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1、1第十章第十章 电荷和静电场电荷和静电场210-3 高斯定理高斯定理10-1 电荷和库仑定律电荷和库仑定律第十章第十章 电荷和静电场电荷和静电场10-2 电场和电场强度电场和电场强度 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系10-5 静电场中的金属导体静电场中的金属导体10-6 电容和电容器电容和电容器10-7 静电场中的电解质静电场中的电解质10-8 静电场的能量静电场的能量310-1 10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律电荷的量子化及电荷守恒定律原子是电中性的?自然界中有两种电荷：正电荷、负电荷。一、电荷一、电荷 (charge)电荷量子化是个实验规律 实验证明微小粒子带

2、电量的变化是不连续的，它只能是元电荷 e 的整数倍 , 即粒子的电荷是 量子化的： Q = n e ; n = 1, 2 , 3, 1.电荷的种类410-1 10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律电荷的量子化及电荷守恒定律2.电荷守恒电荷守恒 一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量(正、负电荷的代数和)必定保持不变。这个结论称为电荷守恒定电荷守恒定律律，它是物理学中具有普遍意义的定律之一，也是自然界普遍遵从的一个基本规律。它不仅适用于宏观现象和过程，也适用于微观现象和过程。 5 自然界中的微观粒子有几百种,其中带电粒子所具有的电荷数均为+e 或-e 的整数倍。因此

3、电荷量子化是普遍的量子化规律。现代实验结果证明电荷量子化具有相当高的精度。 在近代物理中发现强子(如质子、中子、介子等)是由夸克(quark)构成的，夸克所带电量为e的1/3或2/3。但是到目前为止还没有发现以自由状态存在的夸克。电量的最小单元不排除会有新的结论，但是电量量子化的基本规律是不会变的。 在相对论中物质的质量会随其运动速率而变化，但是实验证明一切带电体的电量不因其运动而改变，电荷是相对论性不变量。10-1 10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律电荷的量子化及电荷守恒定律63.电荷特点 电荷只有两种，即正(+)电荷和负()电荷； 电荷是量子化的，任何物体所带电荷的量不可能连续变化，只能

4、一份一份地增加或减少，这种性质称为电荷的量子化。电荷的最小份额称为基本电荷，常用e表示； 微观粒子所带电荷普遍存在一种对称性，即对于每一种带正电荷的微观粒子，无一例外地，必然存在与之相对应的、带等量负电荷的另一种微观粒子； 遵从电荷守恒定律； 电荷是相对论性不变量，即粒子所带电量与它的运动速率无关。10-1 10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律电荷的量子化及电荷守恒定律7二、库仑定律二、库仑定律(Coulomb law) 在真空中两个相对于观察者静止的点电荷之间的相互作用力的大小与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比 ,方向沿两电荷的连线,同号相斥,异号相吸12r21F1q2q

5、1221FF 库仑力满足牛顿第三定律12r其中 为q1 指向q2 的矢量 12122122112rrrqqkF设q2 受到 q1 的作用力为F12 则：12F12r21F1q2q当q2 与q1 异号时, F12 与r12 方向相反10-1 10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律电荷的量子化及电荷守恒定律82290CmN100 . 941k是国际单位制中的比例系数是国际单位制中的比例系数 )mN/(C10817187854. 822120称为真空电容率或真空介电常量称为真空电容率或真空介电常量。 自然界存在四种力：强力、弱力、电磁力和万有引力强力、弱力、电磁力和万有引力, 把10-15m的尺度上两

6、个质子间的强力的强度规定为1, 其它各力的强度是：电磁力为102，弱力为109，万有引力为1039。在原子、分子的构成以及固体和液体的凝聚等方面，库仑力都起着主要的作用。10-1 10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律电荷的量子化及电荷守恒定律只适用于描述两个相对于观察者为静止的点电荷之间的相互作用9例1：三个点电荷q1=q2=2.010-6C , Q=4.010-6C ， 求q1 和 q2 对Q 的作用力。N29. 04210121rQqFFFq1q2Qyxor1r20.30.30.4FxF1F2Fy10-1 10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律电荷的量子化及电荷守恒定律1010-1 10-1

7、 电荷的量子化及电荷守恒定律电荷的量子化及电荷守恒定律例2：两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷q，各用长为l的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于图示的位置。如果角很小，试两个求小球的间距x为多少？3122mglkq例3：两大小相同的球,质量均为m,并带相同的电荷q,一长度为l的丝线悬挂,如图所示,设较小, tg可以近似用sin表示,则平衡时两球分开的距离x约等于(其中 ) 041k1110-1 10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律电荷的量子化及电荷守恒定律 例4：两个点电荷所带电荷之和为Q，问问它们各带电量为多少时，相互间的作用力最大？1、两个同号电荷所带电量之和为Q，

8、问它们各带电量为多少时，其间相互作用力最大A、q1=Q/2;q2=Q/2B、q1=Q/4;q2=3Q/4C、q1=-Q/4;q2=5Q/4D、q1=-Q/2;q2=3Q/22、将某一点电荷Q分成两部分，让它们相距为1米，两部分的电量分别为q1和q2，两部分均看作点电荷，要使两电荷之间的库仑力最大，则q1和q2的关系是：A: q1=2q2B: 2q1=q2 C: q1=q2 D: q1q2思思 考考1210-1 10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律电荷的量子化及电荷守恒定律3、两个带有等量同号电荷，形状相同的金属小球A和B相互之间的作用力为f ，它们之间的距离远大于小球本身的直径。现在用一个带绝

9、缘柄的原来不带电的相同的金属小球C去和小球A接触，再和B接触，然后移去，则球A球B之间的作用力变为 (a) f / 2 (b) f / 4 (c) 3f / 8 (d) f /101310-2 10-2 电场和电场强度电场和电场强度一、电场一、电场(electric field )1. 在电荷周围空间存在一种特殊物质，它可以传递电荷之间的相互作用力，这种特殊物质称为电场。静止电荷周围存在的电场，称静电场静电场，这就是所谓的近距作用。2. 任何进入该电场的带电体，都受到电场传递的作用力的作用，这种力称为静电场力。3.当带电体在电场中移动时，电场力对带电体作功, 表明电场具有能量。电荷 电场 电荷

10、 实验表明电场具有质量、动量、能量，体现了它的物质性。14二、电场强度二、电场强度 (electric field intensity)0qFE它与试探电荷无关，反映电场本身的性质。单位正电荷在电场中某点所受到的力。物理意义1. 试探电荷： q0 是携带电荷足够小；占据空间也足够小的点电荷，放在电场中不会对原有电场有显著的影响。2. 将正试探电荷q0放在电场中的不同位置，q0受到的电场力 F 的值和方向均不同 , 但对某一点而言 F 与 q0 之比为一不变的矢量，为描述电场的属性引入一个物理量电场强度(简称为场强）：10-2 10-2 电场和电场强度电场和电场强度153. 单位单位 ：在国际单

11、位制：在国际单位制 (SI)中中电场是一个矢量场(vector field)F力 的单位：牛顿(N ); 电量 的单位：库仑(C )q场强 单位(N/C )，或(V/m)。EEqF电荷在场中受到的力：+ 电场中某点的电场强度的大小，等于单位电荷在该点所受电场力的大小；电场强度的方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致。10-2 10-2 电场和电场强度电场和电场强度16三、电场强度的计算三、电场强度的计算1.点电荷的电场强度点电荷的电场强度rrqqFE20041位矢位矢 求场点求场点rO 场源场源PqF 正电荷正电荷负电荷负电荷rrqqF3004110-2 10-2 电场和电场强度电场和电场强度

12、思考：r0;E ?172.多个点电荷产生的电场多个点电荷产生的电场 电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。 若空间存在n个点电荷q1 ,q2 ,qn 求它们在空间电场中任一点P 的电场强度：ri 是点P 相对于第i 个点电荷的位置矢量。niiiniirrqEE130141niiniiniiEqFqF1100100201qFqFqFEn2r1r3r3q2q1qPE3E2E110-2 10-2 电场和电场强度电场和电场强度183.任意带电体产生的电场任意带电体产生的电场将带电体分成很多电荷元dq ,先求出它在空间任意点 P 的场强rrqE30d41d

13、对整个带电体积分,可得总场强：rrqEE30d41d以下的问题是引入电荷密度的概念并选取合适的坐标，给出具体的表达式和实施计算。EdqdrP10-2 10-2 电场和电场强度电场和电场强度19体电荷分布的带电体的场强rrEV30e4d面电荷分布的带电体的场强rrSES30e4d线电荷分布的带电体的场强rrlEl30e4dddlim0eqVqV电荷的体密度SqSqSddlim0e电荷的面密度lqlqlddlim0e电荷的线密度10-2 10-2 电场和电场强度电场和电场强度2010-2 10-2 电场和电场强度电场和电场强度 有一球形气球，电荷均匀分布在其表面上，在此气球被吹大的过程中，球内、球

14、外电场强度的变化是：思思 考考 虽然球内外电场不变，但球内空间变大，故空间电场分布还是变化的。2110-2 10-2 电场和电场强度电场和电场强度 例5：有两个点电荷，电量分别为5.0107 C和2.8108 C，相距15cm。求：(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；(2)作用在每个电荷上的力。 例6：有一均匀带电的细棒，长度为L，所带总电量为q。求：(1)细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且aL；(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且aL。22 例7：求两个相距为l,等量异号点电荷中垂线上距离点电荷连线中心任一点Q处的电场强度。等量异号电荷 +q、-q ，

15、相距为l (lr) ，称该带电体系为电偶极子qQEEErl220)2/(41lrqEE解：建立如右图的坐标系Q点的场强 E 的y分量为零, x 分量是 E+ 和 E- 在x方向分量的代数和:qcoscosEEEEExx)2/(2/cos22lrl代入上式代入上式10-2 10-2 电场和电场强度电场和电场强度232/3220) 4/(41|lrqlEEx结论：电偶极子中垂线上，距离中心较远处一点的场强，与电偶极子的电矩成正比，与该点离中心的距离的三次方成反比，方向与电矩方向相反。ePqqQEEErl用 表示从 到 的矢量，定义电偶极矩为：lqqlqPe32/ 3224/rlrlr 304rpE

16、10-2 10-2 电场和电场强度电场和电场强度24例8：求距离均匀带电细棒为a 的 p点处电场强度。 设棒长为L , 带电量q ，电荷线密度为 =q/Lyxapa a b bEddEdEydxl10-2 10-2 电场和电场强度电场和电场强度badcos4d)(0 xxEpE25)sin(sin40abaLqEx场强的场强的x分量分量:badEpEyysin4d)(0)cos(cos40baaLqEy场强的场强的y分量分量: 当当 yR),k为一常量,试用高斯定理求电场强度E与r的关系(可否用电场强度叠加原理)思思 考考 1.电荷Q均匀分布在半径为R的导体球表面，求：（1）球外空间任一点(r

17、R)的场强。 2.一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳,总电荷为Q1,球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面,球面带电荷为Q2,求电场分布.电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数?试分析. 4510-3 10-3 高斯定理高斯定理 例17：一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。 两个截面不同的铜杆串联在一起，两端加上电压为U，设通过细杆和粗杆的电流、电流密度大小、杆内的电场强度大小分别为：I1、J1、E1与I2、J2、E2，则： A. I1=I2、J1J2、E1E2B. I1=I2、J1J2、E1E2C. I1J2、E1E2D. I1I

18、2、J1J2、E1E2思思 考考46解：由于电荷分布对于求场点 p到平面的垂线 op 是对称的，所以 p 点的场强必然垂直于该平面。又因电荷均匀分布在无限大的平面上，所以电场分布对该平面对称。即离平面等远处的场强大小都相等、方向都垂直于平面，当 场强指离平面。当 场强方向指向平面。0e0e例18：求无限大均匀带电平板的场强分布。设面电荷密度为 。epeE10-3 10-3 高斯定理高斯定理47由于圆筒侧面上各点的场强方向垂直于侧面的法线方向，所以电通量为零；又两个底面上场强相等、电通量相等，均为穿出。opeES 选一其轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面 S，带电平面平分此圆筒，场点 p

19、位于它的一个底面上。10-3 10-3 高斯定理高斯定理480e2E 场强方向指离平面;0e场强方向指向平面。0e10-3 10-3 高斯定理高斯定理SESESESES2dddfacerightfacelefte0e2SSE场强方向垂直于带电平面。49(C.F.Gauss , 17771855)10-3 10-3 高斯定理高斯定理50一、静电场属于保守场一、静电场属于保守场 (conservative field)点电荷 从 P 经任意路径到 Q点，电场所作的功为：0q QprrqqAArrQP d4d200q0qQrQPrPlEqlFAddd0erEqlEqdcosd00ldEq0rqrdr

20、QPQcrP 在点电荷在点电荷q的场中移动试探电荷的场中移动试探电荷q0，求电场力作的功：求电场力作的功：rrqE3041)(400QPrqrqq电场力所做的功只与始点和末点的位置有关10-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系51任何一个带电体都可看成是由无数电荷元组成， 由场强叠加原理可得到电场强度 E=E1+E2+En， 试探电荷q0从P 移动到Q，电场力作的功为：QPnQPQPlEEEqlEqrEqAd)(dd21000)ddd(210QPnQPQPlElElEq 任何静电场中，电荷运动时电场力所作的功只与起始和终了的位置有关,而与路径无关。这一特性说明： 静电

21、场是保守场 。10-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系52 在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分等于零。称为静电场的环路定理。等于零。称为静电场的环路定理。ACBDLADBACBBDAACBlElElElElE0ddddd因为保守力的数学形式为因为保守力的数学形式为0d LlFLlEq0d0可以证明在静电场中有可以证明在静电场中有10-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系53二、电势能、电势差和电势二、电势能、电势差和电势 静电场是保守场，可引入仅与位置有关的电势能概静电场是保守场，可引入仅与位置

22、有关的电势能概念。用念。用WP和和WQ分别表示分别表示 试探电荷试探电荷q0在电场中在电场中P点和点和Q点的电势能。电场力对试探电荷点的电势能。电场力对试探电荷q0所作的功可以表所作的功可以表示为示为q0qQrQPrPPQPQPQWWlEqAd010-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系54 电场中P、Q两点间的电势差就是单位正电荷在这两点的电势能之差，等于单位正电荷从点P移到点Q电场力所作的功。电势差也称电压。由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电场在P、Q两点的状况所决定。可把(WP/q0)-(WQ/q0)称为电场中P、Q两点的电势差，并用VP VQ来表示， 于

23、是有 实际中为了确定q0在电场中一点的电势能，必须选择一个电势能为零的参考点。QPQPQPVVqWWlEd010-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系55我们把VP 和VQ 称为点P 和点Q 的电势，显然它们分别等于单位正电荷在点P和点Q的电势能。 PdlEVVVPP 零电势：1、当电荷分布在有限空间时，可选择无限远处的电势为零。2、在实际问题中，常选择大地的电势为零。3、电势能零点的选择与电势零点的选择是一致的 PPlEVd电场中某点P 的电势，等于把单位正电荷从P 点经任意路径移动到无限远处时，静电场力所作的功。电势(electric potential )是标量

24、，单位为伏特（V ） 也称为焦耳/库仑，即1V= 1 J /C10-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系56三、电势的计算三、电势的计算 (electric potential ) 1. 点电荷产生的电场中的电势分布 可用场强分布和电势的定义直接积分。 rerqE204rrqlEVpppd4d20pEqrpprqV04负点电荷周围的场电势为负离电荷越远，电势越高。正点电荷周围的场电势为正离电荷越远，电势越低。10-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系572. 在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势： 空间有n个点电荷q1, q2, , qn

25、，求任意一点P的电势。由于点P的电场强度E等于各个点电荷单独在点P产生的电场强度的矢量之和。所以点P的电势可以用电势的叠加原理表示。iiPPPVlEElEPV)(d)(d)(211r2r3rir1q2q3qiqPniiiPniiPrqlEVV10141d 在多个点电荷产生的电场中,任一点的电势等于各个点电荷单在该点所产生的电势的代数和。10-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系58VPrqV04dVrVrV04d)(SrSrV04d)(LrlrV04d)( 可以把带电体看为很多很小电荷元的集合体。它在空间某点产生的电势，等于各个电荷元在同一点产生电势的代数和。 Vdq

26、drP 3. 在任意带电体产生的电场中任意一点的电势10-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系5960四、 等势面 (equipotential surface ) 将电场中电势相等的点连接起来所形成的一系列曲面叫做等势面。等势面上的任一曲线叫做等势线。等势面处外与电场线正交。因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点，电场力作功为零，而路径不为零0cosddd00lEqlEqA0d l2/ldMNE等势面的性质：电荷沿等势面移动，电场力不作功。0dd0d0VqAV正电荷等势面正电荷等势面10-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系61 规定两个相

27、邻等势面的电势差相等，所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。正电荷的场负电荷的场均匀电场10-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系6263 例19：将q=1.710-8c的点电荷从电场中A点移到B点，外力需作功5.010-6 J ，则： A. UBUA=-2.94102V B点电位低 B. UBUA=-2.94102V B点电位高 C. UBUA=2.94102V B点电位低 D. UBUA=2.94102V B点电位高10-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系64五、五、 电势与电场强度的关系电势与电场强度的关系

28、设电荷q0在场强为E的电场中作位移dl，在dl的范围内电场是匀强的。若q0完成位移dl 后，电势增高了dV，则其电势能的增量为q0 dV， 这时电场力必定作负功， lVEllEqVqdd00EnVV Vnd 电场强度在任意方向的分量，等于电势沿该方向电场强度在任意方向的分量，等于电势沿该方向的变化率的负值。的变化率的负值。 dV = E dl cos 等号左边Ecos 就是E在位移dl方向的分量，用El 表示；等号右边是V沿dl方向的方向微商，负号表示E指向电势降低的方向。于是可以写为10-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系65kzVjyVixVVE;xVEx;yVEyzVEz电势梯度 是一个矢量，它的方向是该点附近电势升高最快的方向。V在直角坐标系中定义：称 为 沿 方向的梯度(gradient)nVkzjyix10-4 10-4 电势及其与电场强度的关系电势及其与电场强度的关系66nVE电势梯度的物理意义:图中所画曲面是等势面，其法线方向单位矢量用n表示，指向电势增大的方向。电场强度E的方向沿着n的反方向。根据前式，电场强度的大小可以表示为 结论：电势梯度是一个矢量，它的大小等于电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿着电势增大的方向。EnVV VndnnVE电场强度矢