高等数学上册课件：2-4 连续函数(continous function)

1、科学出版社二、二、 间断点及其分类间断点及其分类 一、一、 函数的连续性函数的连续性第四节连续函数(continous function)三、连续函数的运算和初等函数的连续性三、连续函数的运算和初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 第二二章 *五五. 函数的一致函数的一致(uniform)连续性连续性科学出版社定义定义: 0lim ( )( )nnf xf x称函数f :DR在x0D连续, 当且仅当对 D 中收敛一、一、 函数的连续性函数的连续性0nxx如果则称0fx在右连续；0nxx如果则称0fx在左连续.于 x0的任何数列x n,注: 由该定义可见:1)函数

2、在一点的连续性是局部的性质.3)函数在定义域的孤立点必定是连续的.因为这时在小邻域内的唯一数列的各项都是x n =x0.若在以上定义中增加限制:因此只需在x0的小邻域中考察函数连续性即可.该定义的优点是可以利用数列的极限来讨论函数的极限2)如函数在x0连续,称x0 为函数的连续点,它必须D.科学出版社设x0, xD, 定义0 xxx 为自变量的增量0( )( )yf xf x )(xfy xOy0 xxxy0, 0,当xD,0 xx时, 均有0( )()f xf x函数0 xDf在点连续有以下等价定义:可见若f 在x0左连续且右连续,则 f 在x0连续为函数的增量即若x0时y0, 则函数f 在

3、x0连续.当x0D不是孤立点时, f 在x0连续等价于00lim ( )( ),xxf xf xx D科学出版社例例1. . 证明m次多项式101( )mmmmpxa xa xa在x0处连续.证：证：因为当xnx0时,利用数列的收敛性质,1010()()mmmnnnmmpxa xa xapx所以多项式101( )mmmmpxa xa xa在任何实数0 x处连续.科学出版社例例2. .有理函数( )( )( )mlpxr xpx在其定义域内每点x0所以，0()()nr xr x处都连续.解解:对于对于xnx00()(),mnmpxpx0()().lnlp xp x即有理函数r在其定义域内每点x0

4、处都连续科学出版社例例3. 证明函数sinyx在x 处都连续 .证证: x xxxysin)sin()cos(sin222xxx222 sincos()xxyx122xx所以x0时y 0这说明sinyx在x 处都连续 .类似可证: 函数xycos在x 处都连续 .科学出版社注注1：当我们仔细研究定义1之后，可以说函数在 0 x处连续的本质就是极限运算 0limxx与函数运算 f 可交换, 即000lim( )(lim )()xxxxf xfxf x科学出版社例例4. 讨论函数在指定点的连续性.1)( ),f xx212)( ),1xf xx在1x 处.解：解：1) 因为,xx所以0lim0 x

5、x2)f在1x 处无定义,所以x = 1不是函数 f的连续点即yx在0 x 处连续.在0 x 处.(0),f以后将称这种点为函数 f 的可去间断点, 因补充定义函数f, 使得f(1)=2, 就使得f =x+1在整个实数集上有定义.科学出版社若函数f在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它在该区间上的限制是连续函数 . , .C a b在闭区间 , a b上的连续函数的集合记作.由前面例子可知( ),( ), sin, cosp xr x都是连续函数.定义:当函数 f 在其定义域的每个点上连续时 ,这时函数 f 在 a (b)点右(左)连续就是 f 在a (b)点连续就称 f

6、 是连续函数. 科学出版社二、二、 间断点及其分类间断点及其分类定义: 对于函数 f: D ,如果x0是点xD的极限点, 则当xD, xx0时,若 以上两种间断点称为函数的第一类间断点.不是第一类的间断点称为第二类间断点从定义可把函数的间断点分为几种类型: 2)f在x0存在不相等的有限左,右极限时称x0为跳跃间断点1)当xx0时 f(x)存在有限极限但f(x0)或f(x0)无定义称x0为可去间断点(因修改或补充定义后可成为连续点)如何判断间断点?00lim( )()xxf xf x不成立,则称x0为f 的间断点,也称为 f 的不连续点.注: 由定义可见在D上的连续函数也有可能有间断点连续函数的

7、间断点在自然定义域的开区间的端点上.科学出版社第二类间断点中的几种特殊的间断点第二类间断点中的几种特殊的间断点: 1. 当x趋于x0时, 函数的极限为+或-称x0为振荡间断点 . 一个是+或-2. 当x趋于x0时,函数存在不相等的左及右极限,但至少有对于以上两种情况,称x0为函数的无穷间断点3.当x趋于x0时,函数的值始终有非零的振幅,科学出版社1)tanyx2x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .12)sinyx1x为可去间断点 .213)1xyx例如例如:xytan2xyOxyxy1sinOxy1O科学出版社1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21

8、xxxxfy4)xOy2115) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .科学出版社例例5.5. 讨论下列函数的间断点.1) ( )sgn ;f xx解解:101)( )sgn0010 xf xxxx由于 (00)1,f(00)1,f 所以 x =0 是sgn x 的第一类间断点(跳跃间断点).12) ( )f xx在 x =0 处无定义, 且左右极限是-及+所以0是第二类间断点(无穷间断点).12) ( ).f xx科学出版社1( )sinf xxx13) ( )sin;f xxx解解: 2)1( )sinf xxx在 x = 0 处无

9、定义, 但01lim sin0,xxx故 x = 0 是的可去间断点.只要定义 f ( 0 )=0,即1sin0,( )00,xxf xxx就可使 f (x) 在 x = 0 处连续了.科学出版社定理定理3. xx cot,tan在其定义域内连续三、连续函数的运算和初等函数的连续性三、连续函数的运算和初等函数的连续性定理定理2. 连续xx cos,sin除(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在 x0连续的函数 .例如例如,例例6. xysin在,22上连续严格递增，其反函数xyarcsin在1, 1上也连续严格11xOy22递增.xsinxarcsin同理arccos ,arctan ,ar

10、ccotxxx在各自的定义域上也连续.在 x0连续的有限个函数经有限次加 、减、乘、严格单调的区间上的连续函数的反函数连续,且与直接函数有相同的单调性科学出版社(0,1)xyaaa在),(上连续其反函数对数函数在),0(上也连续严格单调递增.指数函数 xyOlogayxxya11严格单调 递增,log(0,1)ayx aa由此可知0limlnxxx0ln(lim )xxx0ln()x00 x 0limexxx0limexxx0ex0 x 科学出版社例例7.7.银行计算利息的方法有多种, 常见. 计息期的本金. 采用复利计息法, (1) .nSAr复利计息法, 就是每个计息期满后, 如果每年不是

11、计息一次, 而是计息 t 次, 则每次计息期 的利率是 ,rt(1)这样公式(1) 就变成了(1).ntrSAt期是将本计息期得到的计息, 如每年计息一次,复利计息方法最为后一个计息加上期初本金一起作为新年利率为 r, 本金为 A, n年后的本金和利息之和为科学出版社当 t 趋于无穷大, 就得到 连续复利公式lim (1)nttrSAtlim (1)rntrtrAtlim(1)rntrtrAte .rnA科学出版社定理定理4.4. 设函数 u = g ( x ) 在0 xx时有极限0,u即00lim( ),xxg xu函数 y = f ( u )在0uu处连续, 则复合函数fg在0 xx时的极

12、限为0(),f u即0lim( )xxf g x特别当u = g ( x ) 在0 x处连续, y = f (u) 在00()ug x处连续时, 复合函数fg0 x处连续.在注注:函数连续的本质是极限运算与函数运算可以交换, 0lim( )xxf g x0()f u0lim( )xxfg x所以有00lim( )()xxfg xf u粗略地说, 科学出版社定理定理: :设u = g ( x ) 在x0处连续, y = f (u) 在00()ug x处连续, ( )yf g x0 x处连续.在证:当xnx0时,un=g(xn)u0,f(un)f(u0)=f(g(x0)则因此复合函数f g 在x0

13、连续.该定理说明连续函数的复合函数在其定义域上是连续函数科学出版社例如例如,xy1sin是由连续函数sin ,yuu,1xu 0 x 因此xy1sin在 0 x上连续 .复合而成 ,xy1sinxyO与科学出版社例例8 . 设)()(xgxf与均在,ba上连续, 证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续.证证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则 , 可知)(, )(xx也在,ba上连续 .)(, )(min)(xgxfx 科学出版社例例9. 计算下列极限： 101) limcos 1;xxx0112) li

14、m.bxxx解：解：101)limcos 1xxx2) 令11,btx则ln(1)ln(1),bxt且当0 x 时,0,t 所以011limbxxx11,(0).bxbx x即10coslim 1xxxcose.0ln 1limxbxx0limln 1tttb科学出版社例例10.yx是连续函数.解：解：因为lne,xyx由e ,lnuyux复合而成,而e ,lnuyux都连续, yx在它的定义域(0,)上连续.所以科学出版社初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1

15、(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为(2 ,(21),nnn1cosxy的定义域为2 ,xnn都是孤立点,因此连续.而科学出版社arctanlneesin2e计算earctanln1) lim;sin2exxx解解: 1) 因为arctanln( )sin2exf xx是初等函数, earctanlnlim(e)sin2exxfx故22eln 2sin2)lim.sinxxxx例例11.4140log (1)3) lim.(0,1)axxaax科学出版社4eln1sin222eln 2sinlimsinxxxx2)4eln 2sin2sin24exxax1)1 (loglim0log

16、ea1lna0log (1)3) limaxxx10loglim(1)xaxx科学出版社1,41,)(xxxxx,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数f的连续性 .( )=fx1,2xx1,2xx故此时连续; 而1lim( )xfx21lim xx11lim( )xfx)2(lim1xx3故fx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx1,xf时为初等函数在点 x = 1 不连续 , 例例12. 设科学出版社用反证法. 若无界, 则在a,b上证证: 设( ) , ,f xC a b四四有界闭区间上连续函数的性质有界闭区间上连续函数的性质 定理5: 有界闭区间上的

17、连续函数是有界的. 存在数列 xn, 使得数列f(xn).由区间的有界性和闭性, 在xn中可选出收敛于区间内一点x0的子数列xm, (m只取中的一部分)由f 的连续性0lim ( )( )mmf xf x是有限值! 得矛盾!科学出版社注注:或无界的闭区间结论不一定成立 . 定理定理6.6.(最大、最小值定理extreme value theorem)证: 由定理5, 集f(a,b)有上界,再由确界原理, f有上确界M.12及最小值.或在闭区间内不连续 能取到函数的最大值xyab)(xfy O有界闭区间上的连续函数若函数在开区间上连续,现证明M就是最大值.用反证法, 如在a,b上 f(x) 不能趋