几何与代数第一章

1、上页下页几何四步曲 在历史上最早出现（和代数、分析比较） 古希腊时代，阿基米德找出球与外切圆柱体积之比为2:3 随后的1800余年中，几何学徘徊不前。因局限于综合推理 17世纪笛卡儿（法）把代数知识运用到几何上，以坐标代表点，以方程代表曲线和曲面。几何重复生机 本世纪50年代后，几何再遭忽视。线性代数占据重要位置上页下页第第1 1章章 几何空间中的向量几何空间中的向量第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算1.定义（向量） 既有数值大小（非负）， 又有方向的量。等表示或用c b a2.定义（范数/模） 向量 的数值大小|一、向量的概念一、向量的概念上页下页4.定义共线和 /位于同一直线上

2、，或位于相互平行的直线上思考： 两个向量 三个向量 线性相关 平行？共面？3.定义| 且方向相同；| 且方向相反。上页下页引例引例:力的合成-平行四边形法 三角形法注1：和与起点a的选取无关1.1.加法运算：加法运算：3：加法法则（四条） 4：向量可以相加，但不可以比较大小|5：范数可比较大小二、向量的线性运算及其性质二、向量的线性运算及其性质abcd)()4()3()()(2() 1 (运算法则：运算法则：2：减法上页下页2.2.数乘运算：数乘运算：k注1：数乘向量性质（四条）注2：线性运算、单位向量、向量空间（线性空间）kkklklkkllk)()4()(3()()()2(1 ) 1 (运

3、算法则：运算法则：3 3. 模的性质：模的性质：单位向量，；，当且仅当，且1.)3()2(00) 1 (0kk上页下页三、向量的共线与共面三、向量的共线与共面1. 共线共线： 方向相同或相反 约定：零向量共线于任何向量定理定理1.61.6：krk，使得唯一共线与则向量若向量,特别地，（反向）（同向）时，当| |1|推论推论：00lklk，则，且不平行与设上页下页2.2.共面共面：将向量的支点放在同一点时，它们在同一平面上。 （或，平行于同一平面的向量）唯一），（共面，与，则不平行于设定理lklk 2.1推论1：00,321321kkkkkk，则不共面，若平行六面体332211321321,3

4、. 1kkkkkk，使得，数，必存在唯一的一组实不共面，则设定理上页下页空间解析几何：用数量来研究向量的问题，空间解析几何：用数量来研究向量的问题， 类似于平面解析几何需引入空间坐标系的概念。类似于平面解析几何需引入空间坐标系的概念。 回顾：回顾：332211321321,，使得，数，必存在唯一的一组实不共面，则设ognp113322xzym第二节第二节 空间坐标系空间坐标系上页下页一、仿射坐标系一、仿射坐标系 定义（仿射坐标系）定义（仿射坐标系）： 空间中一点o以及三个有次序的不共面向量e1, e2, e3, 构成空间中一仿射坐标系，记为o; e1, e2, e3 为坐标原点。标，在该仿射坐

5、标系下的坐为称则由上述定理知：注ozyxzeyexe),( ,1321标的关系空间点的坐标与向量坐点的坐标，则：在坐标系中，设注 ),(2zyxmom上页下页1.1.定义（直角坐标系）：定义（直角坐标系）：e1, e2, e3为单位向量且两两垂直 此时坐标向量记为i, j, k注1：三坐标轴，三坐标平面两两垂直注2：规定x,y,z轴的正方向，使之成右手系定理定理：向量在坐标系o;i,j,k上的坐标x,y,z分别是 在相应坐标轴上的投影。即()i=x,()j=y,()k=z ),(3行向量：注zyxzkyjxizxyabomc二、直角坐标系二、直角坐标系上页下页2.2.定义（方向余弦）定义（方向

6、余弦）例例：已知=（-3，6，2）,求的方向余弦和与平行的单位向量 注2：单位向量的表示法（两个）注1：|=？（勾股定理） 在空间直角坐标系中，向量 与三个坐标向量 的夹角 称为向量的方向角；kji,),0(, 方向角的余弦 称为向量 的方向余弦。cos,cos,cos上页下页第三节第三节 向量的内积、外积和混合积向量的内积、外积和混合积1.引例（做功引例（做功）力位移cos| | |cos|功即方向上的功的分量在位移力2.2.定义两向量间的夹角：定义两向量间的夹角：(i)已知两个非零向量，经平行移动后使它们有共同的始点(ii)夹角的范围无向角(iii)几种类型aa/一、两个向量的内积一、两个

7、向量的内积上页下页3.3.内积定义内积定义),cos(| ,),cos(|即或记为的内积规定为一实数，二向量注1:内积是数，非向量。规定:零向量和任何向量正交（垂直） 定理：定理：0 内积的运算法则内积的运算法则 正定性交换律线性性（k的符号） 分配律（重要） 正交，记为与时，称的夹角为和2/注4:22|)()( ,|注3:00,，则中若有一为注2:上页下页4.4.向量投影定义：向量投影定义：注：投影是一数的代数长。为）即（上的投影，在为），我们称（注：类似于定义ob 1?k 正交投影向量： )/( , obkobbabaobobbao，一般记，且上的正交投影向量，在为，则称的支线的垂线，交点

8、作的终点，由共一始点obaobaeeojeee)(,pr或的投影，记为上在表示向量为单位向量，则如果上页下页例例1 1：证明分配律：证明分配律)(例例2 2：试证：试证 的三条高交于一点。的三条高交于一点。abcafbcds上页下页1.11 外积定义外积定义：形成一右手系。，且使，方向垂直于它的范数为，外积是一个向量，记为的和 ),sin(| | 注1： |s从几何上看，注2： /)( (ii) )(，则，若iiii 性质性质： 反交换律 结合律 分配律例例：平行？与取何值时，不平行，问当，已知kkk49二、两个向量的外积二、两个向量的外积上页下页重点回顾 内积 外积 交角 cos sin 垂

9、直 平行 应用 平行四边形上页下页有了坐标，便将 几何运算代数运算1.1.线性运算线性运算),( ),(321321bbbaaa加法 数乘 距离2.2.内积内积 01 jkkjikkiijjikkjjii?|2?),cos(?)(三、向量运算的坐标表示三、向量运算的坐标表示上页下页3.3.外积外积 jikikjkjikkjjii?引进二阶行列式，规定221112212121yxyxyxyxyyxx太繁！再次书写外积的结果！222111zyxzyx注意： 的顺序 ,kji注：如何记忆？ 两两组合！上页下页4.4.体积与行列式体积与行列式po？的体积体问题：如何求平行六面已知：vs)(|注1：为何

10、加| | ？为左手系）（为右手系）（：注, , 2v上页下页定义（混合积）：定义（混合积）：的混合积称为向量,)(推论：推论：0)(,共面用行列式表示混合积用行列式表示混合积333222111)(zyxzyxzyx四、三个向量的混合积四、三个向量的混合积上页下页 3210331031体积。所张成的平行六面体的），（），（），（：计算由向量例为多少？边上的高），试求，（），（），（的顶点：已知例bdaccbaabc141 2652112acbd（30）上页下页一、平面的参数方程与一般式方程一、平面的参数方程与一般式方程其方程为，同时平行于，其过点则存在唯一的平面（以及两个不平行的向量给定点022

11、21110000), ),),( mcbacbazyxmmmm0在点理论根据：第四节第四节 平面及其方程平面及其方程vcuczzvbubyyvauaxx2102102101、平面的参数方程、平面的参数方程：上页下页0)(,00mmmm共面可知，由引：引：0 222111000cbacbazzyyxx即化简，并注意到和不平行,即(a1, b1, c1)k(a2, b2, c2)结论：结论：ax+by+cz+d=0 (a2+ b2+ c20)2、平面的一般方程、平面的一般方程：上页下页定理定理1.41.4：每一个平面可用ax+by+cz+d=0表出，其中a2+ b2+ c20定理定理1.41.4：

12、任给ax+by+cz+d=0，其中a2+ b2+ c20，则它恒代表 一个平面。000 acabzyadx，则不妨设0a上页下页定义（法向量）：定义（法向量）： 平面通过一点m0(x0, y0,z0)且垂直于一条直线l 设向量n/l, 则称n为平面的法向量，坐标(a,b,c)根据：根据：000nmmnmm平面方程：0)()()(000zzcyybxxa二、平面的点法式方程二、平面的点法式方程1、点法式方程、点法式方程上页下页),( ),( ),(333322221111zyxmzyxmzyxm已知：32211mmmmm，平行于则可化为过0 131313121212111zzyyxxzzyyxx

13、zzyyxx故确定平面的条件：确定平面的条件：三个不共线的点三个不共线的点2、三点式方程、三点式方程上页下页实质：三点式方程 m1（a，0，0）， m2（0，b，0）， m3（0，0，c），且 abc 0平面方程：平面方程：1czbyax3、截距式方程、截距式方程上页下页总 结平面： （一） 一点一点 + + 两个不平行的向量两个不平行的向量 （二） 一点一点 + + 法向量法向量例：例：求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程用两种方法（过原点）上页下页特殊平面1. a=00),()0 , 0 , 1 (cba2. d=0平面过原点3. d=a=0平面过x轴4. a=b=0平面/xoy平面

14、上页下页),(),(/ /. 12221112121cbacbann),(),( . 22222111121dcbadcba0),(),( . 322211121cbacba| |),cos( ) (. 421212121nnnnnn二面角相交和注意要加绝对值！三、两个平面的位置关系三、两个平面的位置关系上页下页!如何找出交线上的点),(0000zyxm解：解：不全为零即22112211221121, babaacaccbcbnn000222021110102211, 00 00zyxdzcybxadzcybxaxxcbcb解得代入）（可令为时，可设则当为什么?上页下页点到平面的距离：点到平面

15、的距离：dmmzyxmzyxm|),(),(00000111，则上的投影在d=?222111|cbadczbyaxnd上页下页直线：一个点 + 一个方向（直线的方向）1.1.参数方程参数方程方向数),( ),(0000pnmzyxmtmmmmlm00/上在直线根据：点第五节第五节 空间直线及其方程空间直线及其方程一、空间直线的参数方程与对称式方程一、空间直线的参数方程与对称式方程mtzzmtyymtxx000方程为：上页下页)(/0000tpzznyymxxmm000 0,zznyymxxpnm零时，则相应的分子也为中有为注：当2.2.对称式方程（标准方程、点向式方程）对称式方程（标准方程、点

16、向式方程）直线l的方向向量的坐标m，n，p称为直线l的方向数。上页下页),(),(22221111zyxmzyxm，不同点注：中点的表示（参数方程）3.3.两点式方程两点式方程121121121zzzzyyyyxxxx的直线方程为：，过两点21mm上页下页1.1.一般式方程一般式方程（两平面的交线）00 :22221111dzcybxadzcybxal2121nn 不平行于不平行于二、空间直线的一般式方程二、空间直线的一般式方程上页下页2. 2. 一般式与对称式间的互换一般式与对称式间的互换.063203:化为对称方程例：试将直线zyxzyxl解：解：21nnl)32如何取点？（见前（1）（2

17、）上页下页3.3.平面束平面束的表示是不唯一即可写成由上述可知lzyyxl032032原因：原因：过直线l的平面有无穷多个问题：问题：如何表示这些过l的平面（平面束）？0)32()32(022zyyx，考虑设上页下页例例.求点求点m0(6,7,0)关于平面关于平面:4x-2y-z-4=0:4x-2y-z-4=0的对称点的对称点m m1 1的坐标。的坐标。例例. .求过直线求过直线l: x+3y-5=0l: x+3y-5=0 x-y-2z+4=0 x-y-2z+4=0 且在且在x x轴和轴和y y轴上截距相等的平面方程。轴上截距相等的平面方程。 上页下页三、直线与平面、二直线之间的位置关系三、直

18、线与平面、二直线之间的位置关系1 1、两直线间的相互位置、两直线间的相互位置给定两条直线222111:tomomltomoml（1）若共面，则共面2121,mm平行相交重合（2）异面上页下页pzznyymxxl000:0:dczbyax已知：l/l2、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系上页下页的夹角。与直线称为平面的夹角的余角的方向向量与直线的法向量平面lsln则有，设),(),(pnmscban222222sinpnmcbacpbnamnsns四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 lln上页下页m0m0lm1注：d与m0的选择无关四、点到直线的距离四、点到直线的距离pzznyymx

19、x000设直线l方程为：为的距离到直线则，外一点直线dlmzyxml11111),(smmsd10上页下页的投影直线方程在求例0:0101:. 1zyxzyxzyxl),(:)2 , 0 , 1 (. 211110zyxpzyxlp的对称点关于直线试求点例olp0p1上页下页求两直线之间的距离。相交若不若相交则求交点问它们是否相交已知两直线例,;?2312:31423:.21tzytxlzyxl上页下页个分量的第称为其中iaaaain ),.,(21行向量 列向量o),(21aa1x2x3x第六节第六节 r rn n中的几何向量简介中的几何向量简介一、一、 r rn n中的向量代数中的向量代数定义定义1 1（n n维向量）维向量） n个有顺序的数 所在组成的 数组称为一个n维向量