanxnxa此时也称该数列收敛。此时也称该数列收敛。如果如果 时，时， 不以任何常数为极限，则称不以任何常数为极限，则称数列数列 发散。发散。n nxnx数列极限的例子：数列极限的例子：例例1 112n例例2 2例例3 31( 1)2n 例例4 411n 1 1 1111,2 4 8 16 32 6

19、43 4 5 6 72,2 3 4 5 60,1,0,1,0,121,n 1,3,5,7,9,11,10 无无1lim(1)1nn1lim02nn lim(21)nn 1( 1) lim2nn 不存在不存在性质：性质：(1)(1). . 收敛数列的极限唯一。收敛数列的极限唯一。(2). (2). 收敛数列必有界。收敛数列必有界。推论：推论： 无界的数列发散。无界的数列发散。注意：注意： 有界的数列不一定收敛。有界的数列不一定收敛。例如：例如： 0,1,0,1,0,1发散发散 性质：性质：(3). (3). 收敛数列的保号性收敛数列的保号性如果如果 ，且，且 ，那么存在正，那么存在正limnnxa(0)a 整数整数 ，当，当 时，都有时，都有 。0N nN0nx 推论推论1 1：如果如果 ，且，且 ，那么存在正，那么存在正limnnxa(0)a 整数整数 ，当，当 时，都有时，都有 。0N nN0nx 性质：性质：推论推论2 2：如果数列如果数列 从某项起有从某项起有 ( (或或 ) )0nx nx0nx 且且 ，那么，那么 或或 。 limnnxa0a (0)a 子数列子数列设有数列设有数列 ，若，若 是一列正整是一列正整nx(